- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高中数学必修2教案:第三章 3_1_1倾斜角与斜率
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 [学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素. [预习导引] 1.直线的倾斜角 (1)定义:一条直线l与x轴相交,我们取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.一条直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)取值范围:0°≤α<180°. 2.直线的斜率 定义 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,记为k,即k=tan_α. 取值范围 当α=0°时,k=0; 当0°<α<90°时,k>0; 当90°<α<180°时,k<0; 当α=90°时,斜率不存在. 3.斜率公式 直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率k=(其中x1≠x2). 要点一 直线的倾斜角 例1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135° 答案 D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面, 不合题意.通过画图(如图所示)可知: 当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°; 当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. 规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. 跟踪演练1 一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( ) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 答案 D 解析 如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.故选D. 要点二 直线的斜率 例2 已知直线l过P(-2,-1),且与以A(-4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围. 解 根据题中的条件可画出图形,如图所示, 又可得直线PA的斜率kPA=-, 直线PB的斜率kPB=, 结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为, 当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是. 综上可知,直线l的斜率的取值范围是 ∪. 规律方法 1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决. 2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k=(x1≠x2)求解. 3.涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解. 跟踪演练2 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解 如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1. (1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1,或k≥1. (2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 要点三 斜率公式的应用 例3 已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值. 解 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB 上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为(2,4),(3,2). 由于的几何意义是直线OP的斜率, 且kOA=2,kOB=, 所以可求得的最大值为2,最小值为. 规律方法 若所求最值或范围的式子可化为的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解. 跟踪演练3 已知实数x,y满足y=x2-x+2(-1≤x≤1),试求的最大值和最小值. 解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,2),B(-1,4). 则kPA==,kPB==7. ∴≤k≤7,∴的最大值为7,最小值为. 1.下图中α能表示直线l的倾斜角的是( ) A.① B.①② C.①③ D.②④ 答案 A 解析 结合直线l的倾斜角的概念可知①可以,选A. 2.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为( ) A. B. C.1 D. 答案 A 解析 由题意可知,k=tan 30°=. 3.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于( ) A.- B. C.-1 D.1 答案 C 解析 tan 45°=kAB=, 即=1,所以y=-1. 4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( ) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° 答案 C 解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°. 5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为________. 答案 k1查看更多
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