2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（六）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（六）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（六）‎ ‎17．已知是正项数列的前项和，，．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）当时，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，有，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴，‎ 当时，有，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）及，得，∴，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎18．在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以（个）（其中）表示面包的需求量，（元）表示利润．‎ ‎（1）根据直方图计算需求量的中位数；‎ ‎（2）估计利润不少于100元的概率；‎ ‎（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的数学期望．‎ ‎【答案】（1）85个；（2）0.75；（3）142．‎ ‎【解析】（1）需求量的中位数（个）（其它解法也给分）．‎ ‎（2）由题意，当时，利润，‎ 当时，利润，‎ 即．‎ 设利润不少于100元为事件，利润不少于100元时，即，‎ ‎∴，即，由直方图可知，当时，‎ 所求概率：．‎ ‎（3）由题意，由于，，，‎ 故利润的取值可为：80，120，160，180，‎ 且，，，，‎ 故得分布列为：‎ 利润的数学期望：‎ ‎．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，、分别为线段、上的点，且，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：连接，据题知，，，，‎ ‎∵在中，，，∴，且，‎ ‎∴，∴，即，‎ 又，，∴平面，∴，‎ 又，，∴平面，∴，‎ ‎∵在中，，∴，‎ 则，∴，‎ ‎∵，，，∴平面．‎ ‎（2）由（1）知，，两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，‎ 且与平面所成的角为，有，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，，‎ 又∵由（1）知，，∴平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎∴，令，则，，‎ ‎∴为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 故平面与平面的锐二面角的大小为．‎ ‎20．已知椭圆的左，右焦点分别为，．过原点 的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点、、在上的射影分别为、、，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）1．‎ ‎【解析】（1）设，则，∴，设，‎ 由，，，‎ 将，代入，整体消元得：‎ ‎，∴，‎ 由，且，∴，‎ 由椭圆的对称性知，‎ 有，则，‎ ‎∵，综合①②③可得：，，‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ ‎（2）由（1）知，，直线的方程为：，‎ 即：，所以，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴的方程为，‎ 令，可得，∴，‎ 则，‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 当直线平行于轴时，易知，结论显然成立．‎ 综上，．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，证明：有两个零点；‎ ‎（2）已知正数，满足，若，使得，试比较与的大小．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．‎ ‎【解析】（1）据题知，求导得：，‎ 令，有；令，得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 令，有；令，有，‎ 故在和各有1个零点．∴有两个零点．‎ ‎（2）由，而，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ 则，‎ 由，可得或；‎ ‎①当时，‎ ‎（I）当时，，‎ 则函数在上单调递增，故，‎ ‎∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即．‎ ‎（II）当时，，‎ 则函数在上单调递增，故，‎ ‎∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即．‎ ‎②当时，同①理可证；‎ 综上所述，．‎