2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题 一、填空题 ‎1．已知集合，，则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意结合交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合交集的定义可得： ，‎ 表示为区间形式即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集的定义，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 函数有意义，则：，解得：，‎ 据此可得，函数的多为.‎ ‎【点睛】‎ 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎3．若函数是奇函数，则实数的值为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意结合奇函数的性质求解实数a的值即可.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 由函数的解析式可得：，‎ 由奇函数的定义可知：，‎ 则：，故，‎ 结合题意可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．下列对应为函数的是______．（填相应序号）‎ ‎①R；②其中R,R；‎ ‎③R；④其中N,R.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ 由函数的定义逐一考查所给的对应是否为函数即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的对应：‎ ‎①R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；‎ ‎②其中R,R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；‎ ‎③R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；‎ ‎④其中N,R.自变量时对应两个值，不是函数.‎ 综上可得：题中所给的对应为函数的是①②③.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题.‎ ‎5．已知 若，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数的解析式分类讨论求解实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式分类讨论：‎ 当时，不等式即，求解不等式可得，此时，‎ 当时，不等式即，该不等式恒成立，即，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎6．设集合，则满足条件的集合的个数 是_______．‎ ‎【答案】4个 ‎【解析】‎ 将原问题转化为子集个数公式的问题，然后确定集合的个数即可.‎ ‎【详解】‎ 令集合，集合为集合的子集，则集合，‎ 结合子集个数公式可得集合的个数是个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查子集个数公式，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式 为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用待定系数法求解函数的解析式即可.‎ ‎【详解】‎ 设函数的解析式为，‎ 则，且，‎ 据此可得：，解得：，‎ 故函数的解析式为.‎ ‎【点睛】‎ 求函数解析式常用方法：‎ ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎8．已知函数在是单调增函数，则实数的取值集合 是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意结合二次函数的性质求解实数的取值集合即可.‎ ‎【详解】‎ 分类讨论：‎ 当时，函数的解析式为，不合题意；‎ 当时，由二次函数的性质可得：，不等式的解集为空集；‎ 综上可得：实数的取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知函数满足，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 首先确定的解析式，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ ‎，解得：，‎ 令可得：，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数将其解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．规定记号“”表示一种运算，即，R，若，则函数的值域是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 首先确定函数的解析式，然后求解函数的值域即可.‎ ‎【详解】‎ 由新定义的运算可得：，‎ 即：，则：，‎ 则函数的解析式为：，‎ 该函数是一个关于的二次函数，且函数的对称轴为，‎ 则当时，函数的最大值为：，‎ 函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎11．设函数，R，且在区间上单调递增，则满足的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 首先确定函数的奇偶性，然后结合函数的单调性求解的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 结合函数的定义域可知函数为偶函数，‎ 题中的不等式即，结合函数的单调性可得：，‎ 故，据此可得的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎12．下列说法中不正确的序号为_______． ‎ ‎①若函数在上单调递减，则实数的取值范围是；‎ ‎②函数是偶函数，但不是奇函数；‎ ‎③已知函数的定义域为，则函数的定义域是； ‎ ‎④若函数在上有最小值－4，（，为非零常数），则函数在上有最大值6．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ 由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给命题的真假：‎ ‎①若函数 ,函数在上单调递减，则：，‎ 据此可得实数的取值范围是，原命题正确；‎ ‎②函数有意义，则：，据此可得函数的定义域为，即函数图像是由组成的，据此可得函数既是奇函数也是偶函数，原命题错误；‎ ‎③函数的定义域为，即，则，‎ 即函数的定义域是，原命题错误； ‎ ‎④若函数在上有最小值－4，则函数在上有最小值－5，由奇函数的性质可得函数在上有最大值5，则函数在上有最大值6，原命题正确．‎ 综上可得，不正确的说法序号为②③.‎ ‎【点睛】‎ 当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.‎ 否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.‎ ‎13．如果对于函数f (x)的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有≤ 且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有______个．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可.‎ ‎【详解】‎ 由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数，‎ 当值域为一个数时：‎ ‎，，共三种情况，‎ 当值域为两个数时：‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 综上可得，函数共有9个.‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎14．函数的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意首先确定函数的定义域，然后结合函数的单调性求解最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 函数有意义，则：，则 据此可得函数的定义域为：，‎ 由于函数都在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数的最小值为，‎ 而，‎ 据此可得函数的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、解答题 ‎15．已知全集U=R，集合 ，．‎ ‎ （1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）．‎ ‎【解析】‎ 由题意可得,‎ ‎（1）当时，结合交集的定义计算交集即可；‎ ‎（2）由题意可知.分类讨论和两种情况即可求得实数p的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以,‎ ‎（1）当时，，所以,‎ ‎（2）当时，可得.‎ 当时，2p-1＞p+3，解得p＞4，满足题意； ‎ 当时，应满足或 ‎ 解得或； 即或. ‎ 综上，实数p的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知函数．‎ ‎ （1）若，请根据其图象，直接写出该函数的值域； ‎ ‎（2）若，求证：对任意实数，为定值；‎ ‎（3）若，求值：‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析； （3）8.‎ ‎【解析】‎ 由函数的解析式可得，‎ ‎（1）由图象可知函数的值域为； ‎ ‎（2）由函数的解析式计算的值即可证得题中的结论.‎ ‎（3）结合(2)的结论计算可得.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ ‎（1）绘制函数图象如图所示，由图象可知，函数的值域为； ‎ ‎（2），‎ 即：.‎ ‎（3）‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值域的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．海安市江淮文化园是以江淮历史文化为底蕴的人文景观，整个园区由白龙故里、先贤景区、凤山书院、中国名人艺术馆群四大景区组成．据估计，其中凤山书院景区每天的水电、人工等固定成本为1000元，另每增加一名游客需另外增加成本10元，凤山书院景区门票单价x（元）（x∈N）与日门票销售量（张）的关系如下表，并保证凤山书院景区每天盈利．‎ x ‎20‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎50‎ y ‎400‎ ‎250‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎（1）在坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，并确定y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求出的值，并解释其实际意义；‎ ‎（3）请写出凤山书院景区的日利润的表达式，并回答该景区怎样定价才能获最大日利润？‎ ‎【答案】（1） ； （2）销售单价每上涨1元，日销售量减少10张；（3） （N），当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题表作出四点的对应点，它们分布在一条直线上，据此可得函数解析式为（N）． ‎ ‎（2）由（1）可得，然后解释其实际意义即可；‎ ‎（3）由题意求得函数的解析式，然后结合二次函数的性质讨论该景区怎样定价才能获最大日利润即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题表在坐标纸中作出四点的对应点如图所示，它们分布在一条直线上，‎ 设它们共线于，则取两点的坐标代入得：‎ ‎.‎ 所以（N），‎ 经检验，也在此直线上．‎ 故所求函数解析式为（N）． ‎ ‎（2）由（1）可得，实际意义表示：销售单价每上涨1元，日销售量减少10张． ‎ ‎（3）依题意: （N）图象开口向下，对称轴为.‎ 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 故当时，有最大值，答：当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求解，函数的实际意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．设函数满足 ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎ （3）若b=1，且函数在上是单调增函数，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ； （2）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可得.据此即可求得的值；‎ ‎（2）分类讨论和两种情况即可确定函数的奇偶性；‎ ‎（3）由题意结合函数的单调性的定义计算可得. 据此讨论可得a的取值范围是.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，即. ‎ 所以 ‎ ‎（2）当时，，即，为偶函数；‎ 当时， ‎ ‎，即函数不是偶函数；‎ ‎，即函数不是奇函数； ‎ 综上所述：当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数.‎ ‎（3）若b=1，则c=0，于是，所以，‎ 在上是单调减函数， ‎ 任取，且，‎ 则. ‎ 因为，有 ，所以.‎ 即，解得.‎ 故a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．定义在R上的函数满足，且当时，，对任意R，均有．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：对任意R，恒有；‎ ‎（3）求证：是R上的增函数；‎ ‎（4）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用赋值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；‎ ‎（2）分类讨论x < 0和两种情况证明题中的不等式即可；‎ ‎（3）由函数的性质可证得当时，f (x2) > f (x1)，则f(x)是R上的增函数． ‎ ‎（4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x的取值范围是(0，3)．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1. ‎ ‎（2）当x < 0时，－x >0，‎ 所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，‎ 又因为时，，所以对任意x∈R，恒有f (x) >0. ‎ ‎（3）证明：设，则，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．‎ 因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，‎ 则f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函数． ‎ ‎（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，‎ 又由f (x) 为增函数，所以3x－x2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x的取值范围是(0，3)．‎ ‎【点睛】‎ 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.‎ ‎20．已知函数（，R，），且对任意实数，恒成立.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将原问题转化为二次函数恒成立的问题，然后结合即可证得题中的结论；‎ ‎（2）原问题恒成立，利用换元法结合反比例函数的性质可得的最小值为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为对任意实数，恒成立，‎ 所以对任意实数，，即恒成立.‎ 即，即. 所以，‎ 又因为，即，故。‎ ‎（2）由以及（1）知，.‎ 所以恒成立，等价于恒成立，‎ 设，则.‎ 由，知的取值范围为.‎ 即，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎