2012年新课标高考试题（文数解析版）
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）
数学（文科）
【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1
0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=
（A） （B） （C） （D）
【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.
【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（），
∴=（），∵，∴=，故选A.
（10）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，=，则的实轴长为
. . .4 .8
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，
∴的实轴长为4，故选C.
(11)当0<≤时，，则a的取值范围是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题.
【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选A.
（12）数列{}满足，则{}的前60项和为
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.
【解析】【法1】有题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
【法2】可证明：
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)曲线在点（1,1）处的切线方程为________
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.
【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.
(14)等比数列{}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_______
【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.
【解析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2.
(15) 已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= .
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题.
【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）
(16)设函数=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____
【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题.
【解析】=，
设==，则是奇函数，
∵最大值为M，最小值为，∴的最大值为M-1，最小值为－1，
∴，=2.
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题.
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
由于，所以，
又，故.
(Ⅱ) 的面积==,故=4，
而 故=8，解得=2.
18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.
【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.
【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85；
当日需求量时，利润，
∴关于的解析式为；
（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为
=76.4；
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为
（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。
(Ｉ) 证明：平面⊥平面
（Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.
【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面, 又∵面，∴,
由题设知,∴=,即,
又∵, ∴⊥面, ∵面，
∴面⊥面；
（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，
由三棱柱的体积=1，
∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
（20）（本小题满分12分）设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；
(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，
则|FE|=，=，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，
设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，
∵的面积为，∴===，解得=2，
∴F(0,1), FA|=， ∴圆F的方程为：；
(Ⅱ) 【解析1】∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，,
由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，
∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，
设直线的方程为：，代入得，，
∵与只有一个公共点， ∴=，∴，
∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，
∴坐标原点到，距离的比值为3.
【解析2】由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
（21）（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲
如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.
【解析】(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，
∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；
(Ⅱ)设P为上任意一点，求的取值范围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得，，
，，
即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），
(Ⅱ)设，令=，
则==，
∵，∴的取值范围是[32,52].
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数=.
(Ⅰ)当时，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若≤的解集包含，求的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.
【解析】(Ⅰ)当时，=，
当≤2时，由≥3得，解得≤1；
当2＜＜3时，≥3，无解；
当≥3时，由≥3得≥3，解得≥8，
∴≥3的解集为{|≤1或≥8}；
(Ⅱ) ≤，
当∈[1,2]时，==2，
∴，有条件得且，即，
故满足条件的的取值范围为[－3,0].
