2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(二)(1)

2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(二)(1)

高考模拟试卷(二)‎ ‎(时间：150分钟　满分：200分)‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)‎ ‎1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是________.‎ 答案　[－， ]‎ 解析　要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，所以圆心到直线的距离d＝≥1，‎ 解得－≤k≤.‎ ‎2.函数y＝lg(3x＋1)＋的定义域是________.‎ 答案　 解析　由题意可得 解得x>－且x≠2，‎ 故函数的定义域是.‎ ‎3.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的数学考试成绩，(图二)的流程图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出m，n的值分别是________.‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(图一)‎ ‎ ‎ ‎(图二)‎ 答案　26,12‎ 解析　分析流程图可知，n为50名学生中成绩在[80，100)的人数，m为50名学生中成绩在[60,80)的人数，分析茎叶图即可知n＝12，m＝26.‎ ‎4.某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.‎ 答案　1 013‎ 解析　由于三个分厂的产量比为1∶2∶1，‎ 所以从三个分厂抽出产品数量的比例也应为1∶2∶1，‎ 所以100件产品的使用寿命的平均值为 ＝1 013(h).‎ ‎5.现有红桃1,2,3和黑桃4,5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红桃的概率为________.‎ 答案　 解析　从5张中取2张共有基本事件10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中2张均为红桃的有3个：(1,2)，(1,3)，(2,3)，则所求概率为.‎ ‎6.若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为__________.‎ 答案　2‎ 解析　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x ‎＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋＜，‎ ‎∴f(x)max＝2.‎ ‎7.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________.‎ 答案　 解析　根据函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，‎ 得4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2≥π.‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部，使函数f(x)有零点的区域为图中阴影部分，且S阴影＝4π2－π2＝3π2.‎ 故所求概率为P＝＝＝.‎ ‎8.设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________.‎ 答案　2‎ 解析　如图所示，在△OAB中，‎ OA＝a，OB＝b，OE＝c，‎ AB＝＝c.‎ 因为AB·OE＝OA·OB，‎ 所以c·c＝ab，‎ 即(a2＋b2)＝ab，‎ 两边同除以a2，得2－＋＝0，‎ 解得＝或＝(舍去).‎ 所以e＝＝＝＝2.‎ ‎9.(2018·绍兴模拟)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，则实数z的最小值是________.‎ 答案　－ 解析　x＋2y＋3z＝1，则x＝1－2y－3z，据此可得 ‎(1－2y－3z)2＋4y2＋9z2＝1，‎ 整理得4y2＋(6z－2)y＋(9z2－3z)＝0，‎ 满足题意时上述关于y的一元二次方程有实数根，‎ 则Δ＝(6z－2)2－16(9z2－3z)≥0，‎ 整理可得(3z－1)(9z＋1)≤0，则－≤z≤.‎ 则实数z的最小值是－.‎ ‎10.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________.‎ 答案　 解析　S△ABC＝absin C＝ab ‎＝ ‎＝，‎ 而2ab≤a2＋b2＝8－2c2，即ab≤4－c2，‎ 所以S△ABC≤ ‎＝ ‎≤×＝，‎ 当且仅当a＝b，c2＝时取等号.‎ ‎11.设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式n2a＋4S≥λn2a对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为________.‎ 答案　 解析　当a1＝0时，λ∈R；‎ 当a1≠0时，n2a＋4S≥λn2a，‎ 即≥λ，‎ 所以＋≥λ，‎ 所以22＋2＋1≥λ.‎ 即22＋≥λ，‎ 所以λ≤，即λmax＝.‎ ‎12.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝DC＝2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则·的取值范围是________.‎ 答案　[－4,6]‎ 解析　方法一　因为＝＋，＝＋，‎ 所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝3||－2||.‎ 因为E，F分别是线段DC和BC上的动点，且BC＝DC＝2，‎ 所以||∈[0,2]，||∈[0,2]，‎ 所以由不等式的性质知，·的取值范围是[－4,6].‎ 方法二　以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(3,2)，‎ 因为E，F分别是线段DC和BC上的动点，且BC＝DC＝2，‎ 所以可设E(x,2)，F(3，y)，且x∈[1,3]，y∈[0,2]，‎ 所以＝(3,2)，＝(3－x，y－2)，‎ 所以·＝3(3－x)＋2(y－2)＝5－3x＋2y∈[－4,6]，‎ 即·的取值范围是[－4,6].‎ ‎13.四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，BC∥AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角Q－PD－A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为S1，S2(S10).‎ 由题意可知A(0,0,0)，D(2,0,0)，P(0,0,1)，‎ ‎∴＝(－2,0,1)，＝(－2，b,0)，＝(2,0,0).‎ 设平面APD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PDQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则 即 令y1＝1，得n1＝(0,1,0)，令z2＝2，得n2＝，‎ ‎∴n1·n2＝，|n1|＝1，|n2|＝，‎ ‎∵二面角Q－PD－A的平面角大小为，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝，即＝，‎ 解得b＝.‎ ‎∴S△ADQ＝AD·AQ＝×2×＝.‎ S四边形BCDQ＝S梯形ABCD－S△ADQ＝×(1＋2)×1－＝－.‎ ‎∵S10，‎ 当y＝ax2与y＝－有一个交点时，‎ 方程ax2＋x2－2x＋＝0有一个根，由Δ＝0，得a＝1，‎ 此时函数g(x)＝f(x)－ax2有三个不同的零点，不合题意，‎ 要使函数g(x)＝f(x)－ax2有四个不同的零点，‎ y＝ax2与y＝－有两个交点，‎ 则抛物线y＝ax2的开口要比y＝x2的开口大，‎ 可得a<1，‎ ‎∴0m≥k，n∈N*，m∈N*时总有|an－am|≤t；‎ ‎(2)已知Δ2an＝3n－2，若a1＝1，且an≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围.‎ ‎(1)①解　因为a2＝a1＋Δa1＝a1－，a3＝a2＋Δa2＝a1－，且{an}为等比数列，‎ 所以a＝a1·a3，即2＝a1，‎ 解得a1＝，当a1＝时，‎ 当n≥2时，an＝Δan－1＋…＋Δa1＋a1‎ ‎＝＋ ‎＝·n－1.‎ 当n＝1时，符合上式，‎ 所以{an}为等比数列，即a1＝.‎ ‎②证明　因为an－am＝Δan－1＋…＋Δam ‎＝ ‎＝·，‎ 所以|an－am|＝· ‎≤·≤·m，‎ 令·m≤t，则m≥log2，‎ 故k可取不小于log2的正整数，则对任意n>m≥k，n∈N*，m∈N*，|an－am|≤·m≤t.‎ ‎(2)解　因为Δan＝Δ2an－1＋…＋Δ2a1＋Δa1‎ ‎＝－2(n－1)＋Δa1‎ ‎＝－2n＋＋Δa1‎ ‎＝－2n＋a2－.‎ 由Δ2an＝3n－2>0知，{Δan}是递增的.‎ 所以an≥a3对n∈N*恒成立，当且仅当满足 所以 解得－7≤a2≤0.‎ 所以a2的取值范围是[－7,0].‎ ‎20.(16分)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x.‎ ‎(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；‎ ‎(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.‎ 解　(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0,0)，‎ 则f(x0)＝0，f′(x0)＝0，‎ 即 解得x0＝，a＝－.‎ 因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线.‎ ‎(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，‎ 从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，‎ 故h(x)在(1，＋∞)上无零点.‎ 当x＝1时，若a≥－，‎ 则f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；‎ 若a<－，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故x＝1不是h(x)的零点.‎ 当x∈(0,1)时，g(x)＝－ln x>0.‎ 所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.‎ ‎①若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调.而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，f(x)在(0,1)内有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0,1)上没有零点.‎ ‎②若－30，即－－或a<－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝－时，h(x)有两个零点；‎ 当－0).‎ ‎∵点P(1,2)在抛物线上，‎ ‎∴22＝2p×1，解得p＝2，‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，‎ 则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1).‎ ‎∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，‎ ‎∴kPA＝－kPB，‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得 y＝4x1， ①‎ y＝4x2， ②‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴y1＋2＝－(y2＋2)，‎ ‎∴y1＋y2＝－4，‎ 直线AB的斜率 kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2).‎ ‎23.(10分)已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.‎ ‎(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；‎ ‎(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明.‎ 解　(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数，‎ 所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)‎ ‎＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，‎ 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)·cos x.‎ ‎(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，‎ 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为 f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)·cos，‎ f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)·cos，‎ f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)·cos，‎ 猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos. (*)‎ 下面用数学归纳法证明上述等式.‎ ‎①当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，等式(*)成立，即 fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos，‎ 则当n＝k＋1时，‎ fk＋1(x)＝fk′(x)＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)· ‎＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]· ‎＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]·cos，‎ 即当n＝k＋1时，等式(*)也成立.‎ 综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos成立.‎