2019年高考数学练习题汇总10＋7满分练(7)
10＋7满分练(7)
1．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)(x－5)<0}，B＝{x∈N|－2
0
D．>0
答案 C
解析 由<0知，数列{an}一定存在正项与负项，则要么a1>0，d<0，要么a1<0，d>0，即a1·d<0，所以A正确；由等差数列各项特征知，|Sn|一定能取得最小值，所以B正确；若数列{an}为－1,2,5,8，…，当n≥2时，an>0，取n0＝1，对任意正整数m，<0均成立，但<0，所以C错误．故选C.
9．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角的范围(包含初始状态)为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 初始状态，直线AD与BC所成角为0°，当DB＝时，AD⊥DB，AD⊥DC，DB∩DC＝D，DB，DC⊂平面DBC，∴AD⊥平面DBC，∴AD⊥BC，直线AD与BC所成的角为，在翻折过程中，直线AD与直线BC所成角的范围是.
10．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，
即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，
令g(x)＝－f(x)－.
当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3＝－2－，
当x＝时，g(x)max＝－；
当x＞1时，g(x)＝－x－－＝－≤－2，
当且仅当＝，且x＞1，即x＝时，“＝”成立，
故g(x)max＝－2.综上，g(x)max＝－.
令h(x)＝f(x)－，
当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3＝2＋，
当x＝时，h(x)min＝；
当x＞1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2，
当且仅当＝，且x＞1，即x＝2时，“＝”成立，
故h(x)min＝2.
综上，h(x)min＝2.
故a的取值范围为.故选A.
11．已知抛物线y2＝－2px过点M(－2,2)，则p＝________，准线方程是________．
答案 1 x＝
解析 因为点M(－2,2)在抛物线y2＝－2px上，
所以22＝－2p×(－2)，解得p＝1，
所以抛物线的准线方程为x＝.
12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3，表面积是________cm2.
答案 3 11＋
解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱．所以其体积为V＝×1＝3(cm3)；其表面积为S＝2×＋2×1×2＋1×1＋1×＝11＋(cm2)．
13．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
2
P
x
y
若E(ξ)＝，则x＋y＝________，D(ξ)＝________.
答案
解析 由x＋＋＋y＝1，得x＋y＝，①
由E(ξ)＝－1×x＋0×＋1×＋2×y＝，
得－x＋2y＝，②
由①②，解得x＝，y＝，∴x＋y＝.
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
14．在△ABC中，D是AC边的中点，A＝，cos∠BDC＝－，△ABC的面积为3，则sin∠ABD＝________，BC＝________.
答案 2
解析 记∠BDC＝α，因为cos α＝－，
所以sin α＝ .
又sin∠ABD＝sin(α－A)＝sin＝－sin cos α＋sin αcos ，
所以sin∠ABD＝×＋×＝.
又令AD＝x，则由正弦定理，得＝，
所以AB＝，又S△ABC＝AB·ACsin ＝3，
所以x＝3，AB＝2，AC＝6.
由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
＝22＋62－2×2×6×＝28，
所以BC＝2.
15．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为点B，设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
答案
解析 由抛物线y2＝2px，可得F，
则|CF|＝－＝3p.
又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝，由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＝，所以xA＝p，则|yA|＝p.
由CF∥AB，得△FCE∽△ABE，从而得＝＝2，
所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，
所以×3p×p＝9，解得p＝(舍负)．
16．正实数x，y满足2x＋y＝2，则x＋的最小值是________．
答案
解析 因为x>0，y>0，由2x＋y＝2，可得00.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)≥f ＝＋＝.
17．已知单位向量a，b的夹角为锐角，且|a－tb|(t∈R)的最小值为，若向量c满足(c－a)·(c－b)＝2，则|c|的最小值是________．
答案 －
解析 设a＝，b＝，c＝，AB的中点为M.
∵|a|＝|b|＝1，∴|a－tb|＝，
则当t＝a·b时，|a－tb|(t∈R)取最小值，
最小值为，从而有＝.
∵a，b的夹角为锐角，
∴a·b＝，得a，b的夹角为60°，
∴||＝1.
(c－a)·(c－b)＝·＝·＝2－2＝2－2＝2，
又||＝1，∴||2＝，即点C在以M为圆心，为半径的圆上，易求||＝，则点O在圆内，则|c|的最小值为－.
