2019年高考数学练习题汇总高考填空题分项练2　平面向量

2019年高考数学练习题汇总高考填空题分项练2　平面向量

高考填空题分项练2　平面向量 ‎1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________.‎ 答案　－16‎ 解析　画图(图略)可知，向量与的夹角为∠C的补角，‎ 故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.‎ ‎2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．‎ 答案　 解析　设向量a与b的夹角为θ，‎ 由题意知(a＋b)·a＝0，‎ ‎∴a2＋a·b＝0，‎ ‎∴|a|2＋|a||b|cos θ＝0，‎ ‎∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎3．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.‎ 答案　－4‎ 解析　∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，‎ ‎∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4.‎ ‎(∵方向相反，∴λ<0⇒k<0)‎ ‎4．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．‎ 答案　3‎ 解析　由题意得解得∴x－y＝3.‎ ‎5．已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a⊥(2a＋b)，则实数m的值为________．‎ 答案　－18‎ 解析　方法一　因为a＝(1,2)，b＝(m,4)，‎ 所以2a＋b＝(m＋2,8)．‎ 因为a⊥(2a＋b)，‎ 所以a·(2a＋b)＝m＋2＋16＝0，‎ 所以m＝－18.‎ 方法二　因为a＝(1,2)，b＝(m,4)，‎ 所以a2＝5，a·b＝m＋8.‎ 因为a⊥(2a＋b)，‎ 所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝10＋m＋8＝0，‎ 所以m＝－18.‎ ‎6．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝3，且a－2b与直线x＋2y－2＝0的方向向量垂直，若b＝(－2,3)，则a＝________.‎ 答案　(－7,0)或 解析　由题意得直线x＋2y－2＝0的斜率k＝－，‎ 因为a－2b与直线x＋2y－2＝0的方向向量垂直，‎ 所以a－2b所在直线的斜率与直线x＋2y－2＝0的斜率互为负倒数，‎ 故可设a－2b＝(m,2m)(m≠0)，‎ 从而a＝(m－4,2m＋6)，得a＋b＝(m－6,2m＋9)．‎ 因为|a＋b|＝3，‎ 所以(m－6)2＋(2m＋9)2＝90，‎ 解得m＝－3或m＝－，‎ 从而a＝(－7,0)或.‎ ‎7.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·的值是________．‎ 答案　9‎ 解析　因为O为BD的中点，所以＋＝0，‎ 所以·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝2＋·＝9＋·＝－7，‎ 所以·＝－16.‎ 所以·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝2＋·＝25－16＝9.‎ ‎8．已知点O在△ABC所在平面内，且AB＝4，AO＝3，(＋)·＝0，(＋)·＝0，则·取得最大值时线段BC的长度是________．‎ 答案　 解析　∵(＋)· ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝||2－||2＝0，‎ ‎∴||＝||＝3，‎ 同理||＝||＝3，‎ 则点O是△ABC的外心．‎ 如图，以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，过点O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A(－2，－)，B(2，－)，‎ 点C在以O为圆心，3为半径的圆上，‎ 设C(3cos θ，3sin θ)，‎ 则·＝(4,0)·(3cos θ＋2,3sin θ＋)‎ ‎＝12cos θ＋8，‎ 当cos θ＝1，即C(3,0)时，·取得最大值20，‎ 此时BC＝.‎ ‎9．在菱形ABCD中，边长AB＝，对角线AC＝4，边DC上(包括D，C点)一动点P与CB的延长线上(包括B点)一动点Q满足DP＝BQ，则·的最小值是________．‎ 答案　2‎ 解析　方法一　连结BD交AC于点O，‎ 因为边长AB＝，对角线AC＝4，‎ 所以BD＝2.‎ 以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.‎ 由题设可知，A(－2,0)，B(0，－1)，C(2,0)，D(0,1)．‎ 设P(2t,1－t)，t∈[0,1]，‎ 因为DP＝BQ，所以Q(－2t，－1－t)，0≤t≤1.‎ 所以·＝(－2－2t，t－1)·(－4t，－2)‎ ‎＝8t2＋6t＋2＝82＋，‎ 由二次函数的单调性可知，‎ 当0≤t≤1时，y＝8t2＋6t＋2单调递增，‎ 所以当t＝0时，·取得最小值，且最小值为2.‎ 方法二　因为边长AB＝，对角线AC＝4，‎ 所以BD＝2.‎ 设向量＝＝a，＝＝b，‎ 由余弦定理得cos〈a，b〉＝＝，‎ 且a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝××＝3.‎ 令＝λa(0≤λ≤1)，‎ 则＝－(＋)＝－(b＋λa)，‎ ＝＋＝(1－λ)a－(1＋λ)b，‎ ·＝(b＋λa)·[(λ－1)a＋(1＋λ)b]‎ ‎＝3(λ－1)＋5(1＋λ)＋5λ(λ－1)＋3λ(1＋λ)‎ ‎＝8λ2＋6λ＋2＝82＋，‎ 由二次函数的单调性可知，‎ 当0≤λ≤1时，y＝8λ2＋6λ＋2单调递增，‎ 所以当λ＝0时，·取得最小值，且最小值为2.‎ ‎10．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．‎ 答案　 解析　∵＝＋，‎ ‎∴3＝2＋，‎ 即2－2＝－，‎ ‎∴2＝，即P为AB的一个三等分点，如图所示．‎ ‎∵A，M，Q三点共线，‎ ‎∴＝x＋(1－x) ‎＝＋(x－1)，‎ 而＝－，∴＝＋.‎ 又＝－＝－＋，‎ 由已知＝t，可得 ＋＝t，‎ 又，不共线，‎ ‎∴解得t＝.‎ ‎11．已知向量a，b满足|a＋b|＝6，|a－b|＝4，则|a|·|b|的取值范围是________．‎ 答案　[5,13]‎ 解析　方法一　由|a＋b|＝6，|a－b|＝4得，‎ ‎①－②得，a·b＝5，‎ 进而得|a|·|b|cos θ＝5(设向量a，b夹角为θ)，‎ 则|a|·|b|≥5；‎ ‎①＋②得，|a|2＋|b|2＝26，‎ 进而得26＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|，‎ 即|a|·|b|≤13.‎ 综上，|a|·|b|的取值范围是[5,13]．‎ 方法二　设a＋b＝2m，a－b＝2n，‎ 则|m|＝3，|n|＝2，a＝m＋n，b＝m－n.‎ 依题意有，(|a|·|b|)2＝|m＋n|2·|m－n|2‎ ‎＝(m2＋n2＋2m·n)·(m2＋n2－2m·n)‎ ‎＝(13＋2m·n)·(13－2m·n)‎ ‎＝169－4(m·n)2，‎ 而m·n的取值范围是[－6,6]，‎ 故(|a|·|b|)2∈[25,169]，‎ 则|a|·|b|的取值范围是[5,13]．‎ ‎12．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为________．‎ 答案　 解析　∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，‎ ‎∴a2＋2a·b＋b2＝1⇒a·b＝－，‎ ‎∴|a－tb|＝＝ ‎＝，‎ ‎∴当t＝－时，|a－tb|min＝.‎ ‎13．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α和β之间的新运算⊗：α⊗β＝.若非零的平面向量a，b满足：a⊗b和b⊗a都在集合中，且|a|≥|b|，设a与b的夹角θ∈，则(a⊗b)sin θ＝________.‎ 答案　 解析　由题意，设a⊗b＝＝cos θ＝(k1∈Z)，‎ b⊗a＝cos θ＝(k2∈Z)，‎ 两式相乘，可得cos2θ＝.‎ 因为θ∈，‎ 于是

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