2016年高考数学(理科)真题分类汇编F单元 平面向量

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2016年高考数学(理科)真题分类汇编F单元 平面向量

‎ 数 学 F单元 平面向量 ‎ F1 平面向量的概念及其线性运算 ‎4.A2,F1[2016·北京卷] 设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 ‎ B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎4.D [解析] 若|a|=|b|成立,则以a,b为边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.‎ ‎13.F1、F3[2016·江苏卷] 如图13,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是________.‎ 图13‎ ‎13. [解析] 设=a,=b,则由题意得=a+3b,=-a+3b,=a+b,=-a+b,=a+2b,=-a+2b,‎ 所以·=9b2-a2=4,·=b2-a2=-1,‎ 解得b2=,a2=,‎ 于是·=4b2-a2=.‎ ‎14.F1,K2[2016·上海卷] 如图12所示,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…A8的中心,A1(1,0).任取不同的两点Ai,Aj,点P满足++=0,则点P落在第一象限的概率是________.‎ 图12‎ ‎14. [解析] 共有C=28(个)基本事件,其中使点P落在第一象限的基本事件共有C ‎+2=5(个),故所求概率为.‎ F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 F3 平面向量的数量积及应用 ‎13.F1、F3[2016·江苏卷] 如图13,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是________.‎ 图13‎ ‎13. [解析] 设=a,=b,则由题意得=a+3b,=-a+3b,=a+b,=-a+b,=a+2b,=-a+2b,‎ 所以·=9b2-a2=4,·=b2-a2=-1,‎ 解得b2=,a2=,‎ 于是·=4b2-a2=.‎ ‎13.F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.‎ ‎13.-2 [解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.‎ ‎3.F3[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量=(,),=(,),则∠ABC=(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ ‎3.A [解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.‎ ‎3.F3[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(  )‎ A.-8 B.-6‎ C.6 D.8‎ ‎3.D [解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.‎ ‎8.F3[2016·山东卷] 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.-4‎ C. D.- ‎8.B [解析] 由4|m|=3|n|,可设|m|=3,|n|=4.又∵n⊥(tm+n),cos〈m,n〉=,‎ ‎∴n·(tm+n)=0,即t×4×3×+16=0,解得t=-4.‎ ‎15.F3[2016·浙江卷] 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是________.‎ ‎15. [解析] 由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,得|a+b|≤,即|a|2+|b|2+2a·b≤6,所以a·b≤,故a·b的最大值为.‎ ‎12.C4,F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上一个动点,则·的取值范围是________.‎ ‎12.[0,1+] [解析] 由题意得y=表示以原点为圆心,1为半径的上半圆,设P(cos α,sin α),α∈[0,π],则=(1,1),=(cos α,sin α+1),所以·=cos α+sin α+1=sin(α+)+1,因为α∈[0,π],所以0≤·≤1+.‎ ‎21.H6,H8,F3[2016·上海卷] 双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.‎ ‎(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)设b=,若l的斜率存在,且(+)·=0,求l的斜率.‎ ‎21.解:(1)设A(xA,yA),‎ F2(c,0),c=,由题意,y=b2(c2-1)=b4,‎ 因为△F1AB是等边三角形,所以2c=|yA|,‎ 即4(1+b2)=3b4,解得b2=2.‎ 故双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ ‎(2)由已知,F1(-2,0),F2(2,0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x-2),显然k≠0.‎ 由得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.‎ 因为l与双曲线交于两点,所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0.‎ 设AB的中点为M(xM,yM).‎ 由(+)·=0,即·=0,知F1M⊥AB,故kF1M·k=-1.‎ 又xM==,yM=k(xM-2)=,所以kF1M=,‎ 所以·k=-1,得k2=,故l的斜率为±.‎ ‎ F4 单元综合 ‎10.F4[2016·四川卷] 在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·‎ eq o(DC,sup6(→))=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  )‎ A. B. C. D. ‎10.B [解析] 方法一:由题意,因为||=||=||,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心.‎ ·=·=·=-2⇒‎ ·-·=·(-)=·=0,所以DB⊥AC.‎ 同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,‎ 从而D是△ABC的垂心,‎ 所以△ABC的外心与垂心重合,因此△ABC是正三角形,且D是△ABC的中心,‎ 所以·=||||cos∠ADB=||||×=-2⇒||=2,‎ 所以正三角形ABC的边长为2.‎ 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(3,-),C(3,),D(2,0).‎ 由||=1,设P点的坐标为(cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π).‎ 由=,可知M是PC的中点,‎ 所以M的坐标为,‎ 则||2=+=≤=,‎ 当θ=π时,||2取得最大值.‎ 方法二:由||=||=||可知D为△ABC的外心,再根据·=·=·=-2,得∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°,‎ 于是△ABC为正三角形,且边长为2.‎ 设AC的中点为T,则||=3,‎ 由条件知=(+)=(++)=(2+)=+,‎ 所以||2=+2=||2+||2+·=||2+||2+||||cos〈,〉≤9++3×1×1=,‎ 当且仅当〈,〉=0°,即与同向时等号成立.‎ ‎7.F4[2016·天津卷] 已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(  )‎ A.- B. C. D. ‎7.B [解析] =-,=+=+=+,‎ ‎∴·=(-)·(+)=×1×1×-+-×1×1×=+--=.‎ ‎6.[2016·南阳期末] 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点, =λ+μ,则 λ+μ的值为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎6.A [解析] =2=2λ+2μ,由于B,C,M三点共线,故2λ+2μ=1,所以λ+μ=.‎ ‎4.[2016·济宁期末] 在△ABC中,G是△ABC的重心,边AB,AC的长分别为2,1,∠BAC=60°,则·=(  )‎ A.- ‎ B.- C. ‎ D.- ‎4.A [解析] 由AB=2,AC=1,∠BAC=60°,得BC=,∠ACB=90°.以C为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立直角坐标系,则A(0,1),B(,0),所以重心G,所以=,=,所以·=·=-.‎ ‎7.[2016·福州质检] 在△ABC中,BC=2,A=45°,B为锐角,点O是△ABC外接圆的圆心,则·的取值范围是(  )‎ A. (-2,2]‎ B. (-2,2]‎ C.[-2,2]‎ D. (-2,2)‎ ‎7.A [解析] 由题意得AB=2sin C,AC=2sin B,取BC的中点D,连接OD,AD,则OD⊥BC,所以·=(-)·=-·=-(+)·(-)=(2-2)=4sin2C-4sin2B=2cos 2B-2cos 2C=2cos 2B-2cos(270°-2B)=2cos 2B+2sin 2B=2sin(2B+45°).‎ 又45°<2B+45°<225°,所以-
查看更多