历届高考数学真题汇编专题14_复数_理

历届高考数学真题汇编专题14_复数_理

‎【2006高考试题】‎ 一、选择题（共11题）‎ ‎2．（北京卷）在复平面内，复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解：故选D ‎3．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=‎0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0‎ ‎4．（广东卷）若复数满足方程，则 A. B. C. D. ‎ 解析：由，故选D.‎ ‎5．（江西卷）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）‎ A． B. C. D.‎ 解：故选D。‎ ‎6．（全国卷I）如果复数是实数，则实数 A． B． C． D．‎ 解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B.‎ ‎8．(陕西卷)复数等于( )‎ ‎ A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i 解析: 复数=，选C．‎ ‎11．（浙江卷）已知 ‎(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i ‎ ‎【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。‎ 解析：，由、是实数，得 ‎∴，故选择C。‎ 二、填空题（共4题）‎ ‎12．（湖北卷）设为实数，且，则 。‎ 解：，‎ 而 所以，解得x＝－1，y＝5，‎ 所以x＋y＝4。‎ ‎13．(上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．‎ 解：已知；‎ ‎14．(上海卷)若复数满足（为虚数单位），其中则。‎ ‎【2005高考试题】‎ ‎1（广东卷）若，其中、，使虚数单位，则(D)‎ ‎（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）（Ｄ）５‎ ‎2.（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．‎ ‎3. （福建卷）复数的共轭复数是 （ B ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4. （湖北卷） （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. （湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　 （B）‎ ‎　 A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．i ‎6. （辽宁卷）复数在复平面内，z所对应的点在 （B ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7. (全国卷II) 设、、、，若为实数，则 ( A)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8. (全国卷III) 已知复数.‎ ‎9. （山东卷）（1） （ D ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）‎ ‎10. （天津卷）2．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为 （ C ）‎ A．－2 B．‎4 ‎ C．－6 D．6‎ ‎11. （浙江卷）在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( B )‎ ‎(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 ‎12. (重庆卷) （ A ）‎ ‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎13. （江西卷）设复数：为实数，则x=（ A） ‎ ‎ A．－2 B．－‎1 ‎C．1 D．2 ‎ ‎14.（上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)‎ ‎【2004高考试题】‎ ‎1.（北京）当时，复数在复平面上对应的点位于（ D ）‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．（上海）若复数满足，则的实部是 1 。‎ ‎3．（湖北）复数的值是 （ A ）‎ ‎ A．－16 B．‎16 ‎C． D．‎ ‎4．（湖南）复数的值是 （ D ）‎ ‎ A． B．－ C．4 D．－4‎ ‎【2003高考试题】‎ ‎※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（ ）‎ A.θ＋ B.θ＋ C.θ D.θ＋‎ ‎4．（2002全国，2）复数（i）3的值是（ ）‎ A. －i B.i C.－1 D.1‎ ‎5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）‎ 图12—1‎ ‎※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝，则arg是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎※9.（2000上海理，13）复数z＝（i是虚数单位）的三角形式是（ ）‎ A.3［cos（）＋isin（）］ B.3（cos＋isin）‎ C.3（cos＋isin） D.3（cos＋isin）‎ ‎10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）‎ A. B. ‎ C.± D.±‎ ‎13.（1996全国，4）复数等于（ ）‎ A.1+i B.－1+i ‎ C.1－i D.－1－i ‎14.（1994上海，16）设复数z=－i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）‎ A.3 B‎.4 ‎ C.6 D.7‎ ‎15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）‎ A.1 B. C.2 D.‎ 二、填空题 ‎16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+＞2的一个充要条件是z满足 .‎ ‎17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ．‎ ‎18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝ ．‎ ‎19.（2001上海春，2）若复数z满足方程i=i－1（i是虚数单位），则z=_____.‎ ‎20.（1997上海理，9）已知a=（i是虚数单位），那么a4=_____.‎ ‎21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）=4+3i，那么z=_____.‎ 三、解答题 ‎26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．‎ ‎（Ⅰ）设α是方程x＋的一个根，试用列举法表示集合Mα；‎ ‎（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．‎ ‎27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．‎ ‎（Ⅰ）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；‎ ‎（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．‎ ‎28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5（m∈R），求z和m的值.‎ ‎※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜）的最大值以及对应的θ值.‎ ‎※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.‎ ‎※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.‎ ‎※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.‎ ‎※34.（1998上海理，18）已知向量所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将绕原点O按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为z′，求复数z′+i的辐角主值.‎ ‎※35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.‎ ‎38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.‎ ‎（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设u=，求证：u为纯虚数；‎ ‎（Ⅲ）求w－u2的最小值.‎ ‎39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.‎ ‎※40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.‎ ‎※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.‎ ‎※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，‎ ‎（Ⅰ）设w=z2+3－4，求w的三角形式.‎ ‎（Ⅱ）如果=1－i，求实数a，b的值.‎ ‎43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为π，且为实数，求复数 w.‎ ‎●答案解析 ‎2.答案：A 解析：由已知z=［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.‎ ‎3.答案：B 解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝（cos＋isin）（cosθ＋isinθ）‎ ‎＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］‎ ‎∵θ∈（，π） ∴θ＋∈（，）‎ ‎∴该复数的辐角主值是θ＋．‎ ‎6.答案：D 解法一：‎ 解法二： ∴‎ ‎∴应在第四象限，tanθ＝，θ＝arg．‎ ‎∴arg是π．‎ ‎8.答案：B 解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是 ‎．‎ ‎9.答案：C 解法一：采用观察排除法.复数对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.‎ 解法二：把复数直接化为复数的三角形式，即 ‎12.答案：D 解法一：∵－i=cos+isin ‎∴－i的三个立方根是cos（k=0，1，2）‎ 当k=0时，；‎ 当k=1时，；‎ 当k=2时，.‎ ‎13.答案：B 解法一：，‎ 故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－，‎ 故.‎ 于是,‎ 所以选B.‎ 解法二：原式=‎ ‎∴应选B ‎14.答案：B 解析：z=－i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B.‎ ‎17.答案：‎ 解析：设 ‎∵w1⊙w2＝0 ∴由定义x1x2＋y1y2＝0‎ ‎∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2＝．‎ ‎21.答案：2+i 解析：由已知，‎ 故z=2+i.‎ ‎22.解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（‎3a＋b）i．‎ 由题意，得a＝3b≠0．‎ ‎∵|ω|＝，‎ ‎∴|z|＝．‎ 将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．‎ 故ω＝±＝±（7－i）．‎ 解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，‎ 则ω＝．‎ ‎∵|ω|＝5，∴k＝±50．‎ 故ω＝±（7－i）．‎ ‎23.解：∵z＝1＋i，‎ ‎∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，‎ ‎（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋‎4a）＋4（a＋2）i，‎ 因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得 两式相加，整理得a2＋‎6a＋8＝0，‎ 解得a1＝－2，a2＝－4，‎ 对应得b1＝－1，b2＝2．‎ 所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．‎ ‎（Ⅱ）z7＝1，z＝cosα＋isinα ‎∴z7＝cos7α＋isin7α＝1，7α＝2kπ z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6‎ ‎＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－‎ ‎2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］‎ ‎＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα）‎ ‎∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1，‎ cosα＋cos2α＋cos4α＝－‎ 解法二：z2·z5＝1，z2＝‎ 同理z3＝，z＝‎ ‎∴z＋z2＋z4＝－1－－－‎ ‎∴z＋＋＋z＋＋z＝－1‎ ‎∴cos2α＋cosα＋cos4α＝‎ 解法二：|z|＝1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆.‎ 而z1可看成在坐标系中的点（2，－2）‎ ‎∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z－z1|max＝2＋1‎ ‎26.（Ⅰ）解：∵α是方程x2－x＋1＝0的根 ‎∴α1＝（1＋i）或α2＝（1－i）‎ 当α1＝（1＋i）时，∵α12＝i，α12n－1＝‎ ‎∴‎ 当α2＝（1－i）时，∵α22＝－i ‎∴‎ ‎∴Mα＝｝‎ ‎28.解：设z＝x＋yi（x、y∈R），‎ ‎∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，‎ 而（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i，‎ 又∵（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，‎ ‎∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x ‎∴x＝±，y＝±‎ 即z＝±（＋i）；z＝±（1＋7i）．‎ 当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，‎ 即（1－m）2＋72＝50，‎ 得m=0，m=2.‎ 当z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．‎ 解：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋y，x－y）仍在该直线上，‎ ‎∴x－y＝k（x＋y）＋b，‎ 即－（k＋1）y＝（k－）x＋b，‎ ‎30.解：由0＜θ＜得tanθ＞0．‎ 由z＝3cosθ＋i·2sinθ，得0＜argz＜及tan（argz）＝tanθ 故tany＝tan（θ－argz）＝‎ ‎∵＋2tanθ≥2‎ ‎∴≤‎ 当且仅当＝2tanθ（0＜θ＜）时，‎ 即tanθ＝时，上式取等号.‎ 所以当θ＝arctan时，函数tany取最大值 由y＝θ－argz得y∈（）．‎ 由于在（）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan．‎ 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.‎ ‎∴复数（1－ci）的辐角主值在［0，‎ 范围内，有arg［（1－ci）］＝arctan＝arctan（－1），‎ ‎∵0＜c≤1，∴0≤－1＜1，‎ 有0≤arctan（－1）＜，‎ ‎∴0≤arg［（1－ci）］＜．‎ ‎32.解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i 得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.‎ ‎∴.∴z=i.‎ ‎|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|‎ ‎=‎ ‎∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.‎ ‎∴0≤|z－ω|≤2.‎ 评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.‎ ‎34.解：由（z－2）i=1+i得z=+2=3－i ‎∴z′=z［cos（－）+isin（－）］=（3－i）（i）=－2i z′+i=－i=2（i）=2（cosπ+isinπ）‎ ‎∴arg（z1+i）=π 评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.‎ ‎35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（i）（i）（1+i）‎ ‎=（1+i）2（i）=‎ 故复数zw+zw3的模为，辐角主值为.‎ 解法二：w=i=cos+isin zw+zw3=z（w+w3）=z［（cos+isin）+（cos+isin）3］‎ ‎=z［（cos+isin）+（cos+isin）］=z（）‎ ‎=‎ 故复数zw+zw3的模为，辐角主值为π.‎ 评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.‎ 又因为|OP|=||=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1‎ ‎∴|OP|=|OQ|.‎ 由此知△OPQ为等腰直角三角形.‎ 证法二：∵z=cos（－）+isin（－）.‎ ‎∴z3=－i 又ω=.‎ ‎∴ω4=－1‎ 于是 由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|‎ 故△OPQ为等腰直角三角形.‎ ‎（2）由z1=1+mi（m＞0），z12=z2得z2=（1－m2）+‎‎2mi ‎∴ω=－（1+m2）+‎‎2mi tanθ=－‎ 由m＞0，知m+≥2，于是－1≤tanθ≤0‎ 又 －（m2+1）＜0，‎2m＞0，得π≤θ＜π 因此所求θ的取值范围为［π，π）.‎ ‎38.解：（Ⅰ）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0‎ 则w=a+bi+‎ 因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，‎ 即|z|=1.‎ 于是w=‎2a，－1＜w=‎2a＜2，－＜a＜1，‎ 所以z的实部的取值范围是（－，1）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.‎ ‎39.解：由|z1＋z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=－1，所以z1的实部=z2的实部=－.又|z2|=1，故z2的虚部为±，‎ z2=－±i，z2=z1.‎ 于是z1+z1，‎ 所以z1=1，z2=或z1=，z2=1.‎ 所以，或 ‎40.解法一：z2+z=（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ ‎=2cosθcos+i·2sincos=2cos（cosθ+isinθ）‎ ‎=－2cos［cos（π+θ）+isin（π+θ）］‎ ‎∵θ∈（π，2π），∴∈（，π），∴－2cos＞0‎ ‎∴复数z2+z的模为－2cos，辐角为2kπ+π+θ（k∈Z）‎ 解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得 ‎∴z1＝z2（1－i）＝（1－i）（1－i）＝i z3＝z2－z1＝（1＋i）－（i）＝i ‎42.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是 ‎（cos）‎ ‎43.解：因为w为复数，argw＝，所以设w=r（cos＋isin），‎ 则，‎ 从而4－r2＝0，得r=2.‎ 因此w＝2（cos＝－＋i．‎