历届高考数学真题汇编专题5_三角函数_理 (2)
【2012年高考试题】
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为，结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.
3.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）
【答案】A
4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
A、 B、 C、 D、
5.【2012高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由余弦定理知，故选Ｃ．
6.【2012高考真题山东理7】若，，则
（A） （B） （C） （D）
7.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A
【解析一】
，故选A
【解析二】
，故选A
8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=
A． B. C. D.
【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由得， ，即
，所以，选D.
9.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
10.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
【答案】A
【解析】函数若为偶函数，则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，选A.
12.【2012高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】因为,所以,根据正弦定理有，所以，所以。又，所以，选A.
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .
15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．
【答案】
【解析】
16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。
【答案】4
【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.
17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
【答案】．
【解析】设最小边长为，则另两边为.
所以最大角余弦
19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则
20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小
为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，
∴=。
21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时，x=___________.
【答案】
【解析】函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.
22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【解析】∵为锐角，即，∴。
∵，∴。∴
。
∴。
∴
。
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.
24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
【答案】（Ⅰ）因为
.
由直线是图象的一条对称轴，可得，
所以，即．
又，，所以，故.
所以的最小正周期是.
25.【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)
设函数。
（I）求函数的最小正周期；
（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式。
【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。
【解析】
，
（I）函数的最小正周期
（2）当时，
当时，
当时，
得函数在上的解析式为。
26.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.
27.【2012高考真题陕西理16】（本小题满分12分）
函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数的解析式；
（2）设，则，求的值。
【答案】
31.【2012高考真题重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）
设，其中
（Ⅰ）求函数 的值域
（Ⅱ）若在区间上为增函数，求 的最大值.
【答案】
32.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．
(Ⅰ)求tanC的值；
(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，
又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝cosC＋sinC．
整理得：tanC＝．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．
又由正弦定理知：，
故． (1)
对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)
解(1) (2)得： or b＝(舍去)．
∴ABC的面积为：S＝．
33.【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)
在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。
【答案】
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。
34.【2012高考真题江西理18】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，。
（1）求证：
（2）若，求△ABC的面积。
【答案】
36.【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】
37.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。
【2011年高考试题】
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.
2.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ）
(A) (B) (C) (D)
3.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
4.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则
（A） （B） （C） （D）【答案】 C
【解析】：
故选C
5. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（ ）
A B C D
9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由，即，解得，
即，所以选B.
11．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】：令，，则它们的图像如图故选B
12.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足
，且，则的值为
（A） (B)
(C)1 (D)
解析：选A。 由得，由得，解得
13. (2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.则A的取值范围是( )
(A)(0，] (B)[ ，) (c)(0，] (D) [ ，)
15． (2011年高考福建卷理科3)若tan=3，则的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
16．(2011年高考福建卷理科10)已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空题:
1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
【答案】
【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△
ABC的面积为.
3. (2011年高考全国新课标卷理科16)在中，，则的最大值为 。
4.(2011年高考重庆卷理科14)已知，且，则的值为
解析：。 由题设条件易得：，故，，所以
5.(2011年高考全国卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=
【答案】
【解析】 a∈(，)，sinα=
则tanα= 故tan2α=
6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为__________
【答案】
【解析】因为,而=-cot2x,所以,
又因为,所以解得,所以的值为.
7.(2011年高考安徽卷江苏9)函数是常数，的部分图象如图所示，则
8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
11．(2011年高考上海卷理科8)函数的最大值为 。
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）
在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（I） 求的值；
（I） 若cosB=，,求的面积.
2.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设，若求的大小．
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
解析：由，即，
因为，所以，两边平方得．
（2）由得，所以，所以，
由得，由余弦定理得，
又，即，所以，
所以，所以．
本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定理．
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
求角的大小；
求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）设求的值.
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.
解析：
（Ⅰ）的周长为
（Ⅱ）
故A为锐角.
..
8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）
设满足，求函数 在上的最大值和最小值
解析：
由得，解得：
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求证：.
解析：（Ⅰ）∵
，
∴的最小正周期是，当，
即时，函数取得最小值-2.
（Ⅱ），，
..
，
，
所以，结论成立.
11.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因为
所以解得,即A的值为.
（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以
,所以==,解得
又因为,所以,解得的值为.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
14．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
解：（I）由
【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
解析：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题
（2010浙江理数）（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：因为0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题
（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
（2010辽宁理数）（5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。
【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选C
（2010江西理数）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，
解得
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得
，解得。
（2010重庆理数）
（6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则
A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -
解析： 由五点作图法知，= -
（2010四川理数）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得
，
所以cosA==，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
（2010全国卷1理数）(2)记,那么
A. B. - C. D. -
（2010湖南理数）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，,则
A、a>b B、a
0, )的图像如图所示，则 =________________
5．(2009·安徽文理16)在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)设AC=，求△ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分
解：(Ⅰ)由，且，∴，∴，
A
B
C
∴，又，∴
(Ⅱ)如图，由正弦定理得
∴，又
∴
6.（2009·宁夏海南理15）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
解：
方案一：①需要测量的数据有：A
点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ……….3分
②第一步：计算AM . 由正弦定理 ；
第二步：计算AN . 由正弦定理 ；
第三步：计算MN. 由余弦定理 .
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理 ；
第二步：计算BN . 由正弦定理 ；
第三步：计算MN . 由余弦定理
7．(2009·山东理17)设函数。
(Ⅰ)求函数的最大值和最小正周期；
(Ⅱ)设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求。
8．(2009·广东理16)已知向量互相垂直，其中．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
解：(1)∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.
(2)∵，，∴，则，∴
9．(2009·江苏15)
设向量
(1)若与垂直，求的值；
(2)求的最大值;
(3)若，求证：∥.
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。
10．(2009·浙江理18)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=,
=3.
(Ⅰ)求的面积；
(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。
解析：(I)因为，，又由，得，
(II)对于，又，或，由余弦定理得，
11．(2009·天津理17)在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
(II) 求sin的值
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
(Ⅰ)解：在△ABC中，根据正弦定理，
于是AB=
(Ⅱ)解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=
于是 sinA=
从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=
12.（2009·福建理）（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，
解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当 是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
13.（2009·辽宁理14）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
解:
在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。 ……12分
【2008年高考试题】
1．(2008·山东卷)函数的图象是
答案：A
解析：本题考查复合函数的图象。
是偶函数，可排除B,D; 由排除C,选A。
2．(2008·山东卷)已知，则的值是
(A)- (B) (C)- (D)
答案：C
解析：本题考查三角函数变换与求值。
，
3．(2008·山东理科卷)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝()，n＝(cosA,sinA).若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝.
答案：
解析：本题考查解三角形
，，
，。
4．(2008·江苏卷)的最小正周期为，其中，则 。
解析：本小题考查三角函数的周期公式。。
答案：10
解析：，选C。
8．(2008·山东卷)已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f()的值；
(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.
所以
当 (k∈Z),
即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
9．(2008·广东卷)已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
(1)求的解析式；
(2)已知，且，，求的值．
10．(2008·江苏卷)如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。
（1） 求的值； (2) 求的值。
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，
故。同理可得，
因此。
(1)。
(2)，
，从而。
11．(2009·广东文16)已知向量互相垂直，其中．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【2007年高考试题】
1．(2007·山东理5)函数的最小正周期和最大值分别为( )
A．， B．， C．， D．，
答案：A
解析：化成的形式进行判断即。
2．(2007·广东理3)若函数，则是( )
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
答案：D
3．(2007·海南、宁夏理3)
答案：A
4．(2007·海南宁夏理9)若，则的值为( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：C
5．(2007·广东理16)
已知顶点的直角坐标分别为，，．
(1)若，求的值；
(2)若是钝角，求的取值范围．
解析： (1)，，若c=5， 则，∴
，∴sin∠A＝；
2)若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
6．(2007·海南宁夏理17)
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
7．(2007·山东理20)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
北
乙
甲
解法一：如图，连结，由已知，
解法二：如图，连结，由已知，，，
北
乙
甲
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
【2006高考试题】
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学
第四章《三角函数》题目汇编
一、选择题（共25题）
1.（安徽卷）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以，因此选C。
4.（北京卷）函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
解：函数y=1+cos是偶函数，故选B
5.（福建卷）已知∈(,)，sin=,则tan()等于
A. B.7 C.－ D.－7
解：由则，=，选A.
6.（福建卷）已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于，选B.
7.（湖北卷）若的内角满足，则
A. B． C． D．
9．（湖南卷）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π B. π C. D.
解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
10.（江苏卷）已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题
11．（江苏卷）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。
【正确解答】先将的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像，选择C。
【解后反思】由函数的图象经过变换得到函数
（1）．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
（3）函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。
12.（江西卷）函数的最小正周期为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：T＝，故选B
14.（辽宁卷）函数的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：，选D
15.（全国卷I）函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
解：函数的单调增区间满足，
∴ 单调增区间为，选C.
16.（全国II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
解析: 所以最小正周期为,故选D
考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.
18.(陕西卷)"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k·2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．
19.(陕西卷) “α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( )
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k·2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．
20.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.
21.（天津卷）已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
22.（天津卷）设，那么“”是“”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：在开区间中，函数为单调增函数，所以设那么是的充分必要条件，选C.
23.（浙江卷）函数y=sin2+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］ (D)［］
【考点分析】本题考查三角函数的性质，基础题。
解析：，故选择C。
【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
或的模式。
24.（天津卷）已知函数、为常数，的图象关于直线对称，则函数是
（A）偶函数且它的图象关于点对称（B）偶函数且它的图象关于点对称
（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称
25．(重庆卷)若，,，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
解：由，则，，又
，，所以，
解得，所以 ＝，故选B
二、填空题（共11题）
26.（福建卷）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于.
27.（湖南卷）若是偶函数,则有序实数对()可以是 .(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).
29.（江苏卷）＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
【正确解答】
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
30.（全国卷I）设函数。若是奇函数，则__________。
32.(上海卷)如果＝，且是第四象限的角，那么＝ 解：已知；
33.(上海卷)函数的最小正周期是_________。
解：函数=sin2x，它的最小正周期是π。
34．（浙江卷）函数的值域是
解：由x∈R，函数=的值域是.
35.(重庆卷)已知，sin()=－ sin则cos=________.
解： ，，
，∴ ，，
则=
=
36.(重庆卷)已知，，则 。
解：由，Þcosa＝－，所以－2
三、解答题（共18题）
37.（安徽卷）已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
38.（安徽卷）已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由，得，所以＝。
（Ⅱ）∵，∴。
39.（北京卷）已知函数，
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.
解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，
即的定义域为｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）＝－2sinx＋2cosx＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝
＝－2sina＋2cosa＝
40.（北京卷）已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.
41.（福建卷）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I）
的最小正周期
由题意得 即
的单调增区间为
42. （福建卷）已知函数。
（I）求函数的最小正周期和单调增区间；
（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I）
的最小正周期
由题意得
即
的单调增区间为
（II）方法一：先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。
方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。
43．（广东卷）已知函数.
(I)求的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若，求的值.
44.（湖南卷）已知求θ的值.
解析： 由已知条件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，从而.
45.（辽宁卷）已知函数，.求:
(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
(II) 函数的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
当,即时, 取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.
46.（山东卷）已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
解：（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，
又.
（II）解法一：，
.
又的周期为4，，
解法二：
又的周期为4，，
47(陕西卷)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
48.(上海卷)求函数＝2＋的值域和最小正周期．
[解]
∴ 函数的值域是,最小正周期是；
49.(上海卷)已知是第一象限的角，且，求的值。
50. （天津卷）已知，．求和的值．
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由得则
因为所以
解法二：由得
解得或由已知故舍去得
因此，那么
且
故
51.（浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)
的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
52.(重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
【2005高考试题】
选择题
1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)2003时，f（x）>恒成立 ③f（x）的最大值是 ④f（x）的最小值是－
A.1 B.2 C.3 D.4
8.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A.（，）∪（π，）
B.（，π）
C.（，）
D.（，π）∪（，）
图4—1
9.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，）∪（，3）
C.（0，1）∪（，3）
D.（0，1）∪（1，3）
10.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）
A.y=cos2x B.y＝2|sinx|
C.y＝()cosx D.y=－cotx
11.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）
12.（2002北京文，8）若＝1，则cos2θ的值为（ ）
A. B.－ C. D.－
13.（2002北京理，8）若＝1，则的值为（ ）
A.3 B.－3 C.－2 D.－
14.（2002河南，1）函数f（x）=的最小正周期是（ ）
A. B.π C.2π D.4π
15.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA
，sinB－cosA）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
16.（2001全国理，1）若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
17.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ）
A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋
21.（2000京、皖春理，10）函数y＝的最大值是（ ）
A.－1 B. ＋1 C.1－ D.－1－
22.（2000京、皖文，10）函数y＝sinx＋cosx＋2的最小值是（ ）
A.2－ B.2＋ C.0 D.1
23.（2000全国，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（ ）
A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
24.（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
25.（2000上海文，13）函数y＝sin（x＋）（x∈［－，］）是（ ）
A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数
26.（2000春季北京、安徽，12）设α，β
是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）
A.tanα·tanβ＜1 B.sinα＋sinβ＜
C.cosα＋cosβ＞1 D.tan（α+β）cos2x，则x的取值范围是（ ）
A.{x|2kπ－πcot B.tancos D.sin－cos
二、填空题
55.（2003京春文，13）函数y=sin2x+1的最小正周期为 .
56.（2003上海春，3）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第 象限.
57.（2003上海春，8）不等式（lg20）2cosx>1（x∈（0，π））的解为_____.
58.(2002上海春，6)已知f（x）=.若α∈（,π）,则f（cosα）＋f（－cosα）可化简为 .
59.（2002京皖，4）如果cosθ＝－，θ∈（π，），那么cos（θ＋）的值等于 .
60.（2002天津文，14）已知sin2α＝－sinα（α∈（，π）），则cotα＝ .
61.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝ .
62.（2002北京文，13）sinπ，cosπ，tanπ从小到大的顺序是 .
63.（2002上海，10）设函数f（x）=sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是 .
64.（2002全国，15）已知sinα=cos2α（α∈（，π）），则tanα=_____.
65.（2001全国春季北京、安徽，5）已知sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .
70.（2000春季北京、安徽，5）函数y＝cos（）的最小正周期是 .
71.（1999上海，16）函数y=2sinxcosx－2sin2x+1的最小正周期是_____.
72.（1999上海理，7）函数y=2sin（2x+）（x∈［－π，0］）的单调递减区间是_____.
73.（1998上海理，2）若函数y=2sinx＋cosx＋4的最小值为1，则a= .
74.（1998全国理，19）关于函数f（x）=4sin（2x＋）（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x－）；
③y=f（x）的图象关于点（－，0）对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x=－对称.
其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）.
75.（1997上海理，12）函数f（x）=3sinxcosx－4cos2x的最大值是_____.
76.（1997上海文，12）函数f（x）=3sinxcosx－1的最大值为_____.
77.（1997上海，8）方程sin2x=在［－2π，2π］内解的个数为_____.
84.（1994全国，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则cotθ的值是 .
三、解答题
图4—3
85.（2003京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
86.（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图4—3所示.求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标.
图4—4
87.（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx＋）＋b.
（Ⅰ）求这段时间的最大温差；
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.
88.（2002京皖春，17）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值.
89.（2002全国理，17）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1,α∈（0,）.求sinα、tanα的值.
90.（2002天津理，17）已知cos（α＋）＝≤α＜，求cos（2α＋）的值.
91.（2001上海春）已知=k(<α<),试用k表示sinα－cosα的值.
92.（2001上海，17）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积.若a=4，b=5，S=5，求c的长度.
97.（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
98.（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
99.（1998上海理，17）设α是第二象限的角，sinα=，求sin（－2α）的值.
100.（1998全国理，20）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A－C=.求sinB的值.
101.（1997上海理，17）已知tan，求sin（α＋）的值.
102.（1996上海,19）已知sin（+α）sin（－α）=,α∈（，π）,求sin4α.
103.（1996全国，21）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A＋C＝2B，，求cos的值.
104.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.
105.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，
求tan（α－2β）的值.
106.（1994全国文，21）求函数y=+sin2x的最小值.
107.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，证明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.
解析三：作差sinA－sinC=2cos·sin，A、B、C为△ABC的三个内角，又A0，sin
<0，可得sinA0，ω>0）的振幅和最小正周期的概念，以及最小正周期的计算公式.
21.答案：B
解析：.
26.答案：D
解法一：取特殊情况，若α＝β，则0＜α＜，0＜tanα＜1，0＜1－tan2α＜1.
∵tan（α＋β）＝tan2α＝.
解法二：∵α＋β＜，∴α＜－β
tanα在［0，上是增函数，∴tanα＜tan（ －β）＝cotβ，
∴tanαtanβ＜tanβ·cotβ＝1，∴A正确.
图4—9
其他同解法一
27.答案：D
解析：如图4—9，由题意知，πr2h＝R2h，
∴r=，又△ABO∽△AOC，∴，
∴OA2＝r·R＝.
30.答案：B
解法一：取α＝±，±代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－
适合，又只有－∈（－，0），故答案为B.
解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－，0）
评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.
解法二：取α＝∈（），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，π），则P点不在第一象限，排除D,选B.
解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得或π＜α＜，故选B.
评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.
34.答案：B
解析：y=cos22x－sin22x=cos4x，T=.
35.答案：B
解析：设sinα，cosα，1成等比数列，则1－sin2α＝sinα，解得sinα＝或
sinα＝（舍）∴α＝arcsin，故应选B.
评述：本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识，构造方程求解为常规解法.
36.答案：C
解析：bsinA+a·（－sinB）=2RsinBsinA－2RsinAsinB=0.
评述：本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理.
37.答案：B
解析：y=cos2x－3cosx+2=（cosx－）2－.所以cosx=1时，y的最小值为y=12－3·1+2=0.
评述：本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等.
38.答案：B
解析：y＝sin（－2x）＋cos2x＝sin（－2x）＋sin（＋2x）＝2sincos（2x＋）,显然函数的最小正周期为π，故选B.
评述：本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法.
42.答案：B
解析：当2kπ－≤x+≤2kπ+，k∈Z时，函数单调递增.
解得2kπ－≤x≤2kπ+，k∈Z.显然当x∈［0，］时，函数单调递增.
43.答案：D
解析：由已知f（x）=2sin（x＋），－≤x＋≤，故－1≤f（x）≤
2，所以选D.
评述：本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法.
44.答案：A
解法一：取α＝满足0＜α＜，
则原式＝arcsin（－）＋arccos（－）＝，故选A.
解法二：arcsin［cos（＋α）］＋arccos［sin（π＋α）］
＝arcsin（－sinα）＋arccos（－sinα）＝－arcsin（sinα）＋π－arccos（sinα）
＝－α＋π－arccos［cos（－α）］＝－α＋π－（－α）＝，所以选A.
评述：本题主要考查反三角函数的基础知识，概念性强，对观察、判断能力要求高.
45.答案：D
46.答案：B
解析：由已知得2x＋＝＋kπ（k∈Z），x＝（k∈Z），x＝0，，π，.故选B.
图4—11
47.答案：Ass
解法一：由已知得： sin（x－）≤0，所以2kπ＋π≤x－≤2kπ＋2π，2kπ＋≤x≤2kπ＋，令k=－1得－≤x≤，选A.
图4—12
解法二：取x＝，有sin，排除C、D，取x＝，有sin＝，排除B，故选A.
解法三：设y＝sinx，y＝cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.
解法四：画出单位圆，如图4—12，若sinx≤cosx，显然应是图中阴影部分，故应选A.
评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.
48.答案：C
49.答案：A
解法一：将原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝
于是1－sin22θ＝，sin22θ＝，由已知，θ在第三象限，
故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋
从而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π
故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝，故应选A.
解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ＞0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ＝，得2sin2θcos2θ＝，并与sin4θ＋cos4θ＝相加得（sin2θ＋cos2θ）2＝1成立，故选A.
评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.
52.答案：A
解法一：因为θ为第二象限角，则2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan＞cot.
图4—13
解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜＜
kπ＋，k为奇数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；
k为偶数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，选A.
评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.
53.答案：D
解析：y=sin2x·cos2x=sin4x，因此周期为.
54.答案：B
解析：曲线C：y=cosx，利用移轴公式：C：y′－=cos（x′+）C：y′=－sinx′+.
评述：本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式.
55.答案：π
解析：因为y=sin2x+1，利用T==π.因此，周期T=π.
58.答案：2cscα
解析：f（cosα）＋f（－cosα）＝
＝
59.答案：－
解析：∵cos（θ＋）＝cosθcos－sinθsin
又∵θ∈（π，），cosθ＝－ ∴sinθ＝－
∴原式＝－×
61.答案：
解析：∵0＜ω＜1 ∴T＝＞2π ∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数
∴f（x）max＝f（）即2sin 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝
62.答案：cosπ＜sin＜tan
解析：cos＜0，tan＝tan ∵0＜x＜时，tanx＞x＞sinx＞0
∴tan＞sin＞0 ∴tan＞sin＞cos
63.答案：、、…（2k＋1）（k∈Z）
解析：∵f（x+t）=sin2（x＋t）＝sin（2x＋2t）
又f（x+t）是偶函数
∴f（x+t）=f（－x+t）即sin（2x＋2t）＝sin（－2x＋2t）由此可得2x+2t=－2x+2t+2kπ或2x+t=π－（－2x＋2t）＋2kπ（k∈Z）
∴t＝π（k∈Z）
64.答案：－
解析：∵sinα=cos2α，∴sinα=1－2sin2α2sin2α+sinα－1=0，∴sinα=或－1，又<α<π，∴sinα=，∴α=π，∴tanα=－.
评述：本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律.
66.答案：2π
解析：y=，∴周期T=2π.
评述：本题考查半角公式和三角函数的周期性.
67.答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数.当=2（k+1）π，k∈Z时f（x
）=－sinx仍是奇函数.当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，
f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f（x）恒等于零.所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
评述：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.
68.答案：－
解析：sin（＋α）＝即cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－
69.答案：60°
解析：2sin2A＝3cosA，2（1－cos2A）＝3cosA，（2cosA－1）（cosA＋2）＝0，
∴cosA＝，A＝60°.
73.答案：5
解析：y＝sin（x＋）＋4在x∈R时，ymin＝4－
而4－＝1解得a＝5.
74.答案：②③
解析：①由f（x）=0有2x+＝kπ（k∈Z），得x=－，令k＝0、1，有x2＝
－，x1＝－，则x1－x2＝，故命题①不正确；②利用诱导公式知正确；③对称点坐标满足关系式③知正确；④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知，②、③正确.
75.答案：
解析：f（x）=sin2x－2cos2x－2=sin（2x－）－2，
其中tan=.∴f（x）max=.
评述：本题考查y=asinx+bcosx的最值问题.只需要关注即可.
解析二：因为f（x）=sinx=时，在一个周期内有两个角与相对应.而y=sin2x的周期为π，而区间［－2π，2π］的长度为4π，故应有8个解.
评述：本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力.
78.答案：2－
解析：
.
评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.
79.答案：
解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
80.答案：－
解析：y＝sin（x－）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］
当sin（2x－）＝－1时，函数有最小值，y最小＝（－1－）＝－.
评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.
83.答案：－1
解析：y＝sin2x－（1＋cos2x）＝sin（2x－）－1，因为|sin（2x－）|＜1，所以y最大值＝－1.
84.答案：－
解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值.
将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝
图4—14
变形得1－2sinθcosθ＝2－，
即（sinθ－cosθ）2＝
又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）
则＜θ＜，如图4—14
所以sinθ－cosθ＝，于是
sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.
85.解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}
因为f（x）的定义域关于原点对称，且
f（－x）==f（x）
所以f（x）是偶函数.
又当x≠（k∈Z）时，
f（x）=.
所以f（x）的值域为{y|－1≤y<或0，所以sinα－cosα=.
93.解：y=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2.故最小正周期为π.
图4—15
94.解：如图4—15，连结BD，则四边形面积S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC
∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，
∴S＝（AB·AD＋BC·CD）·sinA＝16sinA
由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2·2·4cosA＝20－16cosA
在△CDB中，BD2＝52－48cosC，
∴20－16cosA＝52－48cosC
又cosC＝－cosA，∴cosA＝－，
∴A＝120°，∴S＝16sinA＝8.
95.解：（1）解方程组，得
故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，（0<θ<）0<θ<.
97.解：（1）y＝cos2x＋sinxcosx＋1
＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1
＝cos2x＋sin2x＋
＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋
＝sin（2x＋）＋
y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z.
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.
98.解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R
y取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋2kπ，k∈Z.
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝
（2）变换的步骤是：
①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
y＝2sin（x＋）的图象；
经过这样的变换就得到函数y＝sinx＋cosx的图象.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.
100.解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA＋sinC＝2sinB
由和差化积公式得2sin＝2sinB
由A＋B＋C＝π，得sin
又A－C＝得＝sinB
∴
∵≠0
∴，从而
∴sinB＝.
评述：本题考查数列的基本概念、三角函数的基础知识及准确的推理和运算能力.
103.解：由已知可得B＝60°，A＋C＝120°，
变形得
将cos＝cos60°＝，cos（A＋C）＝－代入上式得
，
104.解：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）
＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－
＝－sin70°sin30°＋sin70°
＝－sin70°＋sin70°＝.
评述：本题考查三角恒等式和运算能力.
105.解：由题设sinα＝，α∈（，π），
可知cosα＝－，tanα＝－
又因tan（π－β）＝，tanβ＝－，所以tan2β＝
tan（α－2β）＝.
107.证明：tanx1＋tanx2＝
因为x1，x2∈（0，），x1≠x2，
所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1，
从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2），
由此得tanx1＋tanx2＞，
所以（tanx1＋tanx2）＞tan
即［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.
