2018年湖南省永州市祁阳县高考二模数学理

2018年湖南省永州市祁阳县高考二模数学理

2018 年湖南省永州市祁阳县高考二模数学理 一、选择题：(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y= 22 xx }，则 M∩N 等于( ) A.∅ B.{1} C.{y|y＞1} D.{y|y≥1} 解析：M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y= 22 xx }={y|y=   222 1 1x x x     ∈ [0，1]}={y|0≤y≤1}， 则 M∩N=∅. 答案：A 2.设复数 z=1+ 2 i (其中 i 为虚数单位)，则 z 等于( ) A.1﹣2i B.1+2i C.﹣2i D.2i 解析：∵ 2 212211i iizi      ＝ ， ∴ 12z i＝ . 答案：B 3.下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p：∃x0∈R，x0 2﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0 C.若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 D.“若 α = 6  ，则 sinα = 1 2 ”的否命题是“若 α ≠ 6  ，则 sinα ≠ 1 2 ” 解析：对于 A，f (0)=0 时，函数 f(x)不一定是奇函数，如 f(x)=x2，x∈R； 函数 f(x)是奇函数时，f(0)不一定=0，如 f(x)= 1 x ，x≠0； 是即不充分也不必要条件，A 错误； 对于 B，命题 p：∃x0∈R，x0 2﹣x0﹣1＞0， 则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B 错误； 对于 C，若 p∧q 为假命题，则 p，q 至少有一假命题，∴C 错误； 对于 D，若 α = 6  ，则 sinα = 1 2 的否命题是 “若 α ≠ 6  ，则 sinα ≠ 1 2 ”，∴D 正确. 答案：D 4.在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，若 a3+a4+a8=25，则 S9=( ) A.60 B.75 C.90 D.105 解析：∵等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，a3+a4+a8=25， ∴3a1+12d=25，∴ 51 254 3a a d＝ ＝ ， ∴  9 1 9 5 9 259 9 7523S a a a      . 答案：B 5.为了得到函数  sin 2 3yx＝ 的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 5 12  个单位 B.向右平移 5 12  个单位 C.向右平移 6  个单位 D.向左平移 6  个单位 解析：由题意 y=cos2x=sin(2x+ 2  )， 函数 y=sin(2x+ 2  ) 的 图 象 经 过 向 右 平 移 5 12  ，得到函数    5sin 2 sin 21[]2 2 3y x x    ﹣ ﹣ 的图象. 答案：B 6.已知非零向量 a ，b 的夹角为 60°，且|b |=1， 21ab，则| |=( ) A. 1 2 B.1 C. 2 D.2 解析：∵非零向量 a ， b 的夹角为60°，且|b |=1，∴ 1· 1 22 a a b a    ， ∵ 21ab，∴ 2222 2 4 4 4 2 1 1a b a a b b a a         ，∴ 2 4 2 0aa，∴ 1 2a  . 答案：A 7.函数 2 lnxx y x ＝ 的图象大致是( ) A. B. C. D. 解析：由题意知当 x＞1 或 x＜﹣1 时，y＞0，故排除 A、B；又当 x→0 时，函数 2 lnxx y x ＝ 的值也趋近于 0，故排除 C. 答案：D 8.已知   3tan 44   ＝ ，则  2cos 4   =( ) A. 7 25 B. 9 25 C. 16 25 D. 24 25 解析：∵   3tan 44   ＝ ， ∴           2 22 22 sin 4cos sin44sin cos44                  2 2 2 1 1 1 9 1 16 2511cos 941 4sin 4 tan            . 答案：B 9.已知偶函数  2fx  ，当  22x  ， 时，   1 3 sinf x x x＝ ，设 a=f(1)，b=f(2)，c=f(3)， 则( ) A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 解析：∵当  22x  ， 时，y=sinx 单调递增， 1 3y x＝ 也为增函数， ∴函数   1 3 sinf x x x＝ ，也为增函数. ∵函数  2fx  为偶函数， ∴    22f x f x   ， ∴f(2)=f(π ﹣2)，f(3)=f(π ﹣3)， ∵0＜π ﹣3＜1＜π ﹣2＜ 2  ， ∴f(π ﹣3)＜f(1)＜f(π ﹣2)， 即 c＜a＜b. 答案：D 10.函数 f(x)的定义域为 R，f(﹣2)=2018，对任意的 x∈R，都有 f′(x)＜2x 成立，则不等 式 f(x)＜x2+2014 的解集为( ) A.(﹣2，+∞) B.(2，2) C.(﹣∞，2) D.R 解析：根据题意，令 g(x)=f(x)﹣x2﹣2014，则 g′(x)=f′(x)﹣2x＜0， ∴函数 g(x)在 R 上单调递减， 而 f(﹣2)=2018， ∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2)2﹣2014=0. ∴不等式 f(x)＜x2+2014，可化为 g(x)＜g(﹣2)， ∴x＞﹣2. 即不等式 f(x)＞x2+2014 的解集为(﹣2，+∞). 答案：A 11.过点 P(﹣1，1)作圆 C：(x﹣t)2+(y﹣t+2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为 A，B，则 PA PB 的最小值为( ) A.10 3 B. 40 3 C. 21 4 D. 2 2 3 解析：圆 C：(x﹣t)2+(y﹣t+2)2=1 的圆心坐标为(t，t﹣2)，半径为 1， ∴|PC|2=(t+1)2+(t﹣3)2=2t2﹣4t+10， ∴|PA|2=|PB|2=|PC|2﹣1=(t+1)2+(t﹣3)2﹣1=2t2﹣4t+9， 2 2 2 4 9cos 2 4 10 AB ttAPC PC tt     ， ∴cos∠PAB=2cos2∠APC﹣1= 2 2 2 2 2 2 2 4 9 2 4 8 2 421 2 4 10 2 4 10 2 5 t t t t t t t t t t t t               ∴   2 2 2 24cos 2 4 9 25 ttPA PB PA PB PAB t t tt              2 22 2 242 5 2 4[] 25 ttt t t t tt         ， 设 t2﹣2t+4=x，则 x≥3， 则     221 11 x x xPA PB f x x x xx        ， ∴     2 2 2 3 1 0 1 xxfx x   ＞ 恒成立， ∴f(x)在[3，+∞)单调递增， ∴f(x)min=f(3)= 21 4 ， ∴ PA PB 的最小值为 21 4 . 答案：C 12.已知数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，且 an ＞0，6Sn=an 2+3an ，n∈N*，    1 2 2 1 2 1nn n n aa ab    ，若∀n∈N*，k＞Tn 恒成立，则 k 的最小值是( ) A. 1 7 B.49 C. 1 49 D. 8 441 解析：∵6Sn=an 2+3an，∴6Sn+1=an+1 2+3an+1， ∴6an+1=(an+1+an)(an+1﹣an)+3(an+1﹣an) ∴(an+1+an)(an+1﹣an)=3(an+1+an)， ∵an＞0， ∴an+1+an＞0， ∴an+1﹣an=3， 又 6a1=a1 2+3a1，a1＞0，∴a1=3. ∴{an}是以 3 为首项，以 3 为公差的等差数列， ∴an=3n， ∴     11 1 2 1 1 1 1 1 1 778 1 8 12 1 2 12 1 2 1 nnnn n n a a n naa ab             ， ∴ 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 7 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1n nnT               = 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 4981n      ＜ . ∴k≥ 1 49 . 答案：C 二、填空题(本题共 4 小题，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的横线上) 13.公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2，a5，a14 成等比数列， 2 53Sa＝ ，则 a10=______. 解析：设数列的公差为 d，(d≠0) ∵S5=a3 2，得：5a3=a3 2， ∴a3=0 或 a3=5； ∵a2，a5，a14 成等比数列， ∴a5 2=a2·a14， ∴(a3+2d)2=(a3﹣d)(a3+11d) 若 a3=0，则可得 4d2=﹣11d2 即 d=0 不符合题意， 若 a3=5，则可得(5+2d)2=(5﹣d)(5+11d)， 解可得 d=0(舍)或 d=2， ∴a10=a3+7d=5+7×2=19. 答案：19 14.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA=2sinB，且 a+b= 3 c，则角 C 的大小为______. 解析：∴sinA=2sinB， 由正弦定理：可得 a=2b.即 a2=4b2. ∵a+b= 3 c，即 3b= 3 c， 由余弦定理：2abcosC=a2+b2﹣c2. 可得：cosC= 1 2 . ∵0＜C＜π . ∴C=60°. 答案：60° 15.已知函数 f(x)=     2 lg 0 6 4 0 xx fx x x x       ， ＜ ， 若关于 x 的函数 y=f2(x)﹣bf(x)+1 有 8 个 不同的零点，则实数 b 的取值范围是______. 解析：作函数     2 lg 0 6 4 0 xx fx x x x       ， ＜ ， 的图象如下图， ∵关于 x 的函数 y=f2(x)﹣bf(x)+1 有 8 个不同的零点， ∴方程 x2﹣bx+1=0 有 2 个不同的正解，且在(0，4]上； ∴ 2 10 02 40 16 4 1 0 b b b           ＞ ＞ ＝ ＞ ， 解得，2＜b≤17 4 . 答案：(2，17 4 ] 16.已知函数 f(x)=﹣xlnx+ax 在区间(0，e)内是增函数，函数   2 2 x ag x e a   (其中 e 为自然对数的底数)，当 x∈[0，1n3]时，函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 3 2 .则实 数 a=______. 解析：∵f(x)=﹣xlnx+ax，∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1 ∵函数 f(x)=﹣xlnx+ax 在(0，e)上是增函数 ∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1≥0 在(0，e)恒成立 ∵y=﹣lnx 是(0，e)上的减函数 ∴f'(x)=﹣lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可，即﹣1+a﹣1≥0 ∴a≥2   2 2 2 2 2 2 xx x xx ae a e aag x e a ae a e a            ， ＝ ＝ ， ＜ ∵x∈[0，ln3]，∴ex∈[1，3] ∴ex=a 时，函数取得最小值为 2 2 a ∵x=0 时， 22 = 122 x aae a a      ；x=ln3 时， 22 =322 x aae a a    3＞a≥2 时，函数 g(x)的最大值 M= 2 1 2 aa   ∵函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 3 2 ∴3＞a≥2 时， 2231 2 2 2=aaa    ∴a= 5 2 a＞3 时，x0＞ln3，此时 x 在[0，ln3]内单调递减，所以函数在 f(0)处取最大值，在 f(ln3) 处取最小值，a=11 4 不符合 a 大于 3，所以舍去. 答案： 5 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知幂函数     22 421 mmf x m x  在(0，+∞)上单调递增，函数 g(x)=2x﹣k (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)当 x∈[1，2]时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设命题 p：x∈A，命题 q：x ∈B，若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围. 解析：(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质求出 m 检验即可，(Ⅱ)结合集合的关系进行求解. 答案：(Ⅰ)依题意得：(m﹣1)2=1，⇒m=0 或 m=2， 当 m=2 时，f(x)=x﹣2 在(0，+∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴m=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x2， 当 x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即 A=[1，4)， 当 x∈[1，2)时，g(x)∈[2﹣k，4﹣k)，即 B=[2﹣k，4﹣k)， 若命题 p 是 q 成立的必要条件，则 B⊆A， 则 21 44 k k    ，即 1 0 k k    ， 解得：0≤k≤1. 18.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 sin sin sin sin a c A B b A C   ＝ . (Ⅰ)求角 C； (Ⅱ)求 ab c  的取值范围. 解析：(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出 cosC，将得出关系式代入 求出 cosC 的值，确定出 C 的度数； (Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理化简可得：ab c  =2sin(A+ 6  )，结合 A 的范围，可得 1 2 ＜sin(A+ 3  ) ≤1，即可得解. 答案：(Ⅰ)∵ sin sin sin sin a c A B b A C   ＝ . ∴由正弦定理 sin sin sin a b c A B C ＝ ＝ ，可得： a c a b b a c   ＝ ，整理可得：a2+b2﹣c2=ab， ∴由余弦定理可得： 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab    ， ∴C∈(0，π )， ∴C= ； (Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得：B= 2 3  ﹣A， ∴由正弦定理可得：       2 33sin sin 3 sincos sin36sin sin 22 2 sinsin 63 3 3 2 2 2 A A AAAa b A B AcC           ， ∵  2 5 10 sin 13 6 6 6 2 6A A A      ＜ ＜ ， ＜ ＜ ， ＜ ， ∴从而解得： ab c  =2sin(A+ 6  )∈(1，2]. 19.已知函数 f(x)= 3 sinω xcosω x﹣sin2ω x+1(ω ＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距 离为 2  . (Ⅰ)求 ω 的值及函数 f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC 中有 f(B)=1，若在线段BC上存在一点 D使得 AD=2，且 AC= 6 ， CD= 3 ﹣1，求三角形 ABC 的面积. 解析：(Ⅰ)利用二倍角和辅助角公式化简，相邻两条对称轴之间的距离为 2  .可得 1 22T ＝ ， 即可求 ω 的值，可得 f(x)的解析式即可求函数 f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)根据 f(B)=1，求解 B 角，在△ADC 中利用余弦定理求解 cosC，在求解 A 角，即可求解 三角形 ABC 的面积. 答案： ( Ⅰ ) 函数   2 3 1 1 13 sin cos sin 1 sin 2 cos 2 1 sin 22 2 2 6 2f x x x x x x x               ∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为 . ∴ 1 22T ＝ ，即 T=π 那么： 2 2T   ＝ ， 可得 ω =1 那么     1sin 2 62f x x    由 32 2 22 6 2k x k       得： 3 62k x k    . ∴函数 f(x)的单调递减区间为[ 3 62kk， ]，k∈Z. (Ⅱ)由 f(B)=1，即     1sin 2 162f B B     . ∵ 0 2B ＜ ＜ ， 726 6 6B  ＜ ＜ ∴ 52=66B  解得：B= 3  . 在△ADC 中，AD=2，且 AC= 6 ，CD= 3 ﹣1， 利余弦定理： 2 2 2 2cos 22 C DC ACCA AC DC  . ∵ 0 2C ＜ ＜ ， ∴C= 4  . 由 A+B+C=π ， ∴ 7 4 3 12A       由正弦定理： sin sin AB AC CB ＝ ，可得 AB=2. 那么三角形 ABC 的面积 1 3 3sin22S AB AC A    . 20.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}是等比数列，满足 a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣ 2b2=a3. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)令 2 nn n nSC bn     ， 为 奇 数 ， 为 偶 数 设数列{cn}的前 n 项和 Tn，求 T2n. 解析：(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； (Ⅱ)由 a1=3，an=2n+1 得 Sn=n(n+2).则 n 为奇数， 2 1 1 2n n c S n n    .“分组求和”，利用 “裂项求和”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q， 由 b2+S2=10，a5﹣2b2=a3. 得 6 10 3 4 2 3 2 qd d q d      ＝ ＝ ，解得 2 2 d q    ＝ ＝ ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1，bn＝2n-1. (Ⅱ)由 a1=3，an=2n+1 得 Sn=n(n+2)， 则 n 为奇数， ， n 为偶数，cn=2n﹣1. ∴T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n) =        3 2 11 1 1 1 11 2 2 23 3 5 2 1 2 1 n nn               =    2 1 41 2 21 4 12 1 1 4 2 1 3 n nn nn         . 21.已知函数 f(x)=x2+ax+1，其中 a∈R，且 a≠0 (Ⅰ)设 h(x)=(2x﹣3)f(x)，若函数 y=h(x)图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值 集合； (Ⅱ)当 a＞﹣2 时，求函数 y=|f(x)|在[0，1]上最大值. 解析：(Ⅰ)分类讨论，从而由 f(x)=0 恰有一解及 f(x)=0 有两个不同的解求得； (Ⅱ)分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数 y=|f(x)|在[0，1]上的 最大值. 答案：(Ⅰ)若 f(x)=0 恰有一解，且解不为 3 2 ， 即 a2﹣4=0，解得 a=±2； 若 f(x)=0 有两个不同的解，且其中一个解为 3 2 ， 代入得 104 3 2 9 a   ， 解得 a= 13 6 ，检验满足△＞0； 综上所述，a 的取值集合为{ 13 6 ，﹣2，2}. (Ⅱ)(1)若 2 a ≤0，即 a≥0 时， 函数 y=|f(x)|在[0，1]上单调递增， 故 ymax=f(1)=2+a； (2)若 0＜ 2 a ＜1，即﹣2＜a＜0 时， 此时△=a2﹣4＜0，且 f(x)的图象的对称轴在(0，1)上，且开口向上； 故 ymax=max{f(0)，f(1)}=max{1，a+2}= 21 1 2 1 aa a         ， ， ＜ ＜ ， 综上所述，ymax= 21 1 2 1 aa a         ， ， ＜ ＜ 22.已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，求 a 的取值范围； (2)当 a=1 且 k∈Z 时，不等式 k(x﹣1)＜f(x)在 x∈(1，+∞)上恒成立，求 k 的最大值. 解析：(1)函数 f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，可得 f′(x)=a+lnx+1≥0 在区间[e，+∞) 上恒成立，转化为 a≥(﹣lnx﹣1)max.即可得出. (2)a=1 时，f(x)=x+lnx，k∈Z 时，不等式 k(x﹣1)＜f(x)在 x∈(1，+∞)上恒成立，可得  min ln 1 x x xk x   ＜ ，令 g(x)= ln 1 x x x x   ，则     2 ln 2 1 xxgx x   ，令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x ＞1).利用导数研究其单调性、函数零点即可得出. 答案：(1)∵函数 f(x)在区间[e，+∞)上为增函数， ∴f′(x)=a+lnx+1≥0 在区间[e，+∞)上恒成立，∴a≥(﹣lnx﹣1)max=﹣2. ∴a≥﹣2. ∴a 的取值范围是[﹣2，+∞). (2)a=1 时，f(x)=x+lnx，k∈Z 时，不等式 k(x﹣1)＜f(x)在 x∈(1，+∞)上恒成立， ∴ ， 令 g(x)= ，则 ， 令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x＞1). 则   1110xhx xx     ＞ ，∴h(x)在(1，+∞)上单增， ∵h(3)=1﹣ln3＜0，h(4)=2﹣2ln2＞0， 存在 x0∈(3，4)，使 h(x0)=0. 即当 1＜x＜x0 时 h(x)＜0 即 g′(x)＜0 x＞x0 时 h(x)＞0 即 g′(x)＞0 g(x)在 (1，x0)上单减，在 (x0+∞)上单增. 令 h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0，即 lnx0=x0﹣2，          0 0 0 0 00min 00 1 ln 1 2 3411 x x x x g x g x xxx         ， . k＜g(x)min=x0∈(3，4)，且 k∈Z， ∴kmax=3.