2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——03 导数及其应用（教师版）

2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——03 导数及其应用（教师版）

专题03 导数及其应用 ‎1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，，‎ 因此，所求切线的方程为，即.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ ‎ C．y=x+1 D．y=x+‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线在曲线上的切点为，则，‎ 函数的导数为，则直线的斜率，‎ 设直线的方程为，即，‎ 由于直线与圆相切，则，‎ 两边平方并整理得，解得，（舍），‎ 则直线的方程为，即.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.‎ ‎3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.‎ 给出下列四个结论：‎ ‎①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；‎ ‎②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；‎ ‎③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；‎ ‎④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．‎ 其中所有正确结论的序号是____________________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】表示区间端点连线斜率的负数，‎ 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；‎ 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；‎ 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；‎ 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.‎ ‎4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.‎ ‎（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．‎ 故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ ‎（2）等价于.‎ 设函数，则 ‎.‎ ‎（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.‎ ‎（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.‎ 所以当时，g(x)≤1.‎ ‎（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.‎ 由于，故由（ii）可得≤1.‎ 故当时，g(x)≤1.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．‎ ‎5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．‎ ‎（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；‎ ‎（2）证明： ；‎ ‎（3）设，证明：．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在区间单调递增，在区间单调递减．‎ ‎（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，‎ 最小值为．而是周期为的周期函数，故．‎ ‎（3）由于 ‎，‎ 所以．‎ ‎6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．‎ ‎（1）求B．‎ ‎（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．‎ ‎【解析】（1）．‎ 依题意得，即.‎ 故．‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 令，解得或.‎ 与的情况为：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 因为，所以当时，只有大于1的零点.‎ 因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．‎ 由题设可知，‎ 当时，只有两个零点和1.‎ 当时，只有两个零点–1和.‎ 当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．‎ 综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎7．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎（i）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（ii）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．‎ ‎【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得．‎ 对任意的，且，令，则 ‎． ①‎ 令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎． ②‎ 由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，‎ 故． ③‎ 由①②③可得．所以，当时，对任意的，且，有．‎ ‎8．【2020年高考北京】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，所以，‎ 设切点为，则，即，所以切点为，‎ 由点斜式可得切线方程：，即.‎ ‎（Ⅱ）显然，‎ 因为在点处的切线方程为：，‎ 令，得，令，得，‎ 所以，‎ 不妨设时，结果一样，‎ 则，‎ 所以 ‎，‎ 由，得，由，得，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以时，取得极小值，‎ 也是最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.‎ ‎9．【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；‎ ‎（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：‎ ‎（ⅰ）；‎ ‎（ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，，所以在上存在零点．‎ 因为，所以当时，，故函数在上单调递增，‎ 所以函数以在上有唯一零点．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）令，，‎ 由（Ⅰ）知函数在上单调递增，故当时，，‎ 所以函数在单调递增，故．‎ 由得，‎ 因为在单调递增，故．‎ 令，，‎ 令，，所以 故当时，，即，所以在单调递减，‎ 因此当时，．‎ 由得，‎ 因为在单调递增，故．‎ 综上，．‎ ‎（ⅱ）令，，所以当时，，‎ 故函数在区间上单调递增，因此．‎ 由可得，‎ 由得．‎ ‎10．【2020年高考江苏】‎ 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米．‎ ‎（1）求桥AB的长度；‎ ‎（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？‎ ‎【解析】（1）设都与垂直，是相应垂足.‎ 由条件知，当时，‎ ‎ 则.‎ 由得 ‎ 所以（米）.‎ ‎（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.‎ 设则 ‎ ‎.‎ 因为所以.‎ 设则 ‎ 所以 ‎ 记桥墩和的总造价为，‎ 则 ‎ ‎，‎ 令 得 ‎ 所以当时，取得最小值.‎ 答：（1）桥的长度为120米；‎ ‎（2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.‎ ‎【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有．‎ ‎（1）若，求h(x)的表达式；‎ ‎（2）若，求k的取值范围；‎ ‎（3）若求证：．‎ ‎【解析】（1）由条件，得，‎ 取，得，所以．‎ 由，得，此式对一切恒成立，‎ 所以，则，此时恒成立，‎ 所以．‎ ‎（2）.‎ 令，则令，得.‎ 所以.则恒成立，‎ 所以当且仅当时，恒成立．‎ 另一方面，恒成立，即恒成立，‎ 也即恒成立．‎ 因为，对称轴为，‎ 所以，解得．‎ 因此，k的取值范围是 ‎ ‎（3）①当时，‎ 由，得，整理得 ‎ ‎ 令 则．‎ 记 则恒成立，‎ 所以在上是减函数，则，即．‎ 所以不等式有解，设解为，‎ 因此．‎ ‎②当时，‎ ‎．‎ 设， ‎ 令，得．‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数．‎ ‎，，则当时，．‎ ‎（或证：．）‎ 则，因此．‎ 因为，所以．‎ ‎③当时，因为，均为偶函数，因此也成立．‎ 综上所述，．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ ‎12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．‎ ‎（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．‎ ‎【解析】的定义域为，．‎ ‎（1）当时，，，‎ 曲线在点处的切线方程为，即．‎ 直线在轴，轴上的截距分别为，．‎ 因此所求三角形的面积为．‎ ‎（2）当时，．‎ 当时，，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以当时，取得最小值，最小值为，从而．‎ 当时，．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.‎ ‎1．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数，对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A．， B．，‎ C．， D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合题意，显然，‎ ‎，‎ 由，，，得，，，‎ 故，在，递增，‎ 故（1），，‎ 对任意，，，不等式恒成立，‎ 即，‎ ‎，即，解得：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．‎ ‎2．【2020·四川省南充高级中学高三月考（理）】已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是 A． B． ‎ C．2 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.‎ 下面证明恒成立.‎ 构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增.‎ 故函数，即恒成立.‎ 又：，求导得，当时，，且过点，故在点处的切线方程为.‎ 下面证明在上恒成立.‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ 所以，即，‎ 则，即在上恒成立.‎ 因为，且平行线与之间的距离为，所以的最小值为.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.‎ ‎3．【2020·河南省高三月考（理）】设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则.‎ 当时，，‎ 当时，，故，所以，函数在上单调递减；‎ 当时，，故，所以，函数在上单调递增.‎ 所以，所以，函数没有零点，‎ 故也没有零点.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎4．【2019·河北省高三月考（理）】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎5．【黑龙江省2020届高三理科5月数学模拟试卷】已知定义域为R的函数f（x）满足，其中f′（x）为f（x）的导函数，则不等式f（sinx）﹣cos2x≥0的解集为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设g（x）＝f（x）+2x2﹣1，∴g′（x）＝f′（x）+4x＞0在R上恒成立，‎ ‎∴g（x）在R上单调递增，不等式f（sinx）﹣cos2x＝f（sinx）+2sin2x﹣1，且g（）＝0，‎ 不等式f（sinx）﹣cos2x≥0，∴g（sinx）≥g（），sinx，‎ ‎∴2kx≤x，k∈Z．故选：D．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎6．【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试（三诊）数学（理科）试题】已知函数，则关于的方程（）的实根个数为 A． B． 或 C． 或 D． 或 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数 ‎∴，‎ 令得：或，‎ ‎∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，‎ 又，，‎ ‎∴函数大致图象，如图所示：[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎，‎ 令，则关于的方程变为，‎ ‎∵，∴方程有两个不相等的实根．设为,‎ 由韦达定理得：,，不妨设，，‎ ‎①当时，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，‎ ‎②当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，‎ ‎③当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，‎ 综上所述，关于的方程的实根个数为3个，故选：A．‎ ‎7．【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测（理）】已知，，，则，，的大小关系是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于的大小：，，明显；‎ 对于的大小：构造函数，则，‎ 当时，在上单调递增，‎ 当时，在上单调递减，‎ ‎，即，，‎ 对于的大小：，，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来比较大小，此题是一道中等难度的题目.‎ ‎8．【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试（理）】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴是上的增函数，‎ 又，‎ ‎∴的解集为，‎ 即不等式的解集为.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.‎ ‎9．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学（理）试题】已知函数（其中且）有零点，则实数的最小值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由存在零点，即函数与的图象有公共点.‎ 当时，两图象显然有公共点；当时，由图可知，最小时，‎ 两图象均与直线相切，此时，设切点坐标为，‎ 则∴∴∴[来源:学*科*网]‎ ‎∴，∴，∴，∴.故答案为：.‎ ‎10．【2020·湖北省高三其他（理）】函数(其中)的图象在处的切线方程是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，所以切线的斜率，‎ 所以切线方程为，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.‎ ‎11．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】函数在处的切线在轴上的截距为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导得，‎ 所以，函数在处的切线方程为，即，‎ 因此，函数在处的切线在轴上的截距为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线在轴上的截距的求解，考查了利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12．【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．‎ 作出函数的图象如下图所示：‎ 先考虑直线与曲线相切时，的取值，‎ 设切点为，对函数求导得，切线方程为，‎ 即，则有，解得.‎ 由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；‎ 当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．‎ ‎13．【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数，‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当，讨论的零点个数；‎ ‎【解析】∵∴为偶函数，‎ 只需先研究,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当，，当，，‎ 所以在单调递增，在，单调递减,‎ 所以根据偶函数图象关于轴对称，‎ 得在单调递增，在单调递减，‎ ‎.故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.‎ ‎（2）,‎ ‎①时，在恒成立,‎ ‎∴在单调递增 又，所以在上无零点 ‎②时，，‎ 使得，即.‎ 又在单调递减，‎ 所以，，，‎ 所以，单调递增，，单调递减，‎ 又，‎ ‎（i），即时 在上无零点，‎ 又为偶函数，所以在上无零点，‎ ‎（ii），即.‎ 在上有1个零点，‎ 又为偶函数，所以在上有2个零点，‎ 综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎14．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为.‎ ‎（i）若，则；‎ ‎（ii）若，则由得，由得；‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）设存在直线满足题意.‎ ‎（i）由，即对任意的都成立，得，所以，‎ ‎（ii）令，‎ ‎，‎ ‎①若，则，单调递增，，不合题意；‎ ‎②若，则在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 由（i）得，‎ 即，‎ 令，，‎ ‎，所以单调递增，‎ 又因为，所以在是单调递减，是单调递减，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.‎ ‎15．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在极值，对于任意，都有恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎①当时，，‎ 即，所以在上是增函数；‎ ‎②当时，令，‎ 则，‎ ‎∴，，‎ 所以时，，‎ 时，，‎ 所以在上是减函数，‎ 在上是增函数；‎ ‎（2）由存在极值知，‎ ‎“对于任意，都有恒成立”等价于 ‎“对于任意，都有恒成立”，‎ 设，，‎ 则，，‎ 设，，‎ 则，，‎ 所以在上是减函数，‎ 又，所以时，‎ ‎，时，，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ ‎16．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数，.‎ ‎（1）当时，总有，求的最小值；‎ ‎（2）对于中任意恒有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】（1）令，‎ 则，‎ 在上单调递增，且 若，则在上单调递增，，即满足条件；‎ 若存在单调递减区间，又，‎ 所以存在使得与已知条件矛盾，所以，的最小值为1.‎ ‎（2）由（1）知，如果，则必有成立.‎ 令，‎ 则，即.‎ 若，必有恒成立，‎ 故当时，恒成立，‎ 下面证明时，不恒成立.‎ 令，，‎ 当时，，在区间上单调递增 故，即，故.‎ ‎，‎ 令，，‎ 所以在上单调递增，又，则一定存在区间 （其中），‎ 当时，，‎ 则，故不恒成立.‎ 综上所述：实数取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.‎ ‎17．【2020·河北省衡水中学高三其他（理）】已知函数且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎【答案】（1）a=1；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），‎ 则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．‎ 则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．‎ 因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，‎ 所以h（x）min＝h（），‎ 又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，‎ 所以1，解得a＝1；‎ 另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），‎ 所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，‎ 所以解得a＝1；‎ ‎（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，‎ 令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，‎ 令t′（x）＝0，解得：x，‎ 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，‎ 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，‎ 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，‎ 所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，‎ 由x0可知f（x0）＜（x0）max；‎ 由f′（）＜0可知x0，‎ 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，‎ 所以f（x0）＞f（）；‎ 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎18．【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数：‎ ‎（I）当时，求的最小值；‎ ‎（II）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（I）答案不唯一，见解析（II）‎ ‎【解析】（I）‎ 时，递增，,‎ 时，递减，，‎ 时，时递减，‎ 时递增，‎ 所以 综上，当；‎ 当 当 ‎ ‎（II）因为对于任意的都存在唯一的使得成立,‎ 所以的值域是的值域的子集.‎ 因为 递增，的值域为 ‎ ‎（i）当时，在上单调递增，‎ 又，‎ 所以在[1,e]上的值域为,‎ 所以，‎ 即，‎ ‎（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，‎ 所以只需 即，所以 ‎ ‎（iii）当时，因为在上单调递减，且，‎ 所以不合题意.‎ 综合以上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.‎ 解题方法总结:‎ 像”对于任意的都存在唯一的使得，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.‎ ‎19．【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数a，b的值；‎ ‎（2）记的导函数为，求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）实数a，b的值分别为1，；（2）‎ ‎【解析】Ⅰ曲线在y轴上的截距为，则过点，‎ 代入，‎ 则，则，求导，‎ 由，即，则，‎ 实数a，b的值分别为1，；‎ Ⅱ，，，‎ 当时，，，恒成立，‎ 即，在上单调递增，‎ ‎．‎ 当时，，，恒成立，‎ 即，在上单调递减，‎ 当时，，得，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ ‎【点睛】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决问题的能力．‎ ‎20．【2020·山东省高三其他】已知函数.‎ ‎（1）若，，求的最大值；‎ ‎（2）当时，讨论极值点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）时，极值点的个数为0个；时，极值点的个数为2个 ‎【解析】（1）当，时，，‎ 此时，函数定义域为，，‎ 由得：；由得：，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以.‎ ‎（2）当时，函数定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，对任意的恒成立，‎ 在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；‎ ‎②当时，设，‎ ‎（i）当，即时，‎ 对任意的恒成立，即在上单调递减，‎ 所以此时极值点的个数为0个；‎ ‎（ii）当，即时，记方程的两根分别为，，‎ 则，，所以，都大于0，‎ 即在上有2个左右异号的零点，‎ 所以此时极值点的个数为2.‎ 综上所述时，极值点的个数为0个；‎ 时，极值点的个数为2个.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.‎ ‎21．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（理）】设函数，，其中，是自然对数的底数．‎ ‎（1）若在上存在两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若，，函数与函数的图象交于，，且线段的中点为，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）的定义域为，，‎ 则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根，‎ 由，解得，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，，故函数在上单调递减，且，‎ 所以，当时，，，单调递增，‎ 当时，，，单调递减，‎ 所以，是的极大值也是最大值，‎ 所以，所以，‎ 又当时，，当时，大于0且趋向于0，‎ 要使在有两个根，则；‎ ‎（2）证明：，‎ 由，得，则，‎ 要证成立，‎ 只需证，即，‎ 即，‎ 设，即证，‎ 要证，只需证，‎ 令，则，‎ 所以在上为增函数，所以，即成立；‎ 要证，只需证，‎ 令，则，‎ 所以在上为减函数，‎ 所以，即成立；‎ 所以成立，即成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及分析法证明不等式，考查学生的转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.‎ ‎22．【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数 ‎.‎ ‎(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;‎ ‎(2)若b=2，且函数f(x)的值域为求a的最小值.‎ ‎【解析】（1）当时，，，‎ 由，得，‎ 即， 解得或. ‎ 当时，，此时直线恰为切线，故舍去，所以.‎ ‎（2）当时，，设，则， ‎ 故函数可化为.‎ 由,可得的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 所以的最小值为， 此时，函数的的值域为 ‎，‎ 问题转化为当时，有解， ‎ 即，得，设，则，‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 所以的最小值为，故的最小值为.‎ ‎23．【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学（理）试卷】已知函数，的最大值为． ‎ ‎（1）求实数b的值；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】(1) 由题意得，令，解得，‎ 当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减.‎ 所以当时， 取得极大值，也是最大值，所以，解得. ‎ ‎（2）的定义域为.‎ ‎, ‎ ① 即,则，故在单调增;‎ ‎②若,而,故,则当时，; ‎ 当及时，‎ 故在单调递减，在单调递增．‎ ‎③若,即,同理在单调递减，在单调递增 ‎（3）由（1）知， ‎ 所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增， 所以恒成立，‎ 所以函数在区间内单调递增. ‎ 假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，‎ 则，‎ 问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，‎ 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，‎ 令， ，则，‎ 设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增， ‎ 故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.‎ 综上所述，不存在区间，使得函数在区间上值域是.‎