2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——07 平面向量(教师版)

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文档介绍

2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——07 平面向量(教师版)

专题07 平面向量 ‎1.【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a,b满足,,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,,.‎ ‎,‎ 因此,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎2.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图,‎ 的模为2,根据正六边形的特征,‎ 可以得到在方向上的投影的取值范围是,‎ 结合向量数量积的定义式,‎ 可知等于模与在方向上的投影的乘积,‎ 所以的取值范围是,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.‎ ‎3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设为单位向量,且,则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为单位向量,所以 所以,‎ 解得:,‎ 所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.‎ ‎4.【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45°,与垂直,则k=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得:,‎ 由向量垂直的充分必要条件可得:,‎ 即:,解得:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.【2020年高考天津】如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.‎ ‎【答案】(1). ;(2). ‎ ‎【解析】,,,‎ ‎,‎ 解得,‎ 以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,‎ ‎,‎ ‎∵,∴的坐标为,‎ ‎∵又∵,则,设,则(其中),‎ ‎,,‎ ‎,‎ 所以,当时,取得最小值.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎6.【2020年高考北京】已知正方形的边长为2,点P满足,则_________;_________.‎ ‎【答案;‎ ‎【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,‎ 则点、、、,‎ ‎,‎ 则点,,,‎ 因此,,.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎7.【2020年高考浙江】已知平面单位向量,满足.设,,向量,的夹角为,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎8.【2020年高考江苏】在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三点共线,‎ ‎∴可设,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ 若且,则三点共线,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ 设,,则,.‎ ‎∴根据余弦定理可得,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴的长度为.‎ 当时, ,重合,此时的长度为,‎ 当时,,重合,此时,不合题意,舍去.‎ 故答案为:0或.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出.‎ ‎1.【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量,且,则m=‎ A.−8 B.−6‎ C.6 D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,‎ 又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=8.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.‎ ‎2.【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量满足,且与的夹角为,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数量积的运算,属于基础题.‎ ‎3.【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量,,若,则实数的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,,‎ ‎∴,又,∴,‎ ‎∴.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题,解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行,垂直以及夹角和模长等问题,是基础题.‎ ‎4.【2020河北省高三月考】已知向量,满足,,且,则向量与的夹角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知:,解得:.‎ ‎.‎ 本题正确选项D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎5.【2020湖南省高三月考】如图所示,在中,点在线段上,且,若,则 A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ 所以,从而求得,故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理,在解题的过程中,需要利用向量直角的关系,结合三角形法则,求得结果.‎ ‎6.【2020·威远中学校高三月考】已知向量,且∥,若均为正数,则的最小值是 A.24 B.8 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由∥得,‎ 因此,当且仅当时取等号,所以选B.‎ ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.‎ ‎7.【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在中,,,则为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选:D ‎8.【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量,,,若,则b在c上的投影为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,,得,‎ 所以由,得,‎ 所以b在c上的投影为 ‎.‎ 故选A.‎ ‎9.【2020重庆南开中学高三月考】向量,,若,的夹角为钝角,则的范围是 A. B. ‎ C.且 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】若,的夹角为钝角,则且不反向共线,‎ ‎,得.‎ 向量,共线时,,得.此时.‎ 所以且.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角,当为钝角时,数量积为0,容易忽视反向共线时,属于易错题.‎ ‎10.【2020湖北省高三零模】已知向量,满足,在上投影为,则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上投影为,即.‎ ‎,,‎ 又,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模长的运算,对于含加减法运算的向量模长的求解,通常先求解模长的平方,再开平方求得结果;解题关键是需要通过夹角取值范围的分析,得到的最小值.‎ ‎11.【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量满足,且在方向上的投影是,则实数 A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量满足,‎ ‎,‎ 所以,‎ 若向量的夹角为,‎ 则,‎ 所以,即,解得,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).‎ ‎12.【2020湖南省高三二模】正方形边长为2,点为边的中点,为边上一点,若,则 A.3 B.5 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,可知,即,‎ 即,所以,即,‎ 又由E是BC的中点,则,,‎ 所以,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的应用,以及勾股定理的应用,其中解答中根据向量的数量积的运算,得到,再利用勾股定理求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎13.【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量,,它们的夹角是60°,与、向量的夹角都为30°,且,若,则值为 A. B. C.2 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,可得在的角平分线上,所以,‎ 再由可得,即,‎ 再由,‎ 得,‎ 解得,故,所以,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的基本定理,以及向量的数量积运算,其中解答中熟记平面向量的基本定理,得到,再利用向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎14.【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】正三角形中,是线段上的点,,,则 A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.‎ 故,,‎ 故 故选:B.‎ ‎15.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为&科&网Z&X&X&K]‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】[来设,,∴,,‎ ‎,∴.‎ ‎16.【2020湖北省高考模拟】设等边三角形的边长为1,平面内一点满足,向量与夹角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,对两边用点乘,与夹角的余弦值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算,题目比较简单基础;平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).‎ ‎17.【2020宁夏回族自治区银川一中高三模拟】在中,,,点是所在平面内一点,则当取得最小值时,‎ A.24 B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得:,‎ 则,即,‎ 以点坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则,,设,则:‎ ‎,‎ 当,即时取得最小值,‎ 此时.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.‎ ‎18.【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知向量,的夹角为,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎19.【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学】已知向量,满足,,若,则与的夹角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知知,,则,‎ 所以,故夹角为.‎ 故答案为.‎ ‎20.【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量,,,若,则_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】,‎ ‎∵,∴,∴.‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用:(1)计算长度或模长,通过用 ;(2)计算角,.特别地,两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎21.【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点,,若,则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】∵为所在平面内一点, ,‎ ‎∴B,C,D三点共线.若∴,‎ 化为: =+,与=−+,比较可得: ,解得.‎ 即答案为-3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:向量的线性运算及相关的恒等变换问题.‎ ‎22.【2020柳州高级中学高三月考】如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,则,.‎ 由于,‎ 可得,且,‎ 解得,,所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理的运用,考查向量的加法运算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题,‎ ‎23.【2020·江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交,两边于,两点,且,,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件:,,‎ 又,.‎ 又,,三点共线,.‎ ‎,,‎ ‎.‎ 的最小值为,当且仅当时“”成立.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.‎ ‎24.【2020天津高三二模】在平行四边形中,已知,,,若,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,如图所示,‎ 设,则,‎ 又由,,所以为的中点,为的三等分点,‎ 则,,‎ 所以 ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎25.【2020·河北省衡水中学高三月考】已知的一内角,,,为所在平面上一点,满足,设,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为可知O为三角形ABC的外心 所以 而,且 即 化简得,解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用,关键是找到各向量间的关系,属于难题.‎
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