高考数学专题复习练习第5讲 双曲线

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高考数学专题复习练习第5讲 双曲线

第5讲 双曲线 一、选择题 ‎1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  ).‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ 解析 双曲线-=1的渐近线方程为3x±ay=0与已知方程比较系数得a=2.‎ 答案 C ‎2.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为 (  ).‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析 不妨设a>0,b>0,c=.‎ 据题意,‎2c=10,∴c=5. ①‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在C的渐近线上,∴1=. ②‎ 由①②解得b2=5,a2=20,故正确选项为A.‎ 答案 A ‎3.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 (  ).‎ A.-2 B.- C.1 D.0‎ 解析 设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x ‎2-1)-x-2=4x2-x-5=42-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2,选A.‎ 答案 A ‎4.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若+=2,则双曲线的离心率为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 设双曲线的右焦点为A,则=-,故+=-==2,即OE=AP.所以E是PF的中点,所以AP=2OE=2×=a.所以PF=‎3a.在Rt△APF中,a2+(‎3a)2=(‎2c)2,即‎10a2=‎4c2,所以e2=,即离心率为e= =,选C.‎ 答案 C ‎5.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 (  ).‎ A. B.‎4 ‎ C.3 D.5‎ 解析 易求得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),故双曲线-=1的右焦点为(3,0),即c=3,故32=4+b2,∴b2=5,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为=.‎ 答案 A ‎6.如图,已知点P为双曲线-=1右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF‎1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF‎1F2成立,则λ的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析 根据S△IPF1=S△IPF2+λS△IF‎1F2,即|PF1|=|PF2|+λ|F‎1F2|,‎ 即‎2a=λ‎2c,即λ==.‎ 答案 B 二、填空题 ‎7.双曲线-=1的右焦点到渐近线的距离是________.‎ 解析 由题意得:双曲线-=1的渐近线为y=±x.‎ ‎∴焦点(3,0)到直线y=±x的距离为=.‎ 答案 ‎8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.‎ 解析 由题意得m>0,∴a=,b=.‎ ‎∴c=,由e==,得=5,‎ 解得m=2.‎ 答案 2‎ ‎9.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.‎ 解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),‎ ‎∴解得 ‎∴双曲线的标准方程为x2-=1.‎ 答案 x2-=1‎ ‎10.如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则 ‎(1)双曲线的离心率e=________;‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=________.‎ 解析 (1)由题意可得a =bc,∴a4-‎3a‎2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.‎ ‎(2)设sin θ=,cos θ=,====e2-=.‎ 答案 (1) (2) 三、解答题 ‎11.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F‎1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程;‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.‎ 解 (1)由已知:c=,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实、虚轴长分别为m,n,‎ 则 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.‎ ‎∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.‎ ‎(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,‎ 所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F‎1F2|=2,‎ ‎∴cos∠F1PF2= ‎==.‎ ‎12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).‎ ‎(1)求双曲线方程;‎ ‎(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;‎ ‎(3)求△F1MF2的面积.‎ ‎(1)解 ∵e=,∴设双曲线方程为x2-y2=λ.‎ 又∵双曲线过(4,-)点,∴λ=16-10=6,‎ ‎∴双曲线方程为x2-y2=6.‎ ‎(2)证明 法一 由(1)知a=b=,c=2,‎ ‎∴F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴kMF1=,kMF2=,‎ ‎∴kMF1·kMF2==,‎ 又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3,‎ ‎∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,·=0.‎ 法二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),‎ ‎∴·=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.‎ ‎∵M在双曲线上,∴9-m2=6,‎ ‎∴m2=3,∴·=0.‎ ‎(3)解 ∵在△F1MF2中,|F‎1F2|=4,且|m|=,‎ ‎∴S△F1MF2=·|F‎1F2|·|m|=×4×=6.‎ ‎13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,|PF1|=8,|PF2|=6.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A,B两点,且=2,求此直线方程.‎ 解 (1)由题意知,在Rt△PF‎1F2中,‎ ‎|F‎1F2|=,‎ 即‎2c==10,所以c=5.‎ 由椭圆的定义,知‎2a=|PF1|-|PF2|=8-6=2,即a=1.‎ 所以b2=c2-a2=24,故双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎(2)左焦点为F1(-5,0),两渐近线方程为y=±2x.‎ 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在.‎ 设过左焦点的直线方程为y=k(x+5),则与两渐近线的交点为和.‎ 由=2,得 =2或者 =2,‎ 解得k=±.‎ 故直线方程为y=±(x+5).‎ ‎14. P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.‎ ‎(1)求双曲线的离心率;‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.‎ 解 (1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.‎ 由题意有·=,‎ 可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==.‎ ‎(2)联立得4x2-10cx+35b2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则 ①‎ 设=(x3,y3),=λ+,即 又C为双曲线上一点,即x-5y=5b2,有 ‎(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.‎ 化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2. ②‎ 又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,‎ 所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.‎ 由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+‎5c(x1+x2)-‎5c2=10b2,‎ ‎②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.‎
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