高考数学专题复习练习：第九章 9_9 第二课时范围、最值问题
第2课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解 (1)由已知，有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，
解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝ ＝.
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立，
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝ ＞，
解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.
设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.
②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.
因此m＜0，于是m＝－ ，
得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2016·黄冈模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
解 (1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝
＝k2⇒－＋m2＝0.
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)
＝16(4k2－m2＋1)>0，得0
0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解 (1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A．(，1] B．(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(，1＋]
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝(＋|AF|cos θ)＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－10，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3]
C．(1,3] D．(1,2]
答案 C
解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，
所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.
又e>1，所以10得m＋2>2，<，－>－，
∴1－>，即e>，而00，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
又a2＋b2＝c2，得b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立
整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2>3k2－1且k2≠，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝＝，
∴y0＝kx0＋m＝.
由题意，AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1，②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.
又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.
∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．
8．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
解 (1)由题意，得从而
因此，所求的椭圆C1的方程为＋x2＝1.
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.
直线MN的方程为
y＝2tx－t2＋h.
将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则x3＝＝.
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.
由题意，得x3＝x4，
即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③
由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.
当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，
则不等式②不成立，所以h≥1.
当h＝1时，代入方程③得t＝－1，
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．
所以，h的最小值为1.
9．如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解 (1)因为e1e2＝，所以 ·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
(2)因为AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，
故可设直线AB的方程为x＝my－1.
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述方程的两个实根，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，
于是AB的中点为M(，)，
故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，
即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，
所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，
从而|PQ|＝2＝2.
设点A到直线PQ的距离为d，
则点B到直线PQ的距离也为d，
所以2d＝.
因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，
所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，
于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|
＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，
从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝
＝，
所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d
＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
