吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（5月）数学（文）试题

吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（5月）数学（文）试题

‎2019－－2020学年高二下学期第三次考试数学试卷（文科）‎ 第I卷(选择题60分)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为‎(    )‎ A. y‎=-0.7x+5.20‎ B. y‎=-0.7x+4.25‎ C. y‎=-0.7x+6.25‎ D. ‎y‎=-0.7x+5.25‎ 2. ‎2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕‎.‎通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：‎ 观看世界杯 不观看世界杯 总计 男 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 女 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 经计算K‎2‎的观测值k≈8.249.‎附表：‎ P(K‎2‎⩾k‎0‎)‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k‎0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表，所得结论正确的是‎(‎      ‎‎)‎ A. 有‎99.9%‎以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关” B. 有‎99.9%‎以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过‎0.005‎的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过‎0.001‎的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”‎ 1. 下列是合情推理的是‎(    )‎ ‎ ①‎由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质‎;‎ ‎ ②‎由正方形、矩形的内角和是‎360‎‎∘‎，归纳出所有四边形的内角和都是‎360‎‎∘‎‎;‎ ‎ ③‎三角形内角和是‎180‎‎∘‎，四边形内角和是‎360‎‎∘‎，五边形内角和是‎540‎‎∘‎，由此得出凸n边形内角和是‎(n-2)⋅‎180‎‎∘‎;‎ ‎ ④‎小李某次数学考试成绩是90分，由此推出小李的全班同学这次数学考试的成绩都是90分．‎ A. ‎ ① ②‎ B. ‎ ① ② ③‎ C. ‎ ① ② ④‎ D. ‎‎ ② ③ ④‎ 2. ‎《‎论语‎·‎学路‎》‎篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是‎(    )‎ A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段论 3. 用分析法证明命题“已知a-b=1.‎求证：a‎2‎‎-b‎2‎+2a-4b-3=0.‎”最后要具备的等式为‎(‎   ‎‎)‎ A. a=b B. a+b=1‎ C. a+b=-3‎ D. ‎a-b=1‎ 4. 用反证法证明命题：“已知x∈R，a=x‎2‎-1‎，b=2x+2‎，则a，b中至少有一个不小于0”，反设正确的是‎(    )‎ A. 假设a，b都不大于0 B. 假设a，b至多有一个大于0 C. 假设a，b都大于0 D. 假设a，b都小于0‎ 1. 若复数a+3i‎1-2i的实部与虚部相等，则实数a的值为‎(    )‎ A. ‎2‎‎3‎ B. ‎-9‎ C. ‎-3‎ D. ‎‎-1‎ 2. 在复平面内，复数z=i‎1-i+‎i‎2021‎对应的点所在的象限是‎(‎    ‎‎)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知复数z‎1‎‎, ‎z‎2‎在复平面内对应点的坐标分别为‎(1, -1), (-2, 1)‎，则z‎2‎z‎1‎的共轭复数为‎(‎    ‎‎)‎ A. ‎3‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎i B. ‎3‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎i C. ‎- ‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎i D. ‎‎- ‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎i 4. 在极坐标系中，曲线C:ρ=2sin θ上的两点A,B对应的极角分别为‎2π‎3‎‎,‎π‎3‎，则弦长‎|AB|‎等于‎(‎     ‎‎)‎ A. 1 B. ‎2‎ C. ‎3‎ D. 2‎ 5. 在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换x'=5xy'=3y后，曲线C变为曲线‎2x‎'‎‎2‎+8y‎'‎‎2‎=1‎，则曲线C的方程为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎25x‎2‎+36y‎2‎=1‎ B. ‎50x‎2‎+72y‎2‎=1‎ C. ‎10x‎2‎+24y‎2‎=1‎ D. ‎‎2‎x‎2‎‎25‎‎+‎8‎y‎2‎‎9‎=1‎ 6. 如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是‎(    )‎ ‎ A. 设备安装 B. 土建设计 C. 厂房土建 D. 工程设计 第II卷(非选择题 共60分)‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 1. 在极坐标系中，点到直线的距离是______．‎ 2. 圆心是C(a,0)‎、半径是a的圆的极坐标方程为______ ．‎ 3. 设a，b∈R，a+bi=‎11-7i‎1-2i(i为虚数单位‎)‎，则a+b的值为________．‎ 4. 已知‎|z|=1‎，则‎|z-1+‎3‎i|‎的最大值和最小值分别是________、________．‎ 三、解答题（本大题共4小题，共40分）‎ 5. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款‎(‎年底余额‎)‎如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(‎千亿元‎)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)‎求y关于t的回归方程y‎=bt+‎a．‎ ‎(2)‎用所求回归方程预测该地区2015年‎(t=6)‎的人民币储蓄存款． ‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，曲线B：x‎2‎‎+y‎2‎=1‎经过伸缩变换x'=3xy'=y后，变为曲线C．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎在曲线C上求一点D，使它到直线l：x+4y-8=0‎的距离最短，并求出点D的直角坐标． ‎ 2. 已知复数z‎1‎‎=a-2i，z‎2‎‎=3+4i(a∈R,‎i为虚数单位‎)‎．‎ ‎(1)‎若z‎1‎‎⋅‎z‎2‎是纯虚数，求实数a的值；‎ ‎(2)‎若复数z‎1‎‎⋅‎z‎2‎在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C‎1‎的极坐标方程为ρcosθ=4‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)M为曲线C‎1‎上的动点，点P在线段OM上，且满足‎|OM|·|OP|=16‎，求点P的轨迹C‎2‎的直角坐标方程‎;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设点A的极坐标为‎(2,π‎3‎)‎，点B在曲线C‎2‎上，求‎△OAB面积的最大值． ‎ 参考答案 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一． 由表可得样本中心为‎(2.5,3.5)‎，代入检验可得结论． 【解答】 解：由表可得样本中心为‎(2.5,3.5)‎，代入检验可得y‎=-0.7x+5.25‎． 故选D． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查独立性检验的应用，属于基础题． 利用K‎2‎的观测值k与临界值表比较，结合各个选项的说法即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：‎∵‎经计算K‎2‎的观测值k≈8.249‎，‎ 则‎8.249>7.879‎，经查表得： 在犯错误的概率不超过‎0.005‎的前提下， 认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 故选C．‎ ‎ 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】本题主要考查对合情推理‎(‎归纳推理、类比推理‎)‎的判断，属于基础题． 由合情推理的概念可知，合情推理包括归纳推理和类比推理，逐个进行判断即可． 【解答】解：‎ ①‎是类比推理，由正三角形的性质类比出正三棱锥的性质； ‎ ②‎为归纳推理，关键看由正方形、矩形的内角和为‎360‎‎°‎，归纳出所有四边形的内角和都是‎360‎‎°‎，符合归纳推理的定义，即由特殊到一般的推理过程； ‎ ③‎是归纳推理，是由三角形的内角和为‎180‎‎°‎，四边形的内角和是‎360‎‎°‎，五边形的内角和是‎540‎‎°‎，由此得出凸多边形内角和是‎(n-2)×‎‎180‎‎°‎，为归纳推理，即由特殊到一般的推理过程； ‎ ④‎不是合情推理． 故选B． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】本题考查演绎推理的意义，是一个基础题‎.‎演绎推理从一般到特殊的推理． 【解答】解：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】本题考查分析法证明命题的基本步骤‎.‎求解a‎2‎‎-b‎2‎+2a-4b-3=0‎的等价变换，再结合a-b=1‎即可得到最后要具备的等式． 【解答】解：要证a‎2‎‎-b‎2‎+2a-4b-3=0‎， 即证a‎2‎‎+2a+1=b‎2‎+4b+4‎，即‎(a+1‎)‎‎2‎=(b+2‎‎)‎‎2‎． 即证‎|a+1|=|b+2|‎， 即证a+1=b+2‎或a+1=-b-2‎， 故a-b=1‎或a+b=-3‎， 而a-b=1‎为已知条件，也是使等式成立的充分条件． 故选D． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题． 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“假设a，b都小于0”，从而得出结论． 【解答】 解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤， 应先假设命题的否定成立， 而命题：“已知x∈R，a=x‎2‎-1‎，b=2x+2‎， 则a，b中至少有一个不小于0”的否定为“假设a，b都小于0”， 故选：D． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】本题考查复数的概念和运算‎.‎先将a+3i‎1-2i‎=‎a-6+‎2a+3‎i‎5‎可得解，属于基础题． 【解答】解：a+3i‎1-2i‎=‎(a+3i)(1+2i)‎‎(1-2i)(1+2i)‎=‎a-6+(2a+3)i‎5‎， 由题意知，a-6=2a+3‎， 解得a=-9‎． 故选B． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查复数的运算以及几何意义，属于基础题． 先将z化简成代数形式，再确定对应的点所在的象限． 【解答】 解：z=i‎1-i+‎i‎2021‎ ‎=i(1+i)‎‎2‎+i=-‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎i， 所以复数z在复平面内对应的点为‎(-‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎， 故复数z=i‎1-i+‎i‎2021‎ 对应的点所在的象限为第二象限， 故选B． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查复数的几何意义及运算，考查共轭复数，属于基础题．‎ 依题意，得z‎1‎‎=1-i，z‎2‎‎=-2+i，根据复数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由复数z‎1‎，z‎2‎在复平面内的对应点的坐标分别为‎(1,-1)‎，‎(-2,1)‎，‎ 得z‎1‎‎=1-i，z‎2‎‎=-2+i，‎ 则z‎2‎z‎1‎‎=‎-2+i‎1-i=‎‎-2+i‎1+i‎1-i‎1+i ‎=‎-3-i‎2‎=-‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎i ．‎ ‎∴‎z‎2‎z‎1‎的共轭复数为‎-‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎i，‎ 故选D．‎ ‎ 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可． 【解答】 解：A、B两点的极坐标分别为‎(‎3‎,‎2π‎3‎)‎，‎(‎3‎,π‎3‎)‎， 化为直角坐标为‎(-‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ ‎、‎(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎， 故‎|AB|=‎(‎3‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎3‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎3‎． 故选C． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题． 把x'=5xy'=3y代入曲线‎2x‎'2‎+8y‎'2‎=1‎，即可得出． 【解答】 解：把x'=5xy'=3y代入曲线‎2x‎'2‎+8y‎'2‎=1‎， 可得‎2(5x‎)‎‎2‎+8(3y‎)‎‎2‎=1‎，化为‎50x‎2‎+72y‎2‎=1‎，即为曲线C的方程． 故选B． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由流程图可知设备采购的下一道工序是设备安装． 故选：A． 工序流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定设备采购的下一道工序． 本题主要考察简单实际问题的流程图，属于基础题． 13.【答案】1 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查简单的极坐标方程，将点‎(2,π‎6‎)‎和直线都化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式计算结果． 【解答】 解：点‎(2,π‎6‎)‎化为直角坐标为‎3‎‎,1‎， 直线ρsin(θ-π‎6‎)=1‎，化为直角坐标方程为x-‎3‎y+2=0‎， 所以点‎(2,π‎6‎)‎到直线 的距离d=‎3‎‎-1×‎3‎+2‎‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=1‎． 故答案为1． 14.【答案】ρ=2acosθ ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由已知可得直角坐标方程，利用ρ‎2‎‎=x‎2‎+‎y‎2‎，x=ρcosθ，代入即可得出极坐标方程． 【解答】 解：圆心是C(a,0)‎、半径是a的圆的直角坐标方程为：‎(x-a‎)‎‎2‎+y‎2‎=‎a‎2‎， 化为x‎2‎‎+y‎2‎-2ax=0‎， 把ρ‎2‎‎=x‎2‎+‎y‎2‎，x=ρcosθ，代入可得极坐标方程：ρ‎2‎‎=2aρcosθ，即ρ=2acosθ， 故答案为：ρ=2acosθ． 15.【答案】8 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查复数相等的充要条件，复数的四则运算，属于基础题． 由题意，可得a+bi=‎11-7i‎1-2i=5+3i，再依据复数相等的充要条件可得a=5‎，b=3‎，即可求解． 【解答】 解：a+bi=‎11-7i‎1-2i=‎(11-7i)(1+2i)‎‎(1-2i)(1+2i)‎=‎25+15i‎5‎=5+3i， 依据复数相等的充要条件，可得a=5‎，b=3‎． 从而a+b=8‎． 故答案为8． 16.【答案】3；1 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查复数的模，属基础题‎.‎根据复数运算的几何意义，求出最值． 【解答】 ‎ 解：因为‎|z|=1‎，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1‎的圆上． ‎|z-1+‎3‎i|=|z-(1-‎3‎i)|‎，表示Z到点‎1-‎3‎i所对应的点P(1,-‎3‎)‎的距离， ‎∵|OP|=‎1+3‎=2‎， 所以‎|PZ‎|‎max=|OP|+r=3‎，‎|PZ‎|‎min=|OP|-r=1‎． 故答案为3；1． 17.【答案】解：‎‎(1)‎ ‎ 由题意，t‎=3‎，y‎=7.2‎，‎ ​‎i=1‎‎5‎ti‎2‎‎-5‎t‎2‎‎=55-5×‎3‎‎2‎=10‎，‎ ​‎i=1‎‎5‎tiyi‎-5‎ty‎=120-5×3×7.2=12‎， ‎∴b=1.2‎，a‎=7.2-1.2×3=3.6‎，‎ ‎∴y关于t的回归方程y‎=1.2t+3.6‎． ‎(2)‎将t=6‎代入回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为‎=1.2×6+3.6=10.8(‎千亿元‎)‎．‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题． ‎(1)‎利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程y‎=bt+‎a． ‎(2)t=6‎，代入回归方程，即可预测该地区2016年的人民币储蓄存款． 18.【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎根据题意，由x'=3xy‎'‎‎=y，得x=‎1‎‎3‎x'‎y=y'‎， 代入x‎2‎‎+y‎2‎=1‎中， 整理得曲线C的标准方程为x‎'‎‎2‎‎9‎‎+y‎'‎‎2‎=1‎； ‎(‎Ⅱ‎)‎曲线C的参数方程为x'=3cosθy‎'‎‎=sinθ‎(θ为参数‎)‎； 设D(3cosθ,sinθ)‎，它到直线l：x+4y-8=0‎的距离为 d=‎|3cosθ+4sinθ-8|‎‎17‎=‎‎|5(‎3‎‎5‎cosθ+‎4‎‎5‎sinθ)-8|‎‎17‎， 令sinφ=‎‎3‎‎5‎，cosφ=‎‎4‎‎5‎， 则d=‎‎|5sin(θ+φ)-8|‎‎17‎， 当sin(θ+φ)=1‎时，‎ d取得最小值为‎3‎‎17‎‎17‎； 此时θ+φ=π‎2‎+2kπ，k∈Z； ‎∴θ=π‎2‎-φ+2kπ，k∈Z； 则cosθ=cos(π‎2‎-φ)=sinφ=‎‎3‎‎5‎， sinθ=sin(π‎2‎-φ)=cosφ=‎‎4‎‎5‎； ‎∴‎点D的坐标为D(3cosθ,sinθ)=(‎9‎‎5‎,‎4‎‎5‎).‎ ‎ ‎【解析】本题考查了伸缩变换与参数方程的应用问题，是中档题． ‎(‎Ⅰ‎)‎由坐标伸缩变换，代入x‎2‎‎+y‎2‎=1‎中化简即得曲线C的标准方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎设出曲线C的参数方程，利用参数表示点D的坐标，求出它到直线l的距离最小值对应的点D的坐标即可． 19.【答案】解：‎(1)‎由z‎1‎‎⋅z‎2‎=(a-2i)⋅(3+4i)=(3a+8)+(4a-6)i是纯虚数， 得‎3a+8=0‎‎4a-6≠0‎，解得a=-‎‎8‎‎3‎； ‎(2)‎根据题意z‎1‎‎⋅‎z‎2‎在复平面上对应的点在第四象限， 可得‎3a+8>0‎‎4a-6<0‎‎⇒-‎8‎‎3‎0)‎，M的极坐标为‎(ρ‎1‎,θ)(ρ‎1‎>0)‎， 由题设知‎|OP|=ρ，， 由‎|OM|·|OP|=16‎， 得C‎2‎的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0)‎， 因此C‎2‎的直角坐标方程为‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=4(x≠0)‎； ‎(‎Ⅱ‎)‎设点B的极坐标为‎(ρB,α)(ρB>0)‎，， 由题设知‎|OA|=2‎，ρB‎=4cosα， 于是‎△OAB面积S=‎1‎‎2‎|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α·|sin(α-π‎3‎)|=2|sin(2α-π‎3‎)-‎3‎‎2‎|‎ ‎≤2+‎‎3‎． 当α=-‎π‎12‎时，S取得最大值‎2+‎‎3‎． 所以‎△OAB面积的最大值为‎2+‎‎3‎． ‎ ‎【解析】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，极坐标方程的运用，属于中档题． ‎(‎Ⅰ‎)‎设P的极坐标为‎(ρ,θ)(ρ>0)‎，M的极坐标为‎(ρ‎1‎,θ)(ρ‎1‎>0)‎，则‎|OP|=ρ，，由‎|OM|·|OP|=16‎，得C‎2‎的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0)‎，把ρ‎2‎‎=x‎2‎+y‎2‎,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即可求C‎2‎的直角坐标方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎设点B的极坐标为‎(ρB,α)(ρB>0)‎，，则‎△OAB面积S=‎1‎‎2‎|OA|·ρB·sin∠AOB=2|sin(2α-π‎3‎)-‎3‎‎2‎|‎，利用正弦函数的性质即可得出最大面积． ‎