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文档介绍
高考数学专题复习练习：第九章 9_7抛物线的概念
1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【知识拓展】 1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ ) 1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) 答案 D 解析 ∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)． 2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B 解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( ) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 答案 C 解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y2＝－8x或x2＝－y 解析 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 5．(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________． 答案 2 解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－， 圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4， 解得p＝2. 题型一 抛物线的定义及应用 例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案 4 解析 如图， 过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 引申探究 1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值为2. 2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值． 解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3， 所以d1＋d2的最小值为3－1. 思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 答案 解析 如图， 易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为＝. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程 例2 已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 答案 D 解析 ∵－＝1的离心率为2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝. x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y. 命题点2 抛物线的几何性质 例3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋为定值； (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)． 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2. 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝＝(定值)． (3) 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． (1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( ) A. B．1 C. D．2 答案 (1)B (2)A 解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图， 又可设A(x0,2)， D， 点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，① 点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，② 点D在圆x2＋y2＝r2上， ∴5＋2＝r2，③ 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B. (2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P， 由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. |AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab. 又ab≤()2， 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2， 得到|AB|≥(a＋b)， 所以≤＝， 即的最大值为. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________. 答案 2 解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4. 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝， y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. 因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0， 且A，B，P，Q， R. 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2. 所以AR∥FQ. (2)解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|， S△PQF＝. 由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)． 设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)． 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (2017·北京东城区质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝. 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. 由题设得＋＝×， 解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直， 故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m2＋1,2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3. 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)， |MN|＝ |y3－y4|＝， 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|， 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2， 即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2 ＝， 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 7．直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明·＝0. 解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．[2分] (2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[4分] (3)存在，联立方程 消去y得mx2－2x－2＝0， 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.[6分] 设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*) ∵P是线段AB的中点，∴P(，)， 即P(，yP)，∴Q(，)．[8分] 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)， 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0， 即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，[10分] 结合(*)化简得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， 而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)． ∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分] 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况． 1．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为( ) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 答案 C 解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋， 联立消去x得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案 B 解析 ∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－， 即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案 C 解析 ∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(，0)， ∴|OF|＝， ∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝ ， ∴sin∠OAF＝＝， 根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A， ∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝， ∵|MF|＝5，|AF|＝ ， ∴ ＝， 整理得4＋＝，解得p＝或p＝， ∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( ) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 答案 A 解析 ①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，∴x1x2＝； ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴＝－4. ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k(x－)， 联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 则x1x2＝. ∴y1y2＝－p2.故＝－4. 5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案 C 解析 如图， 分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.故选C. 6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 如图， 过P作PN垂直直线x＝－1于N， 由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA， 在Rt△PAN中，sin∠PAN＝， 当＝最小时，sin∠PAN最小， 即∠PAN最小，即∠PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)， 联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0， 解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°， ＝＝cos∠NPA＝，故选B. 7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________. 答案 12 解析 焦点F的坐标为， 方法一 直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为y＝， 即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB|＝＝＝12. 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________. 答案 2 解析 如图， 由AB的斜率为， 知∠α＝60°，又＝， ∴M为AB的中点． 过点B作BP垂直准线l于点P， 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°， ∴|BP|＝|AB|＝|BM|. ∴M为焦点，即＝1，∴p＝2. 9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A ，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________. 答案 6 解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)， 准线方程为x＝－2. 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，c＝2，＝， 可得a＝4，b2＝16－4＝12. 故椭圆方程为＋＝1. 把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3. 从而|AB|＝6. *10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________． 答案 (2,4) 解析 如图， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条． 当k存在时，x1≠x2， 则有·＝2， 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. 由CM⊥AB，得k·＝－1， 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3， 即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x， 得y2＝12，则有－2查看更多