高考数学模拟试卷3 (3)

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高考数学模拟试卷3 (3)

- 1 - 2018 年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学理科试卷(39) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z 满足 (1 ) 2z i  ,则 z 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 { 1 2}M x x   ,集合 { ( 1)( 3) 0}N x Z x x     ,则 M N  ( ) A.{0,1,2} B.{ 1,0,1,2} C.{ 1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 3.根据如下样本数据: x 3 5 7 9 y 6 a 3 2 得到回归方程 ^ 1.4 12.4y x   ,则( ) A.变量 x 与 y 之间是函数关系 B.变量 x 与 y 线性正相关 C.线性回归直线经过上述各样本点 D. 5a  4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织, 日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于 织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三 十天共织布( ) A.30 尺 B.150 尺 C. 90 尺 D.180 尺 5.已知实数 ,x y 满足 1 1 0 2 1 x y x x y         ,则目标函数 4 2Z x y  的最大值等于( ) A.-14 B.-5 C. 4 D.6 6. 已知直线 ,l m ,平面 ,  ,且l  , m  ,下列命题:① // l m    ;② //l m   ③ //l m    ;④ //l m    其中正确的序号是( ) - 2 - A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 7. 运行如图所示的程序框图,若输出 S 是 126,则①应为( ) A. 7?n  B. 5?n  C. 5?n  D. 6?n  8. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体 积为( ) A.11 2  B.16 3  C. 17 3  D. 35 6  9.若双曲线的中心为原点, ( 2,0)F  是双曲线的焦点,过 F 直线l 与双曲线交于 ,M N 两点, 且 MN 的中点为 (1,3)P ,则双曲线的方程为( ) A. 2 2 13 x y  B. 2 2 13 xy   C. 2 2 13 y x  D. 2 2 13 yx   10.已知函数 ( ) 2sin( )f x x   ( 0    )的图象与直线 2y  的某两个交点的横坐标 分别为 1 2,x x ,若 2 1x x 的最小值为 ,且将函数 ( )f x 的图象向右平移 4  个单位得到的函 - 3 - 数为奇函数,则函数 ( )f x 的一个递增区间为( ) A. ( ,0)2  B. ( , )4 4   C. (0, )2  D. 3( , )4 4   11. 已知点 1F 是抛物线 2 4x y 的焦点,点 2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点,过 2F 作抛 物线的切线,切点为 A ,若点 A 恰在以 1 2,F F 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心离为( ) A. 6 2 2  B. 2 1 C. 6 2 2  D. 2 1 12.已知函数 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x  时, 1 12 ,0 2 ( ) 1 ( 2), 22 x x f x f x x        ,则函数 ( ) ( ) 1g x xf x  在[ 7, )  上的所有零点之和为( ) A.0 B.4 C.8 D.16 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.在 ABC 中, AB AC AB AC      , 3AB  ,则 AB BC   . 14.已知 0a  , 4(1 ) ( 2)ax x  的展开式中 2x 项的系数为 1,则 a 的值为 . 15.已知各项都为正数的数列{ }na ,对任意的 *,m n N , m n m na a a   恒成立,且 3 5 4 72a a a   ,则 2 1 2 2 2 7log log loga a a    . 16.若以曲线 ( )y f x 上任意一点 ( , )M x y 为切点作切线l ,曲线上总存在异于 M 的点 1 1( , )N x y ,以点 N 为切点作线 1l ,且 1//l l ,则称曲线 ( )y f x 具有“可平行性”,下列曲线 具有可平行性的编号为 .(写出所有的满足条件的函数的编号) ① 1y x  ② 3y x x  ③ cosy x ④ 2( 2) lny x x   三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在 ABC 中,设内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 2sin( ) sin( )4 4 2C C     . (1)求角C ; (2)若 3 3c  且sin 2sinA B ,求 ABC 的面积. - 4 - 18.从某校高中男生中随机选取 100 名学生,将他们的体重(单位: kg )数据绘制成频率分 布直方图,如图所示. (1)估计该校的 100 名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表); (2)若要从体重在[60,70) ,[70,80) 内的两组男生中,用分层抽样的方法选取 5 人,再从这 5 人中随机抽取 3 人,记体重在[60,70) 内的人数为 ,求其分布列和数学期望 ( )E  . 19.等边 ABC 的边长为 3,点 ,E F 分别为 ,AB BC 上的点,且满足 1 2 AD CE DB EA   (如图 1), 将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置,使二面角 1A DE B  成直二面角,连接 1A B , 1AC (如图 2) (1)求证: 1A D  平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 1PA 与平面 1A BD 所成的角为 060 ?若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,点 1( 3,0)F  ,圆 2 2 2 : 2 3 13 0F x y x    ,点Q 是圆上 一动点,线段 1FQ 的中垂线与线段 2F Q 交于点 P . - 5 - (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若直线l 与曲线 E 相交于 ,A B 两点,且存在点 (4,0)D (其中 , ,A B D 不共线),使得 ADB 被 x 轴平分,证明:直线l 过定点. 21.已知函数 2( ) ( ) xf x ax x a e    ( )a R . (1)若 0a  ,函数 ( )f x 的极大值为 5 e ,求实数 a 的值; (2)若对任意的 0a  , ( ) ln( 1)f x b x  ,在 [0, )x  上恒成立,求实数b 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 cos 1 sin x y       ,其中 为参数,且 [0, ]  在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程; (2)设T 是曲线C 上的一点,直线OT 被曲线C 截得的弦长为 3 ,求T 点的极坐标. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( )f x x x a  , a R (1)求 (1) ( 1) 1f f   ,求 a 的取值范围; (2)若 0a  ,对 , ( , ]x y a   ,都有不等式 5( ) 4f x y y a    恒成立,求 a 的取值 范围. - 6 - 2018 年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学试卷(理科)参考答案(39) 一、选择题:DADCC BDBDA BC 二、填空题:13.-9 14. 6 1 15.21 16.①③ 三、解答题: 17. 解:(1) )4cos(42sin)4sin( CCC            故由已知可得: 2 2)4sin()4cos(  CC  即 2 1cos2 2)2sin(2  CC 又 30   CC 由 BA sin2sin  及正弦定理得: ba 2 (2) 由(1) 3 C 又 33c 故由余弦定理得: 3cos)2(2)2()33( 222 bbbb  解得: 3b 从而 6a 2 39 2 3362 1sin2 1   CabS ABC 18.解:(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为: 10.0,20.0,30.0,35.0,05.0 故估计 100 名学生的平均体重约为: 5.6410.08520.07530.06535.05505.045  (2) 由 (1) 及 已 知 可 得 : 体 重 在    807070,60 ,及 的 男 生 分 别 为 : 0.30 100=30 (人) 0.20 100=20 (人) 从中用分层抽样的方法选 5 人,则体重在 60,70 内的应选 3 人,体 重在 70,80 内的应选 2 人 从 而  的 可 能 取 值 为 1 , 2 , 3 且 得 :   10 31 3 5 1 3  C CP    5 32 3 5 2 3 1 2  C CCP  - 7 -   10 13 3 5 3 3  C CP  其分布列为: P 1 2 3  10 3 5 3 10 1 故得: 8.110 135 3210 31)( E 18. 解:(1)证明: 如图 1,由已知可得: 60,1,2  AADAE 从而 360cos21221 22  DE 故得 222 AEDEAD  DEBDDEAD  , 即图 2 中: DEBDDEDA  ,1 DBA1 为二面角 BDEA 1 的平面角 而二面角 BDEA 1 为直二面角, 901  DBA 即 DBDA 1 BCED, 平面且  DBDEDDBDE  BCEDDA 平面 1 (2)由(1) DEDBDA ,,1 两两垂直,分别以 轴所在直线为 zyxDADEDB ,,,, 1 建立空间直 角坐标系,则由已知及(1)可得: )0,2 33,2 1(),1,0,0(),0,0,2(),0,0,0( 1 CABD 令 )10(   BCBP 则因 )0,0,2(),0,2 33,2 3(   DBBC 故 )0,2 33,2 32()0,2 33,2 3()0,0,2(    BCDBBPDBDP - 8 - 即 )0,2 33,2 32( P 由(1)知 )0,1,0(  n 为平面 BDA1 的一个法向量 又 )1,2 33,2 32(1   AP 若存在满足条件的 P,则 2 360sin,cos 1   PAn 即 2 3 )1()2 33()2 32( 2 33 222     解得 6 5 而 2 5,3   BCBPBC  故存在满足条件的点 P,且 PB 的长为 2 5 19. (1)由已知 )0,3(1 F , )0,3(2F ,圆 2F 的半径为 4r 依题意有: PQPF 1 42221  rQFPFPQPFPF 故点 P 的轨迹是以 21, FF 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,即 1,2,3  bac 故点 P 的轨迹 E 的方程为 14 2 2  yx (2)令 ),(),,( 2211 yxByxA ,因 A,B,D 不共线,故l 的斜率不为 0,可令l 的方程为: nmyx  , 则由  nmyx yx   44 22 得 042)4( 222  nmnyym 则 4 4,4 2 2 2 21221    m nyym mnyy ① ADB 被 x 轴平分, 0 DBDA kk 即 044 2 2 1 1  x y x y 亦即 0)(4 211221  yyxyxy ② 而 )(2)()( 212112211221 yynymynmyynmyyxyxy  代入②得: - 9 - 0))(4(2 2121  yynymy ③ ①代入③得: m2 )4 4( 2 2   m n 0)4 2)(4( 2   m mnn 0m 时得: 1n 此时 l 的方程为: 1 myx 过定点(1,0) 0m 时 , 1n 亦满足 此时l 的方程为: 1x 综上所述,直线l 恒过定点(1,0) 21.解:(1)由题意, . ①当 时, , 令 ,得 ; ,得 , 所以 )(xf 在 )1,( 单调递增 ),1(  单调递减. 所以 )(xf 的极大值为 eef 51)1(  ,不合题意. ②当 时, , 令 ,得 ; ,得 或 , 所以 )(xf 在 )1,11( a  单调递增, )11,( a  , ),1(  单调递减. 所以 )(xf 的极大值为 ee af 512)1(  ,得 2a . 综上所述 2a . (2)令 , 当 时, , 故  0-)( ,于 ag 上递增, )0(,)0()(   xxegag x 原问题    ,0)1ln( xxbxe x 于 上恒成立 - 10 - ①当 时, , , , 此时 ,不合题意. ②当 时,令 , , 则 ,其中 , , 令 ,则 )(xp 在区间 ,0 上单调递增 (ⅰ) 时, , 所以对 , ,从而 在 上单调递增, 所以对任意 , , 即不等式 在 上恒成立. (ⅱ) 时,由 , 及 在区间 上单调递增, 所以存在唯一的 使得 ,且 时, . 从而 时, ,所以 在区间 上单调递减, 则 时, ,即 ,不符合题意. 综上所述, . 22.解: (Ⅰ)根据曲线 的参数方程得 曲线 C 的普通方程为: 2 2(x-1) 1y  曲线 的极坐标方程为: 2 cos ( 0, )2          (Ⅱ)由题得 3OT , - 11 - 所以令 3 2 cos  , 0, 2       ,则解得 6   . 故点 的极坐标为 ( 3, )6  23. 解:(1)由 Raaxxxf  ,)( 得 1111)1()1(  aaff  1 1)1()1(   a aa 或 11 1)1()1(   a aa 或 1 1)1()1(   a aa  aaa 或或 2 111 2 1 a 综上所述, )2 1,( a (2) 当   )0(,  aay 时,记 ayyyg  4 5)( 则 )4 5(,4 5 4 5 4 5)(  时取ayaayayyg 即 ayg  4 5)( 的最小值为 当   )0(,  aax 4)2()()( 2 2 aaxxaxxf  2 ax  时 )(xf 的最大值为 4 2a 故原问题 510544 5 4 2 2  aaaaa 又  5,00  aa - 12 -
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