数学文卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试(2017

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数学文卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试(2017

惠州市2018届高三第二次调研考试 文科数学 2017.10‎ 全卷满分150分,时间120分钟.‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2.已知复数的共轭复数为,若(为虚数单位),则(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3.已知等差数列的前项和为,且,,则( ) ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.已知双曲线的渐近线方程为,则双曲线的 离心率为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5.若,,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6.已知,且,则 (  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎7.某商场为了了解毛衣的月销售量(件)与月平均气温(℃)之间的关系,随机统计 了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:‎ 月平均气温x(℃)‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎2‎ 月销售量y(件)‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎55‎ 由表中数据算出线性回归方程中的,气象部门预测下个月的平均气温 约为6℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )件.‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8.如图,某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,‎ 且直角边长都等于1,则该几何体的外接球的体积为(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9.已知等边三角形△的边长为,其重心为,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.设为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,若线段的中点在轴上,‎ 则的值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到 的图象,若,且,则的最大值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎12.已知函数,若函数的图象上关于原点对称的点有对,‎ 则实数的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.已知函数,,则 .‎ ‎14.已知实数、满足,则的最小值是 .‎ ‎15.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又 朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我 们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,‎ 则八卦所代表的数表示如下:‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是 .‎ ‎16.数列的前项和为,若,则数列的前项和为 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,‎ 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:60分。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 中,是边的中点,,,.‎ ‎(1)求边的长;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对名小学六年级学生进行了问卷 调查,并得到如下列联表.平均每天喝以上为“常喝”,体重超过为“肥胖”.‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 合计 ‎30‎ 已知在全部人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为.‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整;‎ ‎(2)是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由;‎ ‎(3)已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的 学生中随机抽取2人参加一个电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.‎ 参考数据:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎, 其中为样本容量.‎ ‎19.(本小题满分12分) ‎ 如图,在多面体中,是等边三角形,是等腰直角三角形,‎ ‎,平面平面,平面,点为的中点.‎ ‎ (1)求证:∥平面;‎ ‎ (2)若,求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎ (1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;‎ ‎ (2)求函数的单调区间.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于点、两点,‎ 设,.‎ ‎ (1)求证:为定值;‎ ‎ (2)是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,‎ 求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本小题满分10分)[选修4―4:坐标系与参数方程] ‎ 已知曲线(为参数)和定点,、是此曲线的左、‎ 右焦点,以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线的极坐标方程;‎ ‎(2)经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点,‎ 求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)[选修4―5:不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若二次函数与函数的图象恒有公共点,‎ 求实数的取值范围. ‎ 惠州市2018届高三第二次调研考试 数学(文科)参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C B A D A A B C D B D ‎1.【解析】由题意,故选C.‎ ‎2.【解析】,则,故选C.‎ ‎3.【解析】由等差数列可知,得,所以,故选B .‎ ‎4.【解析】双曲线的渐近线,得,又,得到 所以,,故选A .‎ ‎5.【解析】依题意,,,而由得,故选D .‎ ‎6.【解析】由,得,且,‎ 所以,,又,故选A .‎ ‎7.【解析】计算得,回归直线过点,且,代入得,则回归方程为 ‎,则时,故选A .‎ A B C D ‎8.【解析】还原几何体为一个三棱锥,放入棱长为1的正方体中,如图所示,‎ 外接球的半径为,则,故选B .‎ ‎9.【解析】如图建立平面直角坐标系,则,,,‎ G C O y x B A 得重心,则向量,,‎ 所以,故选C .‎ ‎(也可以,由向量数量积的定义计算得出)‎ y x O F2‎ F1‎ P M ‎10.【解析】如图,设线段的中点在轴上,点是的中点,‎ 所以,可得轴,,‎ ‎,,故选D .‎ ‎11.【解析】由题意可得,,所以,又,所以 ‎,由,得,因为 O y x ‎,所以,故选B .‎ ‎12.【解析】依题意,函数图象上存在关于原点对称的点,可作函数 关于原点对称的函数 的图象,使得它与直线的交点个数为2即可,‎ 当直线与的图象相切时,设切点为,‎ 又的导数为,则,解得,可得切线的 斜率为1,结合图象可知时函数与直线有两个交点,即原函 数图象上有两个点关于原点对称,故选D .‎ 二、填空题:(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎13【解析】由已知得,即,所以 ‎, 也可得出.‎ ‎14【解析】画出可行域平移直线可知在点取得最小值,代入目标函数得.‎ ‎15【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的,‎ 转化为十进制数的计算为.‎ ‎16【解析】当时,得,当时,得 ‎,则数列为等比数列,公比为,,得,由错位相减法 求和得.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.解:(1)设,则,由余弦定理,‎ ‎ 在△中,有 ……………………2分 在△中,有 ……………………4分 且,即,得 ……………………6分 ‎∴ ……………………7分 ‎(2) 由(1)可知,,,得 ……………………9分 A B C D ‎ ∴ ……………………12分 ‎18.解:(1)设全部30人中的肥胖学生共名,则,‎ ‎∴ 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名. ……………………2分 列联表如下:‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不肥胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 合计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎ ……………………4分 ‎ ‎(2)∵, ……………………6分 又 ……………………7分 ‎∴有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. ……………………8分 ‎(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为,2名女生为,则从中随机抽取2名的情形 有;;;;共15种, …………………10分 其中一名男生一名女生的情形共有8种, ……………………11分 ‎ ‎∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为. ……………………12分 ‎19.(1)证明:∵△是等腰直角三角形,‎ ‎,点为的中点,∴. ‎ ‎ ∵ 平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面,‎ ‎∴平面. …………4分 ‎ ∵ 平面,∴ ∥. …………5分 ‎ ∵ 平面,平面,‎ ‎ ∴ ∥平面. …………6分 ‎(2)法1:由(1)知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………7分 ‎∵ ,△是等边三角形,点为的中点 ‎ ∴ …………8分 ‎∴ …………10分 ‎ …………12分 法2:由(1)知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………7分 ‎ 过作,垂足为点,‎ ‎ ∵ 平面,平面, ∴ .‎ ‎ ∵ 平面,平面,,‎ ‎ ∴ 平面. …………9分 ‎ ∵ ,△是等边三角形,‎ ‎ ∴ ,,. …………10分 ‎ ∴ .‎ ‎∴ 三棱锥的体积为. …………12分 ‎20. 解: (1)由可知,函数定义域为,‎ ‎ 且,依题意,‎ ‎ 解得 ……………………………………… 4分 ‎ (2)依题意, ‎ ‎ 令,得 ‎ ‎ ① 当时,,由,得;由,得 ‎ 则函数的单调递减区间为,单调递增区间为 ……… 6分 ‎ ② 当,即时,由,得或 ‎ 由,得 ‎ 则函数的单调递增区间为,‎ 函数的单调递减区间为 ………………… 8分 ‎ ③ 当,即时,恒成立,则函数的单调递增区间为 ‎ ……………………………………… 10分 ‎ ‎ ④ 当,即时,由,得或,由,得 ‎ 则函数的单调递增区间为,‎ 函数的单调递增区间为 ………………… 12分 ‎21、解:(Ⅰ)(解法1)当直线AB垂直于x轴时,,‎ 因此(定值) ……………………2分 当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 …………………… 4分 ‎(解法2)设直线AB的方程为 由得 ‎ 因此有为定值 ……………………(4分)‎ ‎(Ⅱ)设存在直线:满足条件,则 AC的中点,‎ ‎ 因此以AC为直径的圆的半径 E点到直线的距离 ……………………7分 所以所截弦长为 ‎ ……………………10分 当即时,弦长为定值2,这时直线方程为 …………………… 12分 ‎ ‎22.‎ 解:(1)曲线C:可化为,‎ 其轨迹为椭圆,焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0). ……………………2分 经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为,即 ‎∴ 直线的极坐标方程为:. ……………………5分 ‎(2)由(1)知,直线AF2的斜率为,‎ 因为⊥AF2,所以的斜率为,倾斜角为30°,‎ 所以的参数方程为(t为参数),‎ 代入椭圆C的方程中,得. ……………………8分 因为M,N在点F1的两侧,‎ 所以|MF1|﹣|NF1|=|t1+t2|=. ……………………10分 ‎23.‎ ‎【解析】‎ 解:(1)当时,, ……………………3分 ‎ 由得不等式的解集为. ……………………5分 ‎(2)由二次函数,该函数在取得最小值2,‎ 因为,在处取得最大值,………8分 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点,‎ 只需,即. ……………10分
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