2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学(理)试题(Word版)

‎2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学(理)试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欲证 成立,只需证( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动,则至少有一名女生的抽法共多少种( )‎ A.34 B.30 C.31 D.32‎ ‎4.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )‎ A.都是奇数 B.都是偶数 C.中至少有两个偶数 D.中至少有两个偶数或都是奇数 ‎5.已知函数,其导函数的图象如图,则对于函数的描述正确的是( )‎ A.在上为减函数 B.在处取得最大值 C.在上为减函数 D.在处取得最小值 ‎6.设,则( )‎ A. B. C. D.不存在 ‎7.已知函数(是自然对数的底数),则的极大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.“”,在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中,由推导到时,等式的右边增加的式子是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.设函数,观察下列各式:,,,,…,,…,根据以上规律,若,则整数的最大值为( )‎ A. B.8 C.9 D.10‎ ‎10.若函数在上单调递增,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.学校计划在全国中学生田径比赛期间,安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务,要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人,剩下两个比赛场地各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有( )‎ A.168种 B.156种 C.172种 D.180种 ‎12.若,函数有两个极值点,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.设,若(是虚数单位),则__________.‎ ‎14.展开式中的系数为_____________.‎ ‎15.下图中共有__________个矩形.‎ ‎16.“求方程的解”有如下解题思路:设,则在上单调递减,且,所以原方程有唯一解,类比上述解题思路,不等式的解集是__________.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间.‎ ‎(2)若对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎18.已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,且数列的前项和为,求.‎ ‎19.在中,内角所对的边分别是,已知.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若的面积,且,求.‎ ‎20.如图,在直三棱柱中,,为棱的中点,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设二面角的正切值为,,,求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎21.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程;‎ ‎(2)斜率为的直线交抛物线于不同两点,求证:.‎ ‎22.已知函数在点处的切线方程是.‎ ‎(1)求的值及函数的最大值;‎ ‎(2)若实数满足.‎ ‎(i)证明:;‎ ‎(ii)若,证明:.‎ 数学(理科)答案 ‎1-5 DCADC 6-10 CDDCC 11-12 BA ‎13 14. -14 15. 45 16.‎ ‎17.(1)令,解得或, ‎ 令,解得:. ‎ 故函数的单调增区间为,单调减区间为. ‎ ‎(2)由(1)知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,‎ 又,,,‎ ‎∴, ‎ ‎∵对恒成立,‎ ‎∴,即,∴ ‎ ‎18.(1)当时,,‎ 又时,适合.‎ ‎(2)证明:由(1)知,‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎19.(Ⅰ)因为,所以由,‎ 即,由正弦定理得,‎ 即,∵,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,∴,∴,∵,∴.‎ ‎(Ⅱ)∵,∴,‎ ‎∵, ,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴ .‎ ‎20(1)证明:取的中点,连接,,‎ ‎∵侧面为平行四边形,∴为的中点,‎ ‎∴,又,∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形,则.‎ ‎∵平面,平面,∴平面.‎ ‎(2)解:过作于,连接,‎ 则即为二面角的平面角.‎ ‎∵,,∴.‎ 以为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,,‎ 则,,.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎21.(Ⅰ)由,所以椭圆在右焦点F(1,0),‎ ‎∴,即p=2.‎ 所以抛物线C的标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线l的方程为y=-x+b,将它代入抛物线.‎ 得,设,‎ 则,.‎ 又由直线l交抛物线C于不同两点A,B,‎ 可得,所以.‎ 而,‎ 令t=b+3,则t>2.‎ 所以 ‎.‎ 当,即,时,等号成立.‎ ‎22.解:(Ⅰ), ‎ 由题意有,解得. ‎ 故,,‎ ‎,所以在为增函数,在为减函数. ‎ 故有当时,. ‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ ‎(ⅰ),‎ 由(Ⅰ)知,所以,即. ‎ 又因为(过程略),所以,故. ‎ ‎(ⅱ)法一:‎ 由(1)知 ‎ ‎ 法二:,‎ 构造函数,,‎ 因为,所以,‎ 即当时,,所以在为增函数,‎ 所以,即,故 ‎
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