2012年高考数学真题分类汇编J 计数原理 (理科)

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2012年高考数学真题分类汇编J 计数原理 (理科)

J 计数原理 J1 基本计数原理 ‎10.J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(  )‎ A.1或3 B.1或4‎ C.2或3 D.2或4‎ ‎10.D [解析] 本题考查组合数等计数原理.‎ 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C=15次,如果都完全交换,每个人都要交换5次,也就是得到5份纪念品,现在6个同学总共交换了13次,少交换了2次,这2次如果不涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有4人;如果涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有2人,答案为D.‎ ‎6.J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.‎18 C.12 D.6‎ ‎6.B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识,考查分析问题和解决问题的能力.‎ 法一:(直接法)本题可以理解为选出三个数,放在三个位置,要求末尾必须放奇数,如果选到了0这个数,这个数不能放在首位,所以n=CCA+CC=12+6=18;‎ 法二:(间接法)奇数的个数为n=CCCA-CC=18.‎ ‎7.K2、J1[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎7.D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理,解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数,再找到个位是0的个数,利用公式求解,‎ 设个位数与十位数分别为y,x,则如果两位数之和是奇数,则x,y分别为一奇数一偶数:‎ 第一类x为奇数,y为偶数共有:C×C=25;‎ 另一类x为偶数,y为奇数共有:C×C=20.‎ 两类共计45个,其中个位数是0,十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数,所以个位数是0的概率为:P(A)==.‎ ‎6.J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎6.D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识,考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力.要使所取出的4个数的和为偶数,则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求,所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有三类:‎ ‎①4个都是偶数:1种;‎ ‎②2个偶数,2个奇数:CC=60种;‎ ‎③4个都是奇数:C=5种.∴不同的取法共有66种.‎ ‎[点评] 对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位,不要出现遗漏现象.‎ J2 排列、组合 ‎11.J2[2012·山东卷] 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(  )‎ A.232 B.252‎ C.472 D.484‎ ‎11.C [解析] 本题考查排列、组合,考查运算求解能力,应用意识,中档题.‎ 法一:(排除法)先从16张卡片选3张,然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况,‎ C-‎4C-CC=560-88=472.‎ 法二:有红色卡片的取法有CCCC+CCC,不含红色卡片的取法有CCC+CCC,总共不同取法有CCCC+CCC+CCC+CCC=472.‎ ‎8.J2[2012·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(  )‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 ‎8.C [解析] 本小题主要考查排列、组合的知识,解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算.依甲赢计算:打三局结束甲全胜只有1种;打四局结束甲前三局赢两局,第四局必胜有C种;打五局结束甲前四局赢两局,第五局必胜有C×1=6种;故甲胜共有10种,同样乙胜也有10种,所以共有20种,故选C.‎ ‎5.J2[2012·辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(  )‎ A.3×3! B.3×(3!)3‎ C.(3!)4 D.9!‎ ‎5.C [解析] 本小题主要考查排列组合知识.解题的突破口为分清是分类还是分步,是排列还是组合问题.‎ 由已知,该问题是排列中捆绑法的应用,即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列,而后每个家庭内部进行全排列,即不同坐法种数为A·A·A·A=(3!)4.‎ ‎2.J2[2012·课标全国卷] 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(  )‎ A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 ‎2.A [解析] 分别从2名教师中选1名,4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可,则乙地就安排剩下的教师与学生,故不同的安排方法共有CC=12种.故选A.‎ ‎11.J2[2012·全国卷] 将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(  )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎11.A [解析] ‎ 本小题主要考查排列组合的应用,解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步.‎ 第一步排第一列,一定是一个a、一个b和一个c,共有A=6种不同的排法,第二步排第二列,要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法,则总共有‎2A=12种不同的排法,故选A.‎ ‎6.J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.‎18 C.12 D.6‎ ‎6.B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识,考查分析问题和解决问题的能力.‎ 法一:(直接法)本题可以理解为选出三个数,放在三个位置,要求末尾必须放奇数,如果选到了0这个数,这个数不能放在首位,所以n=CCA+CC=12+6=18;‎ 法二:(间接法)奇数的个数为n=CCCA-CC=18.‎ ‎10.J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(  )‎ A.1或3 B.1或4‎ C.2或3 D.2或4‎ ‎10.D [解析] 本题考查组合数等计数原理.‎ 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C=15次,如果都完全交换,每个人都要交换5次,也就是得到5份纪念品,现在6个同学总共交换了13次,少交换了2次,这2次如果不涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有4人;如果涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有2人,答案为D.‎ ‎11.J2[2012·四川卷] 方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(  )‎ A.60条 B.62条 ‎ C.71条 D.80条 ‎11.B [解析] 由于要表示抛物线,首先a、b均不能为0.‎ 又b要进行平方,且只需考虑不同情况,故b2在1,4,9中考虑.‎ ‎①c=0时,若a取1,则b2可取4或9,得到2条不同的抛物线;‎ 若a取2,3,-2,-3任意一个,b2都有1,4,9三种可能,可得到4×3=12条抛物线;‎ 以上共计14条不同的抛物线;‎ ‎②c≠0时,在{-3,-2,1,2,3}中任取3个作为a,b,c的值,有A=60种情况,其中a,c取定,b取互为相反数的两个值时,所得抛物线相同,这样的情形有‎4A=24种,其中重复一半,故不同的抛物线共有60-12=48(条),‎ 以上两种情况合计14+48=62(条).‎ ‎6.J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎6.D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识,考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力.要使所取出的4个数的和为偶数,则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求,所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有三类:‎ ‎①4个都是偶数:1种;‎ ‎②2个偶数,2个奇数:CC=60种;‎ ‎③4个都是奇数:C=5种.∴不同的取法共有66种.‎ ‎[点评] 对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位,不要出现遗漏现象.‎ J3 二项式定理 ‎1.J3[2012·四川卷] (1+x)7的展开式中x2的系数是(  )‎ A.42 B.‎35 C.28 D.21‎ ‎1.D [解析] 根据二项展开式的通项公式Tr+1=Cxr,取r=2得x2的系数为C==21.‎ ‎5.J3[2012·上海卷] 在6的二项展开式中,常数项等于________.‎ ‎5.-160 [解析] 考查二项式定理,主要是二项式的通项公式的运用.‎ 由通项公式得Tr+1=Cx6-rr=(-2)rCx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,所以是第4项为常数项,T4=(-2)‎3C=-160.‎ ‎12.J3[2012·陕西卷] (a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为________.‎ ‎12.1 [解析] 本小题主要考查了二项式定理,解题的关键是写出二项展开式的通项公式.其展开式的通项公式为:Tr+1=Ca5-rxr,令r=2,所以x2的系数为Ca3,即有Ca3=10,a=1,故填1.‎ ‎13.J3[2012·湖南卷] 6的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)‎ ‎13.-160 [解析] 由二项式的通项公式得Tr+1=C(2)6-rr=(-1)r26-rCx3-r,‎ 令3-r=0,∴r=3,所以常数项为T4=(-1)326-‎3C=-160.‎ ‎5.J3[2012·湖北卷] 设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.1‎ C.11 D.12‎ ‎5.D [解析] 512 012+a=a+(13×4-1)2 012=(1-13×14)2012=a+1-C13×4+C(13×4)2+…+C(13×4)2 012,‎ 显然当a+1=13k,k∈Z,即a=-1+13k,k∈Z时,512 012+a=13×4[-C+C(13×4)1+…+C(13×4)2 011],能被13整除.因为a∈Z,且0≤a<13, 所以a=12.故选D.‎ ‎10.J3[2012·广东卷] 6的展开式中x3的系数为________.(用数字作答)‎ ‎10.20 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题,解题关键是正确写出展开式的通项,Tr+1=Cx2(6-r)r=Cx2(6-r)x-r=Cx12-3r,令12-3r=3,解得r=3,所以x3的系数为:‎ C=20.‎ ‎11.J3[2012·福建卷] (a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=________.‎ ‎11.2 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题,解题关键是正确写出展开式的通项,该二项式的通项是Tr+1=Ca4-rxr, x3的系数为8,即令r=3,所以Ca1=8,所以‎4a=8,所以a=2.‎ ‎15.J3[2012·全国卷] 若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.‎ ‎15.56 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用,解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n,再结合通项公式即可.‎ 由题有C=C,∴n=8,Tr+1=Cx8-rr=C2r-8,令2r-8=2⇒r=5,∴的系数为C=56,故填56.‎ ‎7.J3[2012·安徽卷] (x2+2)5的展开式的常数项是(  )‎ A.-3 B.-2‎ C.2 D.3‎ ‎7.D [解析] 本题考查二项式定理的简单应用.‎ 因为5=x25+25,又25展开式中的常数项为‎2C05=-2,x25展开式中的常数项为x‎2C14=5,故二项式5展开式中的常数项为-2+5=3.‎ ‎5.J3[2012·天津卷] 在5的二项展开式中,x的系数为(  )‎ A.10 B.-‎10 C.40 D.-40‎ ‎5.D [解析] 本题考查二项式定理,考查运算求解能力,容易题.‎ Tk+1=C(2x2)5-kk=(-1)kC25-kx10-3k,令10-3k=1,即k=3,‎ 此时x的系数为(-1)‎3C22=-40.‎ ‎14.J3、B12[2012·浙江卷] 若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.‎ ‎14.10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理.‎ 法一:由于f(x)=x5=5那么a3=C(-1)2=10,故应填10.‎ 法二:对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5两边连续对x求导三次得:60x2=‎6a3+‎24a4(1+x)+‎60a5(1+x)2,再运用赋值法,令x=-1得:60=‎6a3,即a3=10.‎ 法三:由等式两边对应项系数相等.‎ 即⇒a3=10.‎ ‎[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比,再结合二项式定理加以分析与应用.注意等式的拆分与组合.‎ ‎4.J3[2012·重庆卷] 8的展开式中常数项为(  )‎ A. B. C. D.105‎ ‎4.B [解析] 展开式的第k+1项为Tk+1=C·()8-k·k=kCx4-k.令4-k=0,则k=4,所以展开式中常数项为‎4C=.‎ J4 单元综合
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