2013年高考数学（文科）真题分类汇编F单元 平面向量
F单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
10．F1[2013·江苏卷] 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
10. [解析] 如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋，
又＝λ1＋λ2，且与不共线，
所以λ1＝－，λ2＝，
即λ1＋λ2＝.
17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
又0
b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有
(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
12．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
图1－6
12．2 [解析] 根据向量运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.
14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
14．4 [解析] 因为＝－＝(1，k－1)，且⊥，所以·＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
14．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．
14．3 [解析] 设P(x，y)，∴＝(x－1，y＋1)，＝(2，1)，＝(1，2)．∵＝λ＋μ，
∴解得
又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，
由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝＝，点B(5，1)到直线x－2y＝0的距离d＝，∴其面积S＝×＝3.
8．F2[2013·湖南卷] 已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
8．C [解析] 由题可知a·b＝0，则a⊥b，又|a|＝|b|＝1，且|c－a－b|＝1，不妨令c＝(x，y)，a＝(1，0)，b＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1.又|c|＝，故根据几何关系可知|c|max＝＋1＝1＋，选C.
12．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
12. [解析] 由题意得＝－＝＋－＝－，＝＋，
所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1－2＋||×1×＝1，解之得||＝或0(舍去)．
14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则·＝________．
14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则
＝(1，2)，＝(－2，2)，所以·＝2.
图1－6
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷]
如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以
S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝
＝.
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
F3 平面向量的数量积及应用
12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.
14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则·＝________．
14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则
＝(1，2)，＝(－2，2)，所以·＝2.
图1－6
2．F3[2013·陕西卷] 已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
2．C [解析] 因为a∥b，且a＝(1，m)，b＝(m，2)，可得＝，解得m＝或－.
15．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
15．5 [解析] 由题意得＝－＝(3，2－t)，又∵∠ABO＝90°，∴·＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t＝5.
9．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)b－a3－＝0
D．|b－a3|＋b－a3－＝0
9．C [解析] 由题意知当三角形ABC为直角三角形时，分为两类，∠OAB，∠OBA分别为直角，当∠OAB为直角时b＝a3，当∠OBA为直角时，·＝0，则(a，a3)·(a，a3－b)＝0，所以b－a3－＝0，所以(b－a3)b－a3－＝0，故选C.
7．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
7．A [解析] ＝(2，1)，＝(5，5)，||·cos 〈，〉＝＝.
3．F3[2013·全国卷] 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
3．B [解析] (m＋n)⊥(m－n)(m＋n)·(m－n)＝0m2＝n2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
13．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
13．－ [解析] 设|b|＝1，则|a|＝3，|a＋2b|＝3，两端平方得a2＋4a·b＋4b2＝9，即9＋12cos〈a，b〉＋4＝9，解得cos〈a，b〉＝－.
16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
16．解： f(x)＝·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin .
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝π，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.
13．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
13．2 [解析] b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，即t＝2.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以
S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝
＝.
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
14．4 [解析] 因为＝－＝(1，k－1)，且⊥，所以·＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
F4 单元综合
10．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
10．C [解析] ∵·＝1×(－4)＋2×2＝0，∴⊥，面积S＝||·||＝××＝5，故选C.
10．F4[2013·广东卷] 设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
10．B [解析] ①作＝a，＝b，如图(1)，连接AB，只要c＝即可，故①对；
②是对的，因为b和c不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；
③是错的，如图(2)，作＝a，＝b，＝μc，则||＝μ，即点C的轨迹是圆(去掉和a共线的两个点)，过点A作OB的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a沿，方向分解；
④不一定对，如图(3)，作＝a，＝λb，＝μc，则点B，C的轨迹是圆(去掉和a共线的两个点)，但不一定有a＝λb＋μc.综上，选B.
17．F4[2013·浙江卷] 设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
17．2 [解析] ＝＝＝＝＝≤＝2.
