2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（A卷01）

2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（A卷01）

1 2017-2018 学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（A 卷 01） 学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分： 第 I 卷 评卷人 得分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数 的模 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的定义，属于基础题． 2．函数 y＝( ＋1)( －1)的导数等于(　　) A． 1 B． － C． D． － 【答案】A 【解析】因为 y＝( ＋1)( －1)＝x－1，所以 y′＝x′－1′＝1．故选：A 3．若 ，则 （ ） A． 1 B． 2 C． 4 D． 6 【答案】C 【解析】分析：由导函数定义， ，即可求 出结果． 详解：∵f′（x0）=2， x x 1 2 x 1 2x 1 4x x x ( )0' 2f x = ( ) ( )0 0 0 lim h f x h f x h h→ + − − = ( ) ( ) ( )0 0 00 lim 2 ' h f x h f x h f xh→ + − − = 2 则 = 　　 = =2f′（x0）=4． 故选：C ． 点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题． 4．若复数 满足 （ 为虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A 【解析】分析：先根据共轭复数定义得复数，再根据复数几何意义得对应点，最后根据点所在象限得结果． 详解：因为 ，所以 ，对应点为（1，2），对应第一象限，选 A． 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实 部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 5．下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) (1)抛 5 颗骰子得到的点数和; (2)某人一天内接收到的电话次数; (3)某地一年内下雨的天数; (4)某机器生产零件的误差数． A． (1)(2)(3) B． (4) C． (1)(4) D． (2)(3) 【答案】A 【解析】由离散型随机变量的定义知(1)(2)(3)均是离散型随机变量,而(4)不是,由于这个误差数几乎都是在 0 附 近的实数,无法一一列出． 6．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为 和 ，两户是否获得 扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） ( ) ( )0 0 0h f x h f x hlim h→ + − − ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0h f x h f x f x f x hlim h→ + − + − − ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0h h f x h f x f x h f xlim limh h→ − → + − − −+ − 2 5 3 5 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两户中至少有一户获得扶持资金的概率 故答案为：C． 7．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数 中恰有一个偶数”时正 确的反设为 ( ) A． 自然数 都是奇数 B． 自然数 都是偶数 C． 自然数 至少有两个偶数或都是奇数 D． 自然数 至少有两个偶数 【答案】C 【解析】命题的否定是命题本题反面的所有情况，所以“自然数 中恰有一个偶数”的否定是“自然数 至少有两个偶数或都是奇数”，选 C． 8．设 ，则函数 单调递增区间为（ ） A． B． 和 C． D． 【答案】C 点睛：本题考查了利用导数求解函数的单调区间，解答的易错点是忘记函数的定义域导致错解，着重考查学生的 推理与运算能力． 9．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话： 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．” 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．” 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．” 结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ） 2 15 2 5 19 25 8 15 2 2 3 3 2 3 19 .5 5 5 5 5 5 25P = × + × + × = 4 A． 甲、乙 B． 乙、丙 C． 丙、丁 D． 甲、丁 【答案】C 【解析】假设甲中奖，则根据题意，乙 丙丁都中奖，此时四人都中奖，故甲不可能中奖； 假设乙中奖，则根据题意丙丁都中奖，甲不一定中奖，此时至少三人中奖，故乙不可能中奖； 假设丙中奖，则根据题意丁中奖，甲乙不可能中奖，此时至少有两人中奖，故只有可能是丙，丁均中奖 故选 10．已知定义在 上的函数 是其导数，且满足 ，则不等式 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 点 睛 ： 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 解 不 等 式 ， 需 要 构 造 函 数 ， 一 般 ： （ 1 ） 条 件 含 有 ，就构造 ,（2）若 ，就构造 ，（3） ， 就构造 ，（4） 就构造 等便于给出导数时联想构造函数． 11．（2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷信息卷））已知 ， 是以 为周期 的奇函数，且定义域为 ，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【 解 析 】 ． 可 知 的 周 期 为 ， ， ， C R ( ) ( ), 'f x f x ( ) ( ) ( )' 2, 1 2 4f x f x ef e+ > = + ( ) 4 2x xe f x e> + ( )1,+∞ ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ),1−∞ ( ) ( )f x f x+ ′ ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )f x f x− ′ ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( )2 f x f x+ ′ ( ) ( )2xg x e f x= ( ) ( )2 f x f x− ′ ( ) ( ) 2x f xg x e = 5 ， ， ．故选 ． 12．已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数 有三个不同的零点等价于方程 有三个不同的实根，当 时， 设 ，则 为减 函数， 当 时， 设 ，则 当 时 当 时， 故 在 上单调递增，在 上单调递减； 分别画出 与 的图像如图所示，由题意得 ，故选 A 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～ （23）题为选考题，考生根据要求作答． 评卷人 得分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若 满足 ，则 __________． 【答案】-2 【解析】∵f（x）=ax4+bx2+c， ( ) 1, 0{ 1, 0 x x e x m xf x e x m x − − − + >= − − + ≤ m 21, 12 e e  +    11, 1e  +   2 ,12 e e       20, 2 e e       ( ) 1, 0{ 1, 0 x x e x m xf x e x m x − − − + >= − − + ≤ ( ) 0f x = 0x ≤ ( ) 1,xf x e x m−= − − + ( ) , 0.xg x e x x−= − ≤ ( )g x ( ) ( )min 0 0.g x g= = 0x > ( ) 1,xf x e x m−= − + ( ) , 0.xh x e x x−= > ( ) 1 2 , 2 x x xh x e x xe −=′ − 1 2x > ( ) 0,h x′ < 10 2x< < ( ) 0,h x′ > ( )h x 10, 2      1 ,2  +∞   ( )max 1 2 2 2 eh x h e  ∴ = =   ( ) , 0.xg x e x x−= − ≤ ( ) , 0.xh x e x x−= > 2 20 1 , 1 12 2 e em me e < − < ∴ < < + ( ) 4 2f x ax bx c= + + ( )' 1 2f = ( )' 1f − = 6 ∴f′（x）=4ax3+2bx， ∴f′（1）=4a+2b=2， ∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2， 故答案为：-2． 14．己知某随机变量 的分布列如下（ ）： 且 的数学期望 ，那么 的方差 __________． 【答案】 【解析】根据题意可得 ，解得 ， ， 故 的方差 ． 15．函数 的递增区间为__________． 【答案】 【解析】∵ ， ∴ ， 由 ，解得 ． ∴函数的单调递增区间为 ． 答案： （ 也对） 16．若函数 的导函数是奇函数,并且曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标是___． 【答案】ln2 ( ) 3 22 3 3 2f x x x x= − + − 1 ,12      ( ) 3 22 3 3 2f x x x x= − + − ( ) ( )( )22 3 1 2 1 1f x x x x x= − + − = − − −′ ( ) 0f x′ > 1 12 x< < 1 ,12      1 ,12      1 ,12      7 评卷人 得分 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个实体考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均 每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了 30 名男生、20 名女生进行为期一周的跟踪调查， 调查结果如下表所示： 平均每天使用手机超过 3 小时 平均每天使用手机不超过 3 小时 合计 男生 25 5 30 女生 9 11 20 合计 34 16 50 (1)能否在犯错误的概率不超过 0．01 的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？ (2)在这 20 名女生中，调查小组发现共有 15 人使用国产手机，在这 15 人中，平均每天使用手机不超过 3 小时的 共有 9 人．从平均每天使用手机超过 3 小时的女生中任意选取 3 人，求这 3 人中使用非国产手机的人数 X 的分布 列和数学期望． 参考公式： P(K2≥k0) 0．500 0．400 0．250 0．150 0．100 0．050 0．025 0．010 ( ) ( )( )( )( ) ( ) 2 2 n ad bcK n a b c da c b d a b c d −= = + + ++ + + + 8 k0 0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1)由所给公式计算 的值，再利用临界值表进行判定；(2)写出随机变量的所有可能取值， 利用超几何分布求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解． 试题解析：(1)K2＝ ≈8．104>6．635． 所以能在犯错误的概率不超过 0．01 的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关． (2)X 可取 0，1，2，3． P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1． 18．共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了 10 名 男士和 10 名女士，结果男士、女士中分别有 7 人、6 人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选 择骑共享单车出行”． （1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为 ，求 的分布 列与数学期望． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件 ， 利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率； （2） 的取值为 0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望． 试题解析： （1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件 ，则 ( ) 1E X = 2K X X 22 25 A X A 9 ． （2）显然 的取值为 0,1,2,3, , , , , 故随机变量 的分布列为 的数学期望 ． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分 布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求 期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够 断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公 式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19．已知函数 ． （1）若 图象上 处的切线的斜率为 ，求 的极大值； （2） 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值． 【答案】（1）见解析．（2） ． 【解 析】试题分析： （1）由题意可得函数的解析式 ，则 ，故 时， 取极大值 ． （2）由题意可得 在 上恒成立，则 ，结合线性规划的结 论可得 的最小值为 ． ( ) 7 4 3 6 7 6 22 10 10 10 10 10 10 25P A = × + × + × = X ( ) 1 2 3 4 1 2 10 10 10 25 C CP X C C = = × = ( ) 1 1 1 22 7 3 6 44 1 2 1 2 10 10 10 10 191 75 C C C CCP X C C C C = = × + × = ( ) 1 1 1 1 2 7 6 4 3 6 1 2 1 2 10 10 10 10 712 150 C C C C CP X C C C C = = × + × = ( ) 1 2 7 6 1 2 10 10 73 30 C CP X C C = = × = X X ( ) 1 19 71 7 190 1 2 325 75 150 30 10E X = × + × + × + × = 10 列表可得 + - + 极大值 极小值 ∴当 时， 取极大值 ． （2）∵ 在 上是减函数， ∴ 在 上恒成立， ∴ ，即 ， 作出不等式组表示的平面区域如图 11 当直线 经过点 时， 取最小值 ． 20．已知函数 与 的图象都过点 ，且在点 处有公共切线； （1）求 ， 的表达式； （2）设 ，求 在 上的最值． 【答案】（1） ， ；（2） 试题解析：（1）∵ 的图象过点 ；所以 ； 即 ； 由 可得 ； 所以 ； 又因为 过点 ，所以 ，则 ； 综上， ， ； （2） ，所以 ； ，或 ； ( ) 32f x x ax= − ( ) 2g x bx c= + ( )2,0P P ( )f x ( )g x ( ) ( ) ( ) 2 f x g xF x += ( )F x [ ]3,1− ( ) 32 8f x x x= − ( ) 24 16g x x= − 256 27 − ( ) 32f x x ax= − ( )2,0P 16 2 0 8a a− = ⇒ = ( ) 32 8f x x x= − ( ) 26 8f x x=′ − ( )2 24 8 16f =′ − = ( ) ( )2 2 4 16 4g x bx g b b= ⇒ = = ⇒′ =′ ( )g x P ( )2 16 0 16g c c= + = ⇒ = − ( ) 24 16g x x= − ( ) 32 8f x x x= − ( ) 24 16g x x= − ( ) 3 22 4 8F x x x x= + − − ( ) ( )( )23 4 4 3 2 2F x x x x x= + − = − +′ ( ) 0 2F x x= ⇒ = −′ [ ]2 3,13x = ∈ − x 3− ( )3, 2− − 2− 22, 3  −   2 3 2 ,13      1 ( )F x′ + 0 − 0 + 12 极大值 极 小 值 所以， ； ． 21．已知函数 （1）求证: （2）求证: ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数单调性，得到函数最小值，使得最小值大于 0 即可；（2）根据上 式可得到 ，可得 ，将式子累加可得到结果． 解析： （1）由题意知: 的定义域为 ． 因为 所以 和 的变化情况如下表所示: 极小值 由表可知: ． 所以 ( )F x 5− ↑ 0 ↓ 256 27 − ↑ 9− ( ) ( )max 2 0F x F= − = ( )min 2 256 3 27F x F  = = −   13 点睛：导数中函数恒成立的证明，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核 心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式 去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有 等；（3）如果导数也比较复杂， 可以进一步求导，讨论导函数的导数． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修 4 4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系的 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以射线 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）将曲线 的参数方程化为普通方程，将直线 的极坐标方程化为 直角坐标方程； （2）求直线 与曲线 相交所得的弦 的长． 【答案】(1) ． (2) ． 【解析】分析：（1）曲线 的参数方程化为直角坐标方程，利用 ，可得 的直角坐标方程为 ；（2）直线 的倾斜角为 ，过点 ，可得直线 的参数方程为 （ 为参数）代入 - 14 得 ，利用韦达定理结合直线参数方程的几何意义可得结果． 详解：（1）曲线 的参数方程化为直角坐标方程为 ， 因为 ，所以 的直角坐标方程为 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程， 通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 ， 等可以把极坐标方程与 直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．【选修 4 5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ． （Ⅰ）求不等式 的解集 ； （Ⅱ）若 证明： 【答案】（ 1） （2）见解析 - 15 （Ⅱ）法一：要证 ，只需证 ， 即证 （*）． 因为 ，又由（Ⅰ） ，则 ，即 ， 所以（*）式显然成立，故原命题得证． 法二：因为 ，故要证 ， 只需证 ，即证 ． 由（Ⅰ） 上式显然成立，故原命题得证． 点睛： （1）解绝对值不等式，关键是如何去掉绝对值符号（可讨论绝对值符号内代数式的正负）． （2）利用 和 可对含绝对值的不等式进行放缩，进而改良 某些代数式的结构，便于不等式的证明．