天津市东丽区第一百中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

天津市东丽区第一百中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年天津100中高二(上)期中数学试卷 一､选择题(每题4分,8小题,共32分)‎ ‎1.设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.已知向量=（‎2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且//，则实数m的值等于（ ）‎ A. B. C. 0 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间向量共线的充要条件求解，即存在，使（‎2m+1，3，m-1）=λ （2，m，-m）．列方程组解得．‎ ‎【详解】∵空间平面向量=（‎2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且∥，‎ ‎∴（‎2m+1，3，m-1）=λ （2，m，-m）=（2λ，λm，-λm），‎ ‎∴，解得m =-2.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量共线的充要条件．空间（），存在实数，使得．‎ ‎3.等比数列的前项和为，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，时,,因为数列是等比数列,,即,故选A.‎ 点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有：(1)定义法：若(q为非零常数)或(q为非零常数且n≥2且n∈ )，则是等比数列．(2)中项公式法：在数列中，且 (n∈)，则数列是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(c，q均是不为0的常数，n∈)，则是等比数列．‎ ‎4.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.‎ ‎5.空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：取中点，连接,,,而,故选B.‎ 考点：空间向量 ‎6.已知数列中，为其前项和，的值为（ ）‎ A. 63 B. ‎61 ‎C. 62 D. 57‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：由数列的递推关系可得： ，‎ 据此可得：数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则：‎ ‎ ，‎ 分组求和有： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎7.在数列中，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，n分别用取1，2，3（n-1）代，累加得，选C.‎ ‎8.设，则的最小值是 ( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式化为，再利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，等号成立，‎ 的最小值是4，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二､填空题(每题4分,6小题,共24分)‎ ‎9.已知=（2，3，1），=（-4，2，x）且⊥，则||=______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，再由模的坐标运算求模．‎ ‎【详解】∵=（2，3，1），=（-4，2，x）且⊥，‎ ‎∴=-8+6+x=0，‎ 解得x=2，‎ ‎∴=（-4，2，2），‎ ‎∴||===2.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直与数量积之间的关系，考查模的坐标运算．是数量积中的一个重要性质．‎ ‎10.A不等式的解集是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，∴，∴，∴且，∴不等式的解集是 考点：本题考查了分式不等式的解法 点评：熟练掌握分式不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题 ‎11.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 由题意可得，所以两式相除得代入得，填32．‎ ‎12.在等差数列{an}中，S12＝354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎∴S奇＝162，S偶＝192，∴6d＝30，d＝5‎ ‎13.已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】{m|m≥1或m≤－7}‎ ‎【解析】‎ 由命题p中的不等式(x－m)2>3(x－m)变形，得(x－m)(x－m－3)>0，解得x>m＋3或x0时，不等式的解集为（-，）；a<0时，不等式的解集为（，-）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式求出集合，，再由集合运算法则计算．‎ ‎（2）分类讨论，，时，方程两根为和，按它们的大小分类得解集．‎ ‎【详解】（1）a=1时，A={x|x2-5x-6<0}={x|-10，则-<，不等式的解集为（-，）；‎ 若a<0，则->，不等式的解集为（，-）；‎ 综上知，a=0时，不等式的解集为R；‎ a>0时，不等式的解集为（-，）；‎ a<0时，不等式的解集为（，-）.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查解一元二次不等式．解含参数的一元二次不等式一般要分类讨论．注意分类讨论标准的确定．首先最高次项系数是否为0，是正是负，其次相应二次方程是否有实数解，是否有两个不等的实数解，第三如有两个不等实根，还要讨论这两根的大小．‎ ‎16.在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，底面ABCD正方形，AA1=2，AB=1，E为AD中点，F为CC1中点.‎ ‎（1）求证：AD⊥D‎1F；‎ ‎（2）求证：CE//平面AD‎1F；‎ ‎（3）求AA1与平面AD‎1F成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 长方体中有垂直关系，因此以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，‎ ‎（1）求出两条直线的方向向量，由向量垂直得直线垂直；‎ ‎（2）求直线方向向量，平面的法向量，由方向向量与法向量垂直，证得线面平行；‎ ‎（3）求直线方向向量，平面的法向量，由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，再计算余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），‎ ‎=（-1，0，0），=（0，1，-1），‎ ‎=0，‎ ‎∴AD⊥D‎1F.‎ ‎（2）证明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），‎ D1（0，0，2），F（0，1，1），‎ ‎=（，-1，0）， =（-1，0，2）， =（-1，1，1），‎ 设平面AD‎1F的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=1，得=（2，1，1），‎ ‎∵==0，CE⊄平面AD‎1F，‎ ‎∴CE//平面AD‎1F.‎ ‎（3）解：=（0，0，2），平面AD‎1F的法向量=（2，1，1），‎ 设AA1与平面AD‎1F成角为θ，‎ 则sinθ===，‎ cosθ==.‎ ‎∴AA1与平面AD‎1F成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考明线线垂直，证明线面平行，求线面角，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．掌握平面的法向量和直线的方向向量是解题基础．‎ ‎17.已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设是数列的前项和,求使成立的最大的正整数.‎ ‎【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设数列的公差为，由 ，，成等比数列，得，解得. 从而求得.‎ ‎（2）由（1）， 得 ，解得. 故最大的正整数.‎ 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，则，.‎ 由 ，，成等比数列，得， ‎ 即，得（舍去）或. ‎ ‎ 所以数列的通项公式为，.‎ ‎（Ⅱ）因为， ‎ 所以 ‎ 由，即，得. ‎ 所以使成立的最大的正整数.‎ ‎18.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．‎ ‎(1)求证：平面ABE；‎ ‎(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）（III）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，则，而平面法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设 ，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎ ‎19.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=‎2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）证明数列{}为等差数列；‎ ‎（3）设数列{cn}的通项公式为：Cn=，其前n项和为Tn，求T2n.‎ ‎【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列的基本量法求解；‎ ‎（2）求得，再证常数即可；‎ ‎（3）先并项，设，然后有，用错位相减法计算．‎ ‎【详解】（1）由于等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=‎2a2-2，S3=a4-2，‎ 所以S3-S2=a4‎-2a2=a3，‎ 整理得，‎ 由于a2≠0，‎ 所以q2-q-2=0，由于q>0，‎ 解得q=2.‎ 由于a1+a2=‎2a2-2，解得a1=2，‎ 所以.‎ ‎（2）数列{an}满足a2=4b1，解得b1=1，‎ 由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n，‎ 所以（常数）.‎ 所以数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.‎ ‎（3）由于数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.‎ 所以，解得 由于数列{cn}的通项公式为：Cn=，‎ 所以令==（4n-1）4n-1.‎ 所以①，‎ ‎4②，‎ ‎①-②得：-（4n-1）4n，‎ 整理得，‎ 故：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查用定义法证明等差数列，考查并项求和与错位相减法求和．数列中数列求和是一个难点，如果数列的项中出现正负相间，可能考虑并项求和法或分组求和法．在数列的项是一个等差数列与一个等比数列的项相乘所得时，用错位相减法求和，如果项是等差数列相邻两项积的倒数，则用裂项相消法求和．‎