高中数学必修1教案:第四章(第28课时)函数y=Asin(ωx+φ)的图象(3)

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高中数学必修1教案:第四章(第28课时)函数y=Asin(ωx+φ)的图象(3)

课 题:49函数y=Asin(ωx+φ) 的图象(3)‎ 教学目的:‎ ‎1会用“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象;‎ ‎2会用图象变换的方法画y=Asin(ωx+)的图象;‎ ‎3会求一些函数的振幅、周期、最值等 教学重点:‎ ‎1“五点法”画y=Asin(ωx+)的图象;‎ ‎2图象变换过程的理解;‎ ‎3一些相关概念 教学难点:多种变换的顺序 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1.振幅变换:y=Asinx,xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变).若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期 ‎3 相位变换: 函数y=sin(x+),x∈R(其中≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当>0时)或向右(当<0时=平行移动||个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”)‎ 二、讲解新课: ‎ ‎ 例1 画出函数y=3sin(2x+),x∈R的简图 解:(五点法)由T=,得T=π 列表:‎ x ‎–‎ ‎2x+‎ ‎0‎ π ‎2π ‎3sin(2x+‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎–3‎ ‎0‎ 描点画图:‎ 左移个单位 这种曲线也可由图象变换得到:‎ 纵坐标不变 横坐标变为倍 即:y=sinx y=sin(x+)‎ 纵坐标变为3倍 横坐标不变 y=sin(2x+) y=3sin(2x+)‎ 一般地,函数y=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:‎ 先把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时=平行移动||个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)‎ 另外,注意一些物理量的概念:‎ A :称为振幅;T=:称为周期;f=:称为频率;‎ ωx+:称为相位x=0时的相位 称为初相 评述:由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)‎ 先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象 例2已知如图是函数y=2sin(ωx+)其中||<的图象,那么 Aω=,= Bω=,=-‎ Cω=2,= Dω=2,=-‎ 解析:由图可知,点(0,1)和点(,0)都是图象上的点将点(0,1)的坐标代入待定的函数式中,得2sin=1,即sin=,又||<,∴=‎ 又由“五点法”作图可知,点(,0)是“第五点”,所以ωx+=2π,即ω·π+=2π,解之得ω=2,故选C 解此题时,若能充分利用图象与函数式之间的联系,则也可用排除法来巧妙求解,即:‎ 解:观察各选择答案可知,应有ω>0‎ 观察图象可看出,应有T=<2π,∴ω>1 ,故可排除A与B 由图象还可看出,函数y=2sin(ωx+)的图象是由函数y=2sinωx的图象向左移而得到的 ∴>0,又可排除D,故选C 例3已知函数y=Asin(ωx+),在同一周期内,当x=时函数取得最大值2,当x=时函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( )‎ Ay=2sin(3x-) By=2sin(3x+)‎ Cy=2sin(+) Dy=2sin(-)‎ 解析:由题设可知,所求函数的图象如图所示,点(,2)和点(,-2)都是图象上的点,且由“五点法”作图可知,这两点分别是“第二点”和“第四点”,所以应有:‎ 解得 答案:B 由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:‎ 一般来说,在这类由图象求函数式的问题中,如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负,角的范围等),那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致),因此这类问题多以选择题的形式出现,我们解这类题的方法往往因题而异,但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中 三、课堂练习:‎ ‎1已知函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<2π)图象的一个最高点(2,),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6,0),试求函数的解析式 解:由已知可得函数的周期T=4×(6-2)=16‎ ‎∴ω==‎ 又A= ∴y=sin(x+)‎ 把(2,)代入上式得:=sin(×2+)·‎ ‎∴sin(+)=1,而0<<2π ∴=‎ ‎∴所求解析式为:y=sin(x+)‎ ‎2已知函数y=Asin(ωx+)(其中A>0,||<)在同一周期内,当x=时,y有最小值-2,当x=时,y有最大值2,求函数的解析式 分析:由y=Asin(ωx+φ)的图象易知A的值,在同一周期内,最高点与最低点横坐标之间的距离即,由此可求ω的值,再将最高(或低)点坐标代入可求 解:由题意A=2,=- ∴T=π=,∴ω=2‎ ‎∴y=2sin(2x+)又x=时y=2 ‎ ‎∴2=2sin(2×+)‎ ‎∴+= < ‎ ‎ ∴=‎ ‎∴函数解析式为:y=2sin(2x+)‎ ‎3若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数y=sinx的图象,则有y=f(x)是( )‎ Ay=sin(2x+)+1 By=sin(2x-)+1‎ Cy=sin(2x-)+1 Dy=sin(x+)+1‎ 解析:由题意可知 y=f[ (x+)]-1=sinx ‎ 即y=f[ (x+)]=sinx+1‎ 令 (x+)=t,则x=2t- ‎ ‎∴f(t)=sin(2t-)+1‎ ‎∴f(x)=sin(2x-)+1 答案:B ‎4函数y=3sin(2x+)的图象,可由y=sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( ) 答案:B A向右平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标扩大到原来的3倍 B向左平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标扩大到原来的3倍 C向右平移个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的倍 D向左平移个单位,横坐标缩小到原来的倍,纵坐标缩小到原来的倍 四、小结 平移法过程:‎ 作y=sinx(长度为2p的某闭区间)‎ 得y=sin(x+φ)‎ 得y=sinωx 得y=sin(ωx+φ)‎ 得y=sin(ωx+φ)‎ 得y=Asin(ωx+φ)的图象,先在一个周期闭区间上再扩充到R上 沿x轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短 沿x轴平 移||个单位 纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短 两种方法殊途同归 ‎(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 ‎ ‎(2)y=sinx周期变换 y=sinωx相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 ‎ 图a 五、课后作业:‎ ‎1如图a是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可以写成( )‎ Asin(1+x)‎ Bsin(-1-x)‎ 图b Csin(x-1)‎ Dsin(1-x)‎ ‎2如图b是函数y=Asin(ωx+φ)+2的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( )‎ AA=3,T=,φ=-‎ 图c BA=1,T=,φ=-‎ CA=1,T=,φ=-‎ 图d DA=1,T=,φ=-‎ ‎3如图c是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,它的解析式为( )‎ A B 图e C D ‎4函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,有ymax=2,当x=0时,有ymin=-2,则函数表达式是 ‎ 图f ‎ 5如图d是f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,|φ|<的一段图象,则函数f(x)的表达式为 ‎ ‎6如图e,是f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,|φ|<的一段图象,则f(x)的表达式为 ‎ ‎7如图f所示的曲线是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,求这个函数的解析式 图g ‎8函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,y有最大值为,当x=时,y有最小值-,求此函数的解析式 ‎9已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)为偶函数,求θ的值 图h ‎10.由图g所示函数图象,求y=Asin(ωx+φ)‎ ‎(|φ|<π)的表达式 选题意图:考查数形结合的思想方法 ‎11.函数y=Asin(ωx+φ)(|φ|<π)的图象如图h,求函数的表达式 选题意图:考查数形结合的思想方法 参考答案:‎ ‎1D 2B 3D 4y=2sin(3x-)‎ ‎52sin(3x+) 6‎ ‎7y=2sin(2x+) 8y=‎ ‎9θ=kπ-,k∈Z ‎10 解:由图象可知A=2 ‎ 又(-,0)为五点作图的第一个点 因此2×(-)+φ=0,∴φ=‎ 因此所求函数表达式为y=2sin(2x+)‎ 说明:在求y=Asin(ωx+φ)的过程中,A由函数的最值确定,ω由函数的周期确定,φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定 ‎ 11 解:由函数图象可知A=1‎ 函数的周期为T=2[3-(-1)]=8,即=8 ∴ω=‎ 又(-1,1)为“五点法”作图的第二个点 即(-1)+φ=,∴φ=‎ ‎∴所求函数表达式为y=sin(x+)‎ 说明:如果利用点(-1,1),(1,0),(3,-1)在函数y=Asin(ωx+φ)的图象上,得到 ‎,则很难确定函数关系式中的A、ω、φ 六、板书设计(略)‎ 七、课后记:‎
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