2014年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

2014年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

‎ 数 学 ‎ ‎ J单元　计数原理 ‎ J1　基本计数原理 ‎10．J1、J3[2014·福建卷] 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“‎1”‎表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 ‎ B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) ‎ D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎10．A　 [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.‎ J2　排列、组合 ‎13．J2[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ ‎13．36　[解析] AAA＝6×2×3＝36.‎ ‎8．N4、J2[2014·广东卷] 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎的元素个数为(　　)‎ A．60 B．‎90 C．120 D．130‎ ‎8．D　[解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．‎ 故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，‎ 即满足题意的元素个数为130.‎ ‎11．J2、K2[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．‎ ‎11.　[解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有CC种方法．‎ 故这七个数的中位数是6的概率P＝＝.‎ ‎6．J2[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．‎120 C．72 D．24‎ ‎6．D　[解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC＝24.‎ ‎5．J2[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种 B．70种 ‎ C．75种 D．150种 ‎5．C　[解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．‎ ‎6．J2[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎6．B　[解析] 当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.‎ ‎14．J2[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ ‎14．60　[解析] 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有CA＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A＝24种．故共有60种获奖情况．‎ ‎9．J2[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．‎120 C．144 D．168‎ ‎9．B　[解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有‎2A种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有CAA种．所以由计数原理可得节目的排法共有A(‎2A＋CAA)＝120(种)．‎ J3　二项式定理 ‎13．J3[2014·安徽卷] 设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图13所示，则a＝________.‎ 图13‎ ‎13．3　[解析] 由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故 解得 ‎10．J1、J3[2014·福建卷] 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“‎1”‎表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 ‎ B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) ‎ D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎10．A　 [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.‎ ‎2．J3[2014·湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. ‎2．C　[解析] 展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C‎22a5x－3，故含的项的系数是C‎22a5＝84，解得a＝1.故选C.‎ ‎4．J3[2014·湖南卷] 的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A．－20 B．－5‎ C．5 D．20‎ ‎4．A　[解析] 由题意可得通项公式Tr＋1＝C(－2y)r＝C(－2)rx5－ryr，令r＝3，则C(－2)r＝C××(－2)3＝－20.‎ ‎13．J3[2014·全国卷] 的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)‎ ‎13．70　[解析] 易知二项展开式的通项Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－y－4.要求x2y ‎2的系数，需满足8－＝2且－4＝2，解得r＝4，所以T5＝(－1)‎4Cx2y2＝70x2y2，所以x2y2的系数为70.‎ ‎13．J3[2014·新课标全国卷Ⅰ] (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎13．－20　[解析] (x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.‎ ‎13．J3 [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)‎ ‎13.　[解析] 展开式中x7的系数为Ca3＝15，‎ 即a3＝，解得a＝.‎ ‎14．J3，E6[2014·山东卷] 若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎14．2　[解析] Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎2．J3[2014·四川卷] 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30 B．‎20 C．15 D．10‎ ‎2．C　[解析] x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.‎ ‎5．J3[2014·浙江卷] 在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．‎60 C．120 D．210‎ ‎5．C　[解析] 含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.‎ ‎ J4 单元综合 ‎8．J4[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 ‎8．C　[解析] 方法一(直接法)：在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A‎1C1对应的对角线也有8对，同理下底面也有16对，共有32对．左右侧面与前后侧面中共有16对面对角线所成的角为60°，故所有符合条件的共有48对．‎ 方法二(间接法)：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或所成的角为60°，所以所成角为60°的面对角线共有C－6－12＝48.‎ ‎12．[2014·北京朝阳区一模] 有3张标号分别为1，2，3的红色卡片，3张标号分别为1，2，3的蓝色卡片，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内(如图X361所示)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________．(用数字作答)‎ 图X361‎ ‎12．72　[解析] 由题意可知，不同的放法共有AAA＝6×6×2＝72(种)．‎ ‎3．[2014·合肥质检] 若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为(　　)‎ A．15 B．－‎15 ‎‎ C．10 D．－10‎ ‎3．B　[解析] 由4n＝1024，得n＝5，∴Tr＋1＝C()5－r－r＝(－3)rCx.令＝1，解得r＝1，∴T2＝C(－3)1x＝－15x，故其系数为－15.‎ ‎6．[2014·江西师大附中、临川一中联考] 若直线x＋ay－1＝0与4x－2y＋3＝0垂直，则二项式的展开式中x的系数为(　　)‎ A．－40 B．－‎10 C．10 D．40‎ ‎6．A　[解析] 由题意可知，4×1＋(－2)a＝0，∴a＝2，∴二项式为2x2－5，Tr＋1＝C(2x2)5－r－r.令10－2r－r＝1，得r＝3，∴T4＝C22(－1)3x＝－40x，故展开式中x的系数为－40.‎ ‎8．[2014·四川渠县二中月考] 甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(　　)‎ A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 ‎8．D　[解析] 当从甲组中选出1名女生时，共有C·C·C＝225(种)不同的选法；当从乙组中选出1名女生时，共有C·C·C＝120(种)不同的选法．故共有345种选法．‎ ‎10．[2014·河南十校联考] 若(2x－1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)，则＋＋＋…＋＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎10．D　[解析] 令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，则a0＝－1.又a1x＝C(2x)1(－1)2012＝4026x，所以a1＝4026，所以＋＋＋…＋＝＋＝.‎