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文档介绍
2019年高考数学练习题汇总(五)空间向量与立体几何
(五)空间向量与立体几何 1.(2018·盐城模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,点M,N分别在PD,PC上,=,PM=MD. (1)求证:PC⊥平面AMN; (2)求二面角B-AN-M的余弦值. (1)证明 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 又∵PA=AD=2, ∴P(0,0,2),D(0,2,0), B(2,0,0), ∴M(0,1,1),C(2,2,0). ∴=(2,2,-2),=(0,1,1). ∵·=0+2-2=0, ∴PC⊥AM. 设N(x,y,z),∵=, 求得N. ∵·=+-=0,∴AN⊥PC. 又AM∩AN=A,AM,AN⊂平面AMN, ∴PC⊥平面AMN. (2)解 设平面BAN的法向量为n=(x,y,z), ∵即 令z=-1,∴n=(0,2,-1). ∵=(2,2,-2)是平面AMN的法向量, ∴cos〈n,〉==. 由图知二面角B-AN-M为钝二面角, ∴二面角B-AN-M的余弦值为-. 2.如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点. (1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值; (2)求二面角A-BE-C的正弦值. 解 (1)以O为原点,分别以OB,OC,OA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0). =(2,-1,0),=(0,2,-1), ∴cos〈,〉=-, 又异面直线所成的角为锐角或直角, ∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为. (2)=(2,0,-1),=(0,1,-1), 设平面ABE的法向量为n1=(x,y,z), 则由n1⊥,n1⊥, 得取n1=(1,2,2), 平面BEC的法向量为n2=(0,0,1), ∴cos〈n1,n2〉=, ∴二面角A-BE-C的余弦值的绝对值为, ∴sin θ=, 即二面角A-BE-C的正弦值为. 3.三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中点. (1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值; (2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值. 解 (1)由题意知,B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3),则=(1,2,-3),=(0,4,0),=(1,-2,3). 设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z). 由n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0, 得y=0,x=3z, 令z=1,得x=3,n=(3,0,1). 设直线DB1与平面A1C1D所成的角为θ, 则sin θ=|cos〈,n〉|==. (2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c),=(2,0,0). 由m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0, 得a=0,2b=3c, 令c=2,得b=3,m=(0,3,2). 设二面角B1-A1D-C1的大小为α, |cos α|=|cos〈m,n〉|==, sin α==. 所以二面角B1-A1D-C1的正弦值为. 4.如图,在三棱锥S-ABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角. (1)若D为棱SB上一点,当为何值时,CD⊥AB; (2)求二面角S-BC-A的余弦值的大小. 解 连结OB,由题意得OS,OB,OC两两垂直. 以O为坐标原点,分别以OB,OC,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由题意知∠SBO=45°,SO=3. 所以O(0,0,0),C(0,,0),A(0,-,0),S(0,0,3), B(3,0,0). (1)设=λ(0≤λ≤1),连结OD, 则=(1-λ)+λ=(3(1-λ),0,3λ), 所以=(3(1-λ),-,3λ). 因为=(3,,0),CD⊥AB, 所以·=9(1-λ)-3=0,解得λ=. 故当=时,CD⊥AB. (2)平面ACB的法向量为n1=(0,0,1). 设平面SBC的法向量n2=(x,y,z), 由得 解得取z=1, 则n2=(1,,1), 所以cos〈n1,n2〉==, 显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为.查看更多