2019年高考数学练习题汇总(五)空间向量与立体几何

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2019年高考数学练习题汇总(五)空间向量与立体几何

‎(五)空间向量与立体几何 ‎1.(2018·盐城模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,点M,N分别在PD,PC上,=,PM=MD.‎ ‎(1)求证:PC⊥平面AMN;‎ ‎(2)求二面角B-AN-M的余弦值.‎ ‎(1)证明 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 又∵PA=AD=2,‎ ‎∴P(0,0,2),D(0,2,0),‎ B(2,0,0),‎ ‎∴M(0,1,1),C(2,2,0).‎ ‎∴=(2,2,-2),=(0,1,1).‎ ‎∵·=0+2-2=0,‎ ‎∴PC⊥AM.‎ 设N(x,y,z),∵=,‎ 求得N.‎ ‎∵·=+-=0,∴AN⊥PC.‎ 又AM∩AN=A,AM,AN⊂平面AMN,‎ ‎∴PC⊥平面AMN.‎ ‎(2)解 设平面BAN的法向量为n=(x,y,z),‎ ‎∵即 令z=-1,∴n=(0,2,-1).‎ ‎∵=(2,2,-2)是平面AMN的法向量,‎ ‎∴cos〈n,〉==.‎ 由图知二面角B-AN-M为钝二面角,‎ ‎∴二面角B-AN-M的余弦值为-.‎ ‎2.如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.‎ ‎(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角A-BE-C的正弦值.‎ 解 (1)以O为原点,分别以OB,OC,OA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).‎ =(2,-1,0),=(0,2,-1),‎ ‎∴cos〈,〉=-,‎ 又异面直线所成的角为锐角或直角,‎ ‎∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1),‎ 设平面ABE的法向量为n1=(x,y,z),‎ 则由n1⊥,n1⊥,‎ 得取n1=(1,2,2),‎ 平面BEC的法向量为n2=(0,0,1),‎ ‎∴cos〈n1,n2〉=,‎ ‎∴二面角A-BE-C的余弦值的绝对值为,‎ ‎∴sin θ=,‎ 即二面角A-BE-C的正弦值为.‎ ‎3.三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中点.‎ ‎(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;‎ ‎(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.‎ 解 (1)由题意知,B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3),则=(1,2,-3),=(0,4,0),=(1,-2,3).‎ 设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).‎ 由n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0,‎ 得y=0,x=3z,‎ 令z=1,得x=3,n=(3,0,1).‎ 设直线DB1与平面A1C1D所成的角为θ,‎ 则sin θ=|cos〈,n〉|==.‎ ‎(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c),=(2,0,0).‎ 由m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,‎ 得a=0,2b=3c,‎ 令c=2,得b=3,m=(0,3,2).‎ 设二面角B1-A1D-C1的大小为α,‎ ‎|cos α|=|cos〈m,n〉|==,‎ sin α==.‎ 所以二面角B1-A1D-C1的正弦值为.‎ ‎4.如图,在三棱锥S-ABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.‎ ‎(1)若D为棱SB上一点,当为何值时,CD⊥AB;‎ ‎(2)求二面角S-BC-A的余弦值的大小.‎ 解 连结OB,由题意得OS,OB,OC两两垂直.‎ 以O为坐标原点,分别以OB,OC,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.‎ 由题意知∠SBO=45°,SO=3.‎ 所以O(0,0,0),C(0,,0),A(0,-,0),S(0,0,3),‎ B(3,0,0).‎ ‎(1)设=λ(0≤λ≤1),连结OD,‎ 则=(1-λ)+λ=(3(1-λ),0,3λ),‎ 所以=(3(1-λ),-,3λ).‎ 因为=(3,,0),CD⊥AB,‎ 所以·=9(1-λ)-3=0,解得λ=.‎ 故当=时,CD⊥AB.‎ ‎(2)平面ACB的法向量为n1=(0,0,1).‎ 设平面SBC的法向量n2=(x,y,z),‎ 由得 解得取z=1,‎ 则n2=(1,,1),‎ 所以cos〈n1,n2〉==,‎ 显然所求二面角的平面角为锐角,‎ 故所求二面角的余弦值的大小为.‎
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