2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

‎2017～2019年度高二年级第一学期期末考试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得，‎ 长轴长等于圆，即的半径，a=2，则b=1，‎ 所求椭圆方程为：.‎ 故选：B.‎ ‎2. 的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，由余弦定理得：‎ ‎，即，整理得：.‎ 解得或（舍）‎ 故选B.‎ ‎3. 记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，整理得，解得.‎ 故选C.‎ - 15 -‎ ‎4. 已知命题，，则下列叙述正确的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】因为全称命题的否定为特称命题，‎ 所以命题，，的否定，.‎ 当是，,而.‎ 所以.‎ 故命题是真命题，即是假命题.‎ 故选D.‎ ‎5. 函数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ，当且仅当时取等号，故选A.‎ 点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，变形成，出现了的结构，很容易利用均值不等式找到此式子的最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.‎ ‎6. “双曲线渐近线方程为”是“双曲线方程为（为常数且）”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】双曲线渐近线方程为y=±2x，‎ 即b=2a，或a=2b，‎ 故双曲线方程为(λ为常数且λ≠0)，‎ 是充要条件，‎ 故选：C.‎ ‎7. 已知点为空间不共面的四点，且向量，向量 - 15 -‎ ‎，则与，不能构成空间基底的向量是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ 即与，共面，‎ ‎∴与，不能构成空间基底；‎ 故选：C.‎ ‎8. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）‎ A. 1 B. -1或1 C. 2 D. -2或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点为是C上一点,，‎ 由抛物线定义可得：，‎ 解得=2，‎ 可得=±2.‎ 故选：D.‎ ‎9. 椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆上的点，‎ 则点P到直线的距离，‎ 最大值为.‎ 故选B.‎ ‎10. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，平面，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ - 15 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，‎ 又∵OP⊥平面ABC ‎∴PA=PB=PC.‎ 取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ‎∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角。‎ 设,‎ 在Rt△POA中,PO=1，‎ 在Rt△POC中，D是PC的中点，PC=，∴OD=,‎ 在Rt△POE中,，‎ 在Rt△ODF中 - 15 -‎ 故选C.‎ 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎11. 过抛物线的焦点作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）‎ A. 10 B. 8 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为(x0,y0),则 ‎∴MN的垂直平分线为 令y=0,则 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ 故选：A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎12. 设双曲线的右顶点为，右焦点为，弦过且垂直于轴，过点、点分别作为直线、的垂直，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 15 -‎ ‎【解析】由题意,B在x轴上,,∴，‎ ‎∴，‎ 直线BQ的方程为，‎ 令y=0,可得，‎ ‎∵B到直线PQ的距离小于2(a+c)，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵e>1，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，双曲线的左，右焦点分别是，则四边形的面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程为：，‎ 直线与分别交于点，.‎ 所以.‎ - 15 -‎ 则四边形的面积是：.‎ 故答案为：.‎ ‎14. 正方体的棱长为1，分别为，的中点，则点到平面的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 取的中点O,连接O,OE,OF,F,则△FO的面积.‎ 点F到平面E的距离=点F到平面OE的距离h,‎ 由等体积可得，即 ‎∴h=.‎ 故答案为：.‎ ‎15. ，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①若=0，则a=±1，‎ 当a=1时,不等式为：−1<0，‎ 满足对任意实数x都成立，则a=1满足题意，‎ - 15 -‎ 当a=−1时,不等式为：−2x<0，‎ 不满足对任意实数x都成立，则a=−1不满足题意，‎ ‎②若≠0,不等式为二次不等式，‎ 要保证对任意实数x都成立，‎ 必须有，‎ 解可得： <1，‎ 综合可得，‎ 故答案为：.‎ ‎16. 设为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆中，左顶点为：，右顶点为，‎ 若这个等差数列是增数列,则a1⩾|FP1|=13−9=4,a10⩽|FP10|=13+9=22，‎ ‎∴a10=a1+9d,∴0< a10−a1=9d⩽18，‎ 解得.‎ 若这个等差数列是减数列,则a1⩽|FP1|=13+9=22, a10⩾|FP10|=13−9=4，‎ ‎∴a10=a1+9d,∴0> a10−a1=9d⩾18,−2⩽d<0.‎ ‎∴d的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ - 15 -‎ ‎........................‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆的长轴两端点为，得，‎ 又，得，∴.∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，由得，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎∴直线方程为.‎ ‎18. 直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.‎ ‎（1）若点为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点在棱上，且平面，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）取边中点为，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由，，利用向量求解即可；‎ ‎（2）设，若平面，则由，‎ - 15 -‎ ‎，用空间坐标表示数量积求解方程即可.‎ 试题解析：‎ 取边中点为∵底面是边长为2的正三角形，‎ ‎∴ 连接，∵是边的中点∴， ‎ 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ ‎（1）若为的中点，则，，‎ 设异面直线与所成的角为，则，‎ 所以异面直线与所成的角得余弦值为.‎ ‎（2）设，则，，‎ 若平面，则由，‎ ‎∴可得 即当时，平面.‎ ‎19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，.直线与椭圆交于两点.‎ ‎（1）若的周长为，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，且以为直径的圆过椭圆的右焦点，求的取值范围.‎ - 15 -‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，，进而可求离心率；‎ ‎（2）由，消去，得，设，，由题知，再利用根与系数的关系化简整理即可得出.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，，，解得.‎ 所以椭圆的离心率；‎ ‎（2）由，消去，得.‎ 设，，则，.‎ ‎，，由题知 ‎∴ ‎ 即，‎ 因为，所以，即.‎ ‎20. 如图，在三棱台中，，平面，，，，分别为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成角（锐角）的大小.‎ - 15 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据AB=2DE可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH； （2）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量求解二面角的大小.‎ 试题解析：‎ 由平面，可得平面，‎ 又，，则，于是两两垂直，‎ 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎，，，，‎ ‎（1）证明：连接，设与交于点.在三棱台中，，则，‎ 而是的中点，，则，所以四边形是平行四边形，‎ 是的中点，.‎ 又在中，是的中点，则，‎ 又平面，平面，‎ 故平面 ‎（2）平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则，，，‎ ‎，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.‎ - 15 -‎ 点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：‎ ‎（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；‎ ‎（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．‎ ‎21. 平面内一动圆（在轴右侧）与圆外切，且与轴相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知动直线过点，交轨迹于两点，坐标原点为的中点，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）设 ，根据题意可得，化简即可得解；‎ ‎（2）设，，当直线垂直于轴时，由抛物线的对称性知，当直线不垂直于轴时，设与椭圆联立得，用坐标表示即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设 ，则，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹的方程为：.‎ ‎（2）证明：设，，由于为的中点，则 当直线垂直于轴时，由抛物线的对称性知.‎ 当直线不垂直于轴时，设，‎ 由，得 - 15 -‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 综上，.‎ ‎22. 已知椭圆，上顶点为，焦点为，点是椭圆上异于点的不同的两点，且满足直线与直线斜率之积为.‎ ‎（1）若为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求面积的最大值；‎ ‎（2）试判断直线是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，由即可得解；‎ ‎（2）由题意，，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，，由直线与椭圆联立得，由直线与直线斜率之积为，利用坐标表示得，解得或，进而可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，则.‎ ‎∴面积的最大值为.‎ ‎（2）由题意，，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，‎ 设，，由，得 ‎①‎ ‎，②‎ ‎∵直线与直线斜率之积为 - 15 -‎ ‎∴，‎ 将②式代入，化简得，解得或 ‎（若设直线的斜截式方程，此处可直接求出直线的纵截距为2或）‎ 当时，直线的方程为：，过定点，不符合题意；‎ 当时，直线的方程为：，过定点，将代入①式，‎ 解得 ‎∴直线过定点.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 15 -‎