高中数学 2_2_1 综合法与分析法同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 2_2_1 综合法与分析法同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 2.2 第1课时 综合法与分析法 一、选择题 ‎1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：‎ ‎∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.‎ ‎∵x>0，∴ex>1,0<<1‎ ‎∴ex－>0，即f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是(　　)‎ A．综合法　　　　　　　 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是 ‎[答案]　A ‎[解析]　该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.‎ ‎2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　要证0.‎ 只需证(‎2a＋b)(a－b)>0，‎ 只需证(a－c)(a－b)>0.‎ 故索的因应为C.‎ ‎3．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)‎ A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　q＝ ‎≥＝＋＝p.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A ‎[答案]　A ‎[解析]　≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，‎ ‎∴f≤f()≤f.‎ ‎5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是(　　)‎ A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ C．cos(α＋β)＞sinα＋sinβ D．cos(α＋β)‎0”‎是“P、Q、R同时大于零”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　C ‎[解析]　首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．‎ 其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，‎ ‎∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.‎ ‎7．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)‎ A．x<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)‎ ‎①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；‎ ‎②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；‎ ‎③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；‎ ‎④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．‎ A．①③ B．②④‎ C．①④ D．①②③④‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵S(x)＝，C(x)＝，‎ ‎∴S(x＋y)＝，‎ S(x)C(y)＋C(x)S(y)‎ ‎＝·＋· ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎∴S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)‎ 同理：S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)‎ C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)‎ C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．应选D.‎ 二、填空题 ‎11．如果a＋b＞a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．‎ ‎[答案]　a≥0，b≥0且a≠b ‎[解析]　∵a＋b＞a＋b ‎⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.‎ ‎12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ ‎[答案]　≤‎ ‎[解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)‎ ‎＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ‎＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0‎ ‎∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，‎ ‎∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ ‎13．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是b>0，且a2＋＝1，则ab>a2b2；‎ ‎②a，b∈R，且ab<0，则≤－2；‎ ‎③a>b>0，m>0，则>；‎ ‎④≥4(x≠0)．‎ 其中正确不等式的序号为________．‎ ‎[答案]　①②④‎ ‎[解析]　①a>b>0，∴a≠ ‎∴a2＋＝1>2＝ab ‎∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确．‎ ‎②＋2＝ ‎∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2，②正确；‎ ‎③－＝ ‎∵a>b>0，m>0，‎ ‎∴b(b＋m)>0，b－a<0，∴<0，‎ ‎∴<，③不正确．‎ ‎④＝|x|＋≥4，④正确．‎ 三、解答题 ‎15．设a>0，b>0，a＋b＝1.‎ 求证：(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)2＋2≥.‎ ‎[证明]　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＝a＋b≥2，≤，∴≥4.‎ ‎∴＋＋＝(a＋b)＋ ‎≥2·2＋4＝8，∴＋＋≥8.‎ ‎(2)∵≤，则≥2‎ ‎∴2＋2≥22‎ ‎＝≥≥.‎ ‎∴2＋2≥.‎ ‎16．已知a>b>0，求证<－<.‎ ‎[证明]　欲证<－<成立．‎ 只需证b>0，∴<1<成立．‎ 从而，有<－<.‎ ‎17．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，‎ 求证：＋＞.‎ ‎[证明]　要证明＋＞ 只需证明＋－＞0即可 ‎∴＋－ ‎＝ ‎∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0‎ ‎∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0‎ ‎∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2‎ ‎＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2‎ ‎∵△ABC中任意两边之和大于第三边 ‎∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0‎ ‎∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0‎ ‎∴＋＞.‎ ‎18．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.‎ ‎[证明]　要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，只需证lg>lg(a·b·c)，‎ 即证··>abc.‎ 因为a，b，c为不全相等的正数，‎ 所以≥>0，≥>0，≥>0，‎ 且上述三式中等号不能同时成立．‎ 所以··>abc成立，‎ 所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc成立．‎