广东省惠州市2021届高三第一次调研考试数学试题 Word版含答案

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惠州市2021届高三第一次调研考试试题 数 学 全卷满分150分，时间120分钟． 2020.07‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。‎ 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。‎ ‎1．设集合，集合, 则（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．复数满足，其中为虚数单位，则复数=（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，向量，若，则实数（ ）.‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 A． B． C． D．‎ ‎5．已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值 为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，‎ 则双曲线的离心率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺.‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数的部分图象的大致形状是（ ）.‎ A B C D ‎9．根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎10．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）. ‎ A． B．‎ C． D．‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，‎ 有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎11．下列选项中正确的是（　　）‎ A．不等式恒成立． B．存在实数a，使得不等式成立． ‎ C．若为正实数，则． D．若正实数x，y满足，则．‎ ‎12．在空间中，已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）‎ A．若，且，，则． ‎ B．若，且，，则．‎ C．若与相交，且，，则与相交． ‎ D．若，且，，则．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。‎ ‎13．函数在点的切线方程为_________．‎ ‎14．二项式的展开式中的系数是_________．‎ ‎15．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_________．‎ ‎16．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，‎ 则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．‎ 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，△的面积为，求△的周长．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ C E D B A F 如图，是边长为3的正方形，平面，，，‎ 与平面所成角为 ‎（1）求证：平面；‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点 使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．‎ ‎（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；‎ ‎（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。‎ ‎（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；‎ ‎（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望。‎ 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求正实数的取值范围.‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 惠州市2021届高三第一次调研考试 数学参考答案与评分细则 一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A C A B C D B D A B ‎1.【解析】由题意可得，，所以，故选A．‎ ‎2.【解析】，故选C．‎ ‎3.【解析】，故选A．‎ ‎4.【解析】由已知得，故选B．‎ ‎5.【解析】连接，则，可知是正三角形，，故选C．‎ ‎6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，， ，故选D．‎ ‎7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，，可得，解之得，故选B．‎ ‎8.【解析】由，所以为奇函数，排除A，C；因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，故选D．‎ ‎9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆绑后的专家分别派到3 个县区，共有种分法，故总共有种派法。‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎ 其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为. 故选A．‎ ‎10.【解析】 由“局部奇函数”可得： ，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设．‎ ‎（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），‎ 即或，解得：或．‎ ‎（2）若方程有两解，则，解得：，‎ 综上所述：，答案B．‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎11题选项 ‎12题选项 可得分数 全部正确 BCD AC ‎5分 部分正确 B、C、D、BC、BD、CD A、C ‎3分 ‎11.【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；‎ 当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 对于，‎ 当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选：BCD．‎ ‎12.【解析】若，且，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确； ‎ 若，且，则与互相平行或相交或异面，故B错误；‎ 若相交，且，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确； ‎ 若，且，则与平行或相交，故D错误；故选：AC．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。）‎ ‎13. 14. 280 15. 9 16. （3分），（2分）‎ ‎【注：14题结果写成不扣分】‎ ‎13.【解析】 因此切线方程为.‎ ‎14.【解析】展开式的第项为，故令，即，‎ 所以的系数为．‎ ‎15.【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9.‎ ‎16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC，‎ 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝，‎ 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝，‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 F ‎2θ θ A C B E D 因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝， 所以CD＝，‎ 由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.‎ 答案：； 法2：如图，作AE垂直BC，作DF垂直BC，由勾股及相似比可得面积。‎ 由二倍角公式可得目标角度的余弦值。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）法1：，，① .................................................................1分 ‎，，成等比数列，，化简得，②..............2分 又因为 ...............................................3分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 且由①②可得，，．.....................................4分【注：只要算出即可给分】‎ 数列的通项公式是 .......................................................................5分 法2：，，，成等比数列，， ...................1分 ‎，化简得， ..................................................2分 又因为 ...............................................3分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 得． ...................................................................................................................4分 数列的通项公式是 ................................................................5分 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎（2）由（1）得， ....................................7分 ‎ ......................................8分 ‎． ............................................................................................9分 ‎ ‎ 所以 ...............................................................................................................10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）法1：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及正弦定理可得： ‎ ‎2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcos B .............................................................1分 ‎ ‎2sinCcosB＝sin(A＋B)， ..............................................................................2分 ‎ 因为A＋B＝π－C，所以2sinCcosB＝sinC， ........................................3分 因为sinC≠0， ................................................4分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 所以cosB＝. ...............................................................................................5分 因为0＜B＜π， .............................................6分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 所以B＝. ..................................................................................7分 法2：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及余弦定理可得：‎ ‎........................................................................1分 化简得...................................................................................................2分 余弦定理可得...........................................................................................3分 因为≠0，.............................................................4分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 所以cosB＝. ................................................................................................................5分 因为0＜B＜π，......................................................6分【注：无此步骤，本得分点不得分】‎ 所以B＝. ........................................................................................................7分 ‎（2）由S△ABC＝acsinB ..........................................8分【注：单独写出此步骤，即可得1分】‎ 得＝×4×c×，所以c＝1. ............................................................9分 又由余弦定理：，..........10分【注：单独写出此步骤，即可得1分】‎ 得， ...................................................................11分 故△ABC的周长为5＋. ...............................................................12分 ‎【注：第二问也可过A作BC边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ C E D B A F x y z ‎【解析】（1）证明：因为平面，面 所以..............................................................................1分 因为是正方形，所以 ............................2分 又, 面，面.............3分 ‎【注：此步骤未写全3个条件，本得分点不得分】‎ 故平面 ...............................................................4分 ‎（2）法1：【向量法】‎ 因为两两垂直，‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 建立空间直角坐标系如图所示．.................................................................................5分 因为平面，且与平面所成角为，即，.........6分 所以由已知，可得 ...........................7分 则 ‎ 所以 ...............................8分 设平面的法向量为，则，即 令，则 ...............................9分 因为平面，所以为平面的法向量， .................10分 所以 .........................................11分 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 .................................12分 N C E D B A F G H M P Q 法2：【几何法】‎ 如图，G、P分别为线段ED、EB的三等分点，‎ M、N分别为线段EB、DB的中点，‎ MN∩GP=H，连结FH，‎ AF//NH，且AF=NH，所以FH//AN，且FH= AN 所以FH⊥面BDE，‎ 过F作FQ⊥EB垂足为Q，连结HQ 由三垂线定理知，∠FQH为二面角的平面角。......................................................6分 数学试题 第 22 页，共 22 页 由已知可得，所以 ..............................................................................7分 因为平面，且与平面所成角为，即，.................8分 ‎△PHQ为直角三角形，∠QPH=60°，，所以，.......................9分 由勾股定理得，得，....................................................................10分 所以cos∠FQH.........................................................................................................11分 所以二面角的余弦值为 ..............................................................................12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）法1：【待定系数法】‎ 由题意可得，............................................................................1分 又因为点在椭圆上得 ..............................................................2分 联立解得，. ............................................................................3分 所以椭圆的方程为.......................................................................4分 ‎ 法2：【定义法】‎ 设另一个焦点为，则△为直角三角形，‎ 由勾股定理得，‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎............................................................................................1分 所以，即，........................................................................................2分 由得 .........................................................................................................3分 所以椭圆的方程为 .......................................................................................4分 ‎ ‎（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，‎ 整理得. .................................................................................5分 ‎ 由 设，，定点 (且 则由韦达定理可得，. ....................................................6分 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. ‎ 所以，即得. ...................................................7分 又，，得，‎ 所以，‎ 整理得. .............................................................................8分 从而可得， ‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 即， .............................................................................9分 所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. ..........10分 特别地，当直线为轴时，也符合题意. ...................................................11分 综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称......12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，……………1分 抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，……………2分 所以抽到感染者的概率 …………………………3分 ‎（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5， ………………4分 ‎， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】‎ 分布列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎…………………5分 ‎【注：无列表不给分】‎ 所以 ……………………………………6分 ‎（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组。‎ 如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ‎ ‎，，……………7分 分布列如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………………………………………………………………8分 如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ‎ ‎，，……………9分 分布列如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ …………………………………………………………………10分 ‎【参考回答1】：‎ 因为， ……………………………………………………………11分 数学试题 第 22 页，共 22 页 所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可。……12分 ‎【参考回答2】：‎ 因为，‎ 按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少， ………………11分 所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好。……………………………12分 ‎【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。‎ 请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则（如回答1）及加分原则（如回答2）。‎ 22. ‎（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）因为，则函数定义域为，，……………1分 若，则，在单调递减；………………………2分 若，则，单调递增， ………………………3分 ‎………………4分 ‎【注：无列表不得分】‎ 极小 所以当时，的极小值为，无极大值；…………5分 ‎（2）法1： ，则， ……………………6分 由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，‎ 所以，所以， ‎ 数学试题 第 22 页，共 22 页 ‎ ……………………………………………………………………7分 令，，‎ ‎ …………………………8分 令 ，，‎ ‎ 恒成立，所以 ‎ 所以恒成立， ………………………………………………………………………9分 所以；；；‎ 则 ………………………………………………………………10分 所以，当且仅当时等号成立。 ……………………11分 所以，正实数的取值范围为.……………………………………………………12分 法2：由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，‎ 所以，所以，……………………………………………6分 因为，‎ 所以，所以，（*），……………7分 数学试题 第 22 页，共 22 页 令，，‎ 则 ‎，‎ 因为，所以，‎ ‎①若，则，‎ 当时，则，所以在单调递增，‎ 当时，则，所以在单调递减，‎ 所以，………………………………………………………8分 又因为，且和都在处取得最值，‎ 所以当，解得，所以， ………………………9分 ‎②若，则，‎ 当时，，在单调递减；‎ 当时，，在单调递增； ‎ 当时，，在单调递减， ……………………………10分 所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去. ………………………11分 数学试题 第 22 页，共 22 页 综上，正实数的取值范围为.………………………………………………12分 数学试题 第 22 页，共 22 页