广东省惠州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

广东省惠州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

惠州市2019-2020学年第一学期期末考试 高一数学试题 试卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。‎ 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。‎ ‎1．已知全集，集合，集合，‎ 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的定义域为（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A．向左平移个单位。 B．向右平移个单位。‎ C．向左平移个单位。 D．向右平移个单位。‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ x y O x y O x y O x y O ‎6．函数的图象大致是（ ）‎ A B C D ‎ ‎7．惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如下表所示：‎ t ‎1.99‎ ‎3.0‎ ‎4.0‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ v ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且三点共线，‎ A B D C E 则下列结论不成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 与共线 D. ‎ ‎9．函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨。有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从（ ）年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨。‎ ‎（参考数据：，）‎ A．2018 B．‎2019 C．2020 D．2021‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎11．已知函数的部分图象如图所示，‎ 下列说法错误的是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称。‎ B．函数的图象关于点对称。‎ C．函数在上单调递减。‎ D．该图象对应的函数解析式为．‎ ‎12．下列幂函数中满足条件的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。‎ ‎13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，‎ 则_________．‎ ‎14．已知向量，向量，则_________．‎ ‎15．已知，则=__________．‎ ‎16．已知函数，则 = _________，‎ 若直线y=m与函数f (x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_________．‎ 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）已知，，求的值．‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）证明在区间上单调递减．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，点，，.‎ ‎（1）设实数满足，求的值；‎ ‎（2）若以线段，为邻边作平行四边形，‎ 求向量与的夹角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）请用“五点法”画出在一个周期上的图象；‎ x y O ‎1‎ ‎-1‎ ‎（2）求在区间上单调性．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在竞争激烈的市场环境中，产品的售价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等。惠州市某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品在一个销售季度的销量（单位：万件）与单件售价（单位：元）之间满足函数关系，产品的单件成本（单位：元）与销量之间满足函数关系．‎ ‎（1）当产品的单件售价在什么范围内时，能使得其在一个销售季度的销量不低于5万件？‎ ‎（2）当产品的单件售价为多少时，一个销售季度的总利润最大？‎ 注：总利润销量单件售价－单件成本 ‎22．（本小题满分12分）‎ 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有漂移点．‎ ‎（1）试判断函数及函数是否有漂移点，并说明理由；‎ ‎（2）若函数有漂移点，求的取值范围。‎ 惠州市2019-2020学年第一学期期末考试 高一数学试题参考答案与评分细则（初稿）‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B D A B B A C D C D ‎1．【解析】，则.故选B．‎ ‎2．【解析】由，解得且．所以函数定义域为，故选D ‎3．【解析】因为，即，故选A.‎ ‎4．【解析】，因此要把图象向右平移个单位．故选B．‎ ‎5．【解析】对于选项A，为偶函数，但在区间上单调递减，故错误；‎ 对于选项B，为偶函数，当时，可化为，满足在区间上单调递，故正确；‎ 对于选项C，为偶函数，但在区间上没有单调性，故错误；‎ 对于选项D，为奇函数，故错误．故选B．‎ ‎6．【解析】，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故排除B，C；函数的最小正零点为1，当时，为负值，故排除D，故选A．‎ ‎7．【解析1】由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有C满足要求。‎ ‎【解析2】作出散点图，由函数拟合可知只有C满足要求。‎ ‎【解析3】由表可知：是关于的增函数；所以B不适合；‎ 对于A: 故A不接近；‎ 对于C,‎ C接近；‎ 对于D: ，D不接近；故选C ‎8．【解析】设，则，，‎ ‎，，，故A、B、C成立；‎ 而，，‎ 即不成立，故选D.‎ ‎9．【解析】令，得，，故选C．‎ ‎10．【解析】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，‎ 两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故选D．‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎11题选项 ‎12题选项 可得分数 全部选对 ABC BD ‎5分 部分选对 A、B、C、AB、AC、BC B、D ‎3分 ‎11．【解析1】将图象往左延伸一个周期，可知ABC都不成立。‎ 由函数的图象可得，由，得．再由最值得，‎ 又，得，得函数，故选项D不能选。故选ABC．‎ ‎【解析2】由函数的图象可得，由，得．再根据最值得，,又，得，得函数， 当时，，不是最值，故A不成立；当时，，不等于零，故B不成立；得，，故C不成立；对比选项D可知不能选。故选ABC．‎ ‎12．【解析】由题意可知，当时，的图象是凹形曲线.‎ 对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；‎ 对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；‎ 对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；‎ 对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，‎ ‎ ，故本题答案选BD.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。‎ ‎13． 14． 15． 16．3（2分），（3分）‎ ‎【注】①14题答案写成不给分。‎ ‎②16题第一个空写成不给分。 ‎ ‎③16题第二个空也可以写成：或，或，或。‎ 但写成以下形式不给分：，，。 ‎ ‎13．【解析】由三角函数的定义可得，故答案为：.‎ ‎14．【解析】由题得，所以，故答案为：‎ ‎15．【解析】由，得，=，故答案为：‎ ‎16．【解析】，作出函数的图象，如图所示，‎ 若直线与函数的图象只有1个交点，‎ 则或，故答案为：3，‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）【解法1】由题可知…………………………………1分 ‎ 则 ………………………………………………2分 根据同角三角函数的基本关系式得 …………3分 ‎………………………………………………4分 ‎………………………………………………………5分 ‎【解法2】由题可知终边在第四象限，……………………………………………1分 可设终边过点，其中…………………………………2分 且即得…………………………3分 根据三角函数的定义可得 ……………………………………4分 ‎………………………………………………………………5分 ‎【注】本小题解答过程如果用勾股数5、12、13简单过程得到结果，最多给2分。‎ ‎（2）【解法1】根据题设得，……………………………6分 ‎ ，……………………………………………………………7分 所以………………………………………………………8分 ‎………………………………………………………9分 ‎………………………………………………………10分 ‎【解法2】根据题设得， ……………………………6分 ‎ 因为，，所以，………………………………7分 所以………………………………………………………8分 ‎………………………………………………………9分 ‎………………………………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由已知有…………………………………………………2分 解得， …………………………………………………………4分 ‎∴ （）………………5分【注：没有写出不扣分】‎ ‎（2）证明：设任意，且 …………………………………………6分 则………………………………………7分 ‎…………………………………8分 ‎……………………………………9分【注③】‎ 又，且 所以，， …10分【注③】‎ ‎∴，即 ……………………………11分 所以在上单调递减．……………………………………………12分 ‎【注】①用两个特殊值验证的证明过程，第二问得0分。‎ ‎②正确作出函数图象，说明在上单调递减，第二问只得3分。‎ ‎③若做差后变形不彻底，即解答过程无“9分”点，且在“10分”点处对的说明不充分，第二问最多可得4分。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由题设知，，…………………………2分 ‎，………………………………………3分 由得，………………4分 即，……………………………5分 所以.………………………………………………………6分 ‎（2）由题设知，……………………………………………………7分 则，…………………8分 故，……………………………………………9分 设向量与的夹角为，故.……………………10分 ‎ ………11分 所以，向量与的夹角余弦值为……………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】：（1）列表如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎………………3分 在上的图象如图所示： ‎ ‎………………………………………………6分 ‎ ‎【注】①正确列表可得3分；无列表，则不给这3分。‎ ‎②正确标示出坐标轴的五个关键点可得1分；无标出，则不给这1分。‎ ‎③用光滑曲线连接各关键点可得1分；用折线连接，则不给这1分。‎ ‎（2）【解法1】由，（）…………………7分 得 （）………………………………………8分 ‎……………………………9分 所以在区间上单调递增…………………………………10分 同理，在区间上单调递减………………………………12分 ‎【解法2】………………………………………7分 令，根据复合函数单调性知在上单调递增，……8分 所以得…………………………………………9分 所以在区间上单调递增……………………………………………………10分 同理，在区间上单调递减…………………………………………………12分 ‎【注】①对于单调区间端点的开闭问题，说明如下：‎ ‎1、结论也可以写成下面两种形式，不扣分。‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ 或写成：在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ ‎2、区间端点写成下列3种形式（即已知区间端点为开或极值点处都开），共扣1分。‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ 或写成：在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ 或写成：在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ ‎②如果是通过图象法说明单调性的解法，正确画出函数图象（1分）并写出单调区间（各1分），‎ 无其余解答过程，这种解法最多得3分。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由得，………………………………………………1分 或……………………………………………2分 解得或.…………………………………………3分 即.……………………………………………………………4分 答：当产品A的售价时，其销量y不低于5万件。……5分 ‎（2）由题意，总利润……………………………………………………7分 ‎…………………………8分 当时，，当且仅当时等号成立. ………9分 当时，单调递减，………10分 所以时，利润最大为68. …………………………………………………11分 答：当产品A的售价为14元时，总利润最大为68万元。……………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）函数有 “飘移点”，函数没有“飘移点”， ………………………1分 证明如下：设在定义域内有“飘移点”，则，解得 ‎，………2分 所以函数在定义域内有“飘移点”是0；…………………………………………3分 设函数有 “飘移点”，则，即，方程无实根，…4分 与题设矛盾，所以函数没有飘移点………………………………………………5分 ‎（2）函数的定义域是，‎ 因为函数有 “飘移点”， 并设“飘移点”为，‎ 则有………………………………………………………………6分 化简可得：可得：………………………………………7分 因为，所以：，所以：…………………………8分 因为当时，方程无解，即，所以……………………………………9分 因为函数定义域是，‎ 所以：，即，……………………………………………………………10分 因为，所以即： ‎ ‎……………………………………………………11分 所以当时，函数有 “飘移点” ……………………………12分