2020届高三第一次调研考试理科数学标准答案与评分细则

2020届高三第一次调研考试理科数学标准答案与评分细则

‎2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则 命题，校对：伍海军 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B A C B C D D A B C ‎1．【解析】由中不等式得，解得，即，，故选B．‎ ‎2．【解析】由，得，‎ ‎∴，解得，∴．故选A．‎ ‎3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是人．故选B．‎ ‎4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，故选A.‎ ‎5．【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选C．‎ ‎6．【解析】由题意得．由得，∴，∴．又，∴．故选B．‎ ‎7．【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以解得 ，双曲线方程为.故选C.‎ ‎8．【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，为偶函数，排除A；的周期为，排除B；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C. 故选D．‎ ‎9．【解析】对于A，若存在一条直线，∥，∥，则∥或与相交，若∥，则存在一条直线，使得∥，∥β，所以选项A的内容是∥的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是∥的一个必要条件而不是充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有∥，所以选项D的内容是∥的一个充分条件．故选D．‎ ‎10．【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，‎ 所以向量：，，由向量线性关系可得：，，解得：，代入抛物线方程可得：，则，由两点之间的距离公式可得：．故选A．‎ 理科数学答案 第 6 页，共 6 页 ‎11．【解析】 由题意，120对都小于1的正实数，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，满足且，面积为，∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为，则，∴，故选B．‎ ‎12．【解析】∵，∴，‎ ‎∴，∴函数是偶函数，∴当时，易得为增函数，‎ ‎∴，，∵，，，∴，∴，故选C．‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．【解析】y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．‎ ‎14．【解析】由题意得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝2＋9－6·＝5，即AC＝，则＝，＝，得sin A＝.‎ ‎15．【解析】设等差数列的公差为，则，因为，所以，整理得，．‎ ‎16．【解析】如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则 设，则，又上的高，‎ 当平面时，棱锥的体积最大，‎ 此时，‎ 当时，体积最大，此时最大值为.‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由正弦定理可得 ……………………1分 化简得， ……………………2分 由余弦定理得， ……………4分 又因为，……………………………5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）‎ 所以． …………………………………………………………………………6分 理科数学答案 第 6 页，共 6 页 ‎（2）由正弦定理得， ………8分 由余弦定理得， …………9分 即，（当且仅当时取等号） ………………………………10分 故（当且仅当时取等号）．……11分 即面积的最大值为 ……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分）‎ ‎（注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，‎ 所以.…………1分 由得为等腰直角三角形，‎ 故．………………2分 又，且面，面，……3分 ‎（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）‎ 故平面．……………4分 ‎（2）解：如图所示，过点作垂直于，‎ 易知，又，故．‎ 由，得，，‎ 故．………………………………5分 以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， ……………………………6分 ‎，，，，‎ ‎ ……………………………………7分 设平面的法向量为，则，，‎ 即，……………………………………8分 令，则，故可取．…………9分（注：与共线的非零向量都可给分）‎ 由（1）可知平面，故平面的法向量可取为， 而，即.………10分 则，…11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）‎ 又二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设动点，则，………………………………………1分 理科数学答案 第 6 页，共 6 页 ‎，…………………………………………………………………2分 ‎，即．化简得：，………………3分 由已知，故曲线的方程为．………………………4分 ‎（注：方程正确，只要在解答过程出现过，就不扣分；否则扣1分）‎ ‎（2）由已知直线过点，设的方程为，……………………………5分 则联立方程组，消去得，………………6分 设，，则，………………………………………………7分 直线与斜率分别为 ， ，……8分 ‎…………………9分 当时，，； ………………………10分 当时，，．………………………11分 所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．……………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）函数的定义域是(1,＋∞)．……………………………1分 因为，………………2分 又，令，解得，……………………3分 所以函数的单调递增区间是(1,2)． ……………………4分 ‎（注：单调区间也可以是(1,2]，写成其它形式，本得分点不能给分）‎ ‎（2）由，得 令，……………………………………………5分 则（）………………………………. ………6分 由，得，由，得………………………7分 所以函数在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，…………………8分 画出草图，可知方程在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，‎ 则，………………………9分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分）‎ 理科数学答案 第 6 页，共 6 页 即，…………………10分 解得，………………11分 综上所述，实数取值范围是．…12分 ‎（注：此步骤中，最终结果可以是集合、区间或不等式。若区间端点开闭错误，本得分点不给分。）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分（注：此步骤中，全部写对可得1分）‎ ‎， ， ‎ ‎， ， ‎ ‎， ，‎ ‎，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎……………………5分 ‎（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ P ‎…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）‎ ‎(元). …………8分 选择延保方案二，所需费用元的分布列为：‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ P ‎…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分） ‎ ‎(元). ………………………11分 ‎∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分 ‎（二）选考题：共10分。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）当时，不等式可化简为．………1分 当时，，解得，所以；………………………2分 当时，，无解；………………………………………3分 当时，，解得，所以．………………………………4分 综上，不等式的解集为．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）‎ ‎（2）当时，不等式可化简为．……………6分 由不等式的性质得或，‎ 即或．……………………………………………………7分 理科数学答案 第 6 页，共 6 页 当时，，不等式不恒成立；…………………………8分 为使不等式恒成立，则．………………………9分 综上，所求的取值范围为．……………………………………………10分 理科数学答案 第 6 页，共 6 页