广东省惠州市2020届高三第一次调研考试数学（文）试题

广东省惠州市2020届高三第一次调研考试数学（文）试题

广东省惠州市2020届高三第一次调研考试 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. ∅ B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】由M中不等式得，解得，即，‎ ‎，故选B．‎ ‎【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．‎ ‎2.设（i为虚数单位），其中x，y实数，则等于（ ）‎ A. 5 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件，列出方程组求解即可得x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【详解】由，得．‎ ‎，解得，﹒故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题．‎ ‎3.平面向量与的夹角为，，，则 ( )‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，求出，再求出，进而可求出 ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数,这2个球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2个球颜色不同的概率．‎ ‎【详解】设2只白球分别为，3只红球分别为，，，从5只球中随机摸两只球，‎ 其可能结果组成的基本事件有：‎ 共10个．‎ 两只球颜色不同包含的基本事件有 共6个，所以所求概率为：‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．‎ ‎【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，‎ 可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎6.已知函数的最小正周期为，将其图像向右平移个单位后得函数的图像，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式，根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解．‎ ‎【详解】由题意得，故，．‎ ‎，，‎ ‎．故选A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了函数 的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎7.等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，等比数列中，若，则，‎ 若，则，解可得，则，‎ 又由，则有，解可得；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质．‎ ‎8.已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为 ，所以 ，由题意有 ，所以，选A.‎ ‎9.在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体中，连接CF、AC、EF，则BE//CF，把异面直线AF与BE所成的角，转化为相交直线AF与CF所成的角，在中，利用余弦定理求解，即可得到答案。‎ ‎【详解】在正方体中，连接CF、AC、EF，‎ 则BE//CF，‎ 所以异面直线AF与BE所成的角，即为相交直线AF与CF所成的角，‎ 设角,‎ 在正方体中，得，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即异面直线AF与BE所成的角的余弦值为0，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中利用平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，放置在三角形中利用正、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎10.双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆的公共点的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用离心率公式，即a，b，c的关系，可得，求得渐近线方程，圆心到直线的距离与半径比较即可得到所求关系，即可判断选项．‎ ‎【详解】由得，，渐近线方程为．‎ 联立方程组整理得．有唯一解，‎ ‎∴这两条双曲线的渐近线均与圆相切，公共点个数为2个，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质：离心率和渐近线，考查直线和圆的位置关系，以及运算求解能力，属于基础题．‎ ‎11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数，满足 ‎，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且， ，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．‎ ‎【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对落在由的正方形内，其面积为1．‎ 两个数能与1构成钝角三角形应满足且，‎ 此为一弓形区域，其面积为．由题意，解得，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．‎ ‎12.已知函数，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵当时，；当时，‎ ‎∴当时，，；‎ 当时；‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎∴函数是偶函数 ‎∴当时，易得为增函数 ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D.‎ 二、填空题．‎ ‎13.已知，则函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化函数，通过基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】，，‎ ‎．‎ 当且仅当，即，即时等号成立.‎ 法二：，令得或，‎ 当时函数单调递减，‎ 当时函数单调递增．‎ 所以当时函数取得最大值为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．‎ ‎14.设函数，则_____‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中函数，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案．‎ ‎【详解】．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．‎ ‎15.等差数列的前n项和为，若，，则的公差为____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【详解】①，‎ ‎，②．‎ ‎①-②得，，．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，可知要使 的体积最大，则面⊥面，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-BCD的体积最大值可求．‎ ‎【详解】因为球的直径，且，所以，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.‎ ‎【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． ‎ ‎17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足.‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A.‎ ‎（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）由化简得， ‎ 由余弦定理 得 又因为， ‎ 所以.‎ ‎（2）由正弦定理得 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 故（时取等号）．‎ 即面积S的最大值为 ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18.在四棱锥中，平面ABCD，是正三角形，AC与BD的交点为M，又，，点N是CD中点．‎ ‎（1）求证：平面PAD；‎ ‎（2）求点M到平面PBC的距离．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出△ABD≌△BCD，从而MN∥AD，由此能证明MN∥平面PAD． （2）设M到平面PBC的距离为h，由VM-PBC=VP-BMC，能求出点M到平面PBC的距离．‎ ‎【详解】（1）是正三角形，所以，又，‎ ‎∴BD所在直线为线段AC的垂直平分线， ‎ 所以M为AC的中点，‎ 又点N是CD中点，所以，‎ 又平面PAD，平面PAD， ‎ 所以平面PAD；‎ ‎（2）解：设M到平面PBC的距离为h，在中，，‎ 所以 在中，，所以，‎ 在中，，，，所以.‎ 由．即，‎ 解得．‎ 所以点M到平面PBC的距离为 ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19.某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：‎ 车型 A型 B型 C型 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎40‎ 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访．‎ ‎（1）求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；‎ ‎（2）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：‎ 优秀 合格 合计 男司机 ‎10‎ ‎38‎ ‎48‎ 女司机 ‎25‎ ‎27‎ ‎52‎ 合计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ 问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．‎ ‎（参考公式：）‎ 附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ K ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 分别为2，2，4；(2) 能在犯错误概率不超过0.01前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定A型，B型，C型的比例，即可求A型，B型，C型各车型汽车的数目； （2）由已知列联表中的数据求得观测值，结合临界值表可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为，，， ‎ ‎（2）根据题意，‎ 所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系．‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是基础题．‎ ‎20.已知函数y＝f（x）＝。‎ ‎（1）求y＝f（x）的最大值；‎ ‎（2）设实数a>0，求函数F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）令＝0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；‎ ‎（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.‎ 试题解析：（1）＝.‎ 令＝0得x＝e.‎ 因为当x∈（0，e）时，>0，f（x）在（0，e）上为增函数；‎ 当x∈（e，＋∞）时，<0，f（x）在（e，＋∞）上为减函数，‎ 所以f（x）max＝f（e）＝。‎ ‎（2）因为a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，‎ 在（e，＋∞）上单调递减，‎ 所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。‎ 因为F（a）－F（2a）＝，‎ 所以当02时，F（a）－F（2a）>0，F（x）min＝F（2a）＝ln2a ‎21.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，，结合点在椭圆上及，即可求得椭圆的方程；（2）设，则，联立直线与椭圆的方程，求得，，根据得所在直线方程，即可分别得到与的坐标，结合为直角，列出等式，即可求解.‎ 试题解析：（1）依题意，.‎ ‎∵点在上，‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）假设存在这样的点，设，则，联立，解得，‎ ‎∵‎ ‎∴所在直线方程为，‎ ‎∴，‎ 同理可得，，‎ ‎.‎ ‎∴或 ‎∴存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或．‎ 点睛： （1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．解题时可先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；‎ ‎（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程：‎ ‎（2）若与相交于A、B两点，求的面积．‎ ‎【答案】(1) 的普通方程为， 的直角坐标方程为； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程； （2）求出原点O到直线x+y-3=0的距离为d，化C2的参数方程为普通方程x2+（y-2）2=4，可得C2表示圆心为C2（0，2），半径r=2的圆，求出C2到直线x+y-3=0的距离，再由垂径定理求得|AB|，代入三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】解：（1）消去参数可得的普通方程为， ‎ 由，得，‎ 又因为，， ‎ 所以的直角坐标方程为.‎ ‎（2）标准方程为，表示圆心为，半径的圆．‎ 到直线的距离，‎ 故.‎ 原点O到直线的距离 所以.‎ 综上，的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎23.已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集;‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ．(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值后分别解不等式即可； （2）x∈（0，1）时，不等式f（x）＜x+2恒成立等价于当x∈（0，1）时，|ax-1|＜1恒成立，然后分a≤0和a＞0讨论即可．‎ ‎【详解】解：（1）解法1：当时，不等式可化简为.‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，，无解；‎ 当时，，解得，所以﹒‎ 综上，不等式的解集为． ‎ 解法2：当时，‎ 当时，，解得，所以；‎ 当时，，无解；‎ 当时，，解得，所以．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）解法1：当时，不等式可化简为.‎ 令，则的图像为过定点斜率为a的一条直线， ‎ 数形结合可知，当时，在上恒成立.‎ 所以，所求a的取值范围为 解法2：当时，不等式可化简为.‎ 由不等式的性质得或，‎ 即或.‎ 当时，，不等式不恒成立；‎ 为使不等式恒成立，则.‎ 综上，所求a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．‎ ‎ ‎