云南省玉龙纳西族自治县田家炳民族中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题

云南省玉龙纳西族自治县田家炳民族中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题

高一数学月考试卷 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.在△ABC中,已知，则角A=（ ）‎ A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形大边对大角，可得选项.‎ ‎【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.‎ ‎2.在等比数列中，若，则等于( )‎ A. B. ‎-2 ‎C. D. ±2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，然后算出即可.‎ ‎【详解】因为数列是等比数列，所以，所以 故选：B ‎【点睛】本题考查的是等比数列的性质，较简单.‎ ‎3.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )‎ A. 9 B. ‎12 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项性质即可得出．‎ ‎【详解】解：∵{an} 是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．‎ ‎∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．‎ ‎4.在三角形中，，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理 ‎5.数列（ ）‎ A. 既不是等差数列又不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 是等差数列但不是等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 数列是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数，符合等差数列的定义，所以数列是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为的项，所以数列不是等比数列，故选D.‎ ‎6.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若 ，则是( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．‎ ‎7.设内角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用余弦定理求解即可 详解：由余弦定理：‎ ‎，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 点睛：本题考查余弦定理的应用，属基础题.‎ ‎8.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）‎ A. 6 海里 B. 6海里 C. 8海里 D. 8海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，‎ ‎∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.‎ 在△ABC中，由正弦定理得，‎ 即，∴.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.‎ ‎9.已知等比数列{an}中，，为方程x2－10x＋16＝0的两根，则的值为（ ）‎ A. 32 B. ‎64 ‎C. 256 D. ±64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，所以，，应选B 考点：等比数列的性质.‎ ‎10.设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A. 60 B. ‎45 ‎C. 36 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求，再用即可 ‎【详解】解：‎ 又，，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查了等差数列性质的应用，属于基础题.‎ ‎11.设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）‎ A. 31 B. ‎32 ‎C. 63 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ 解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，‎ 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，‎ 即3，12，S6﹣15成等比数列，‎ 可得122=3（S6﹣15），‎ 解得S6=63‎ 故选C 考点：等比数列的前n项和．‎ ‎12.在中，若，则最大角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，然后可设，然后由余弦定理可算出答案.‎ ‎【详解】因为 所以可设 所以最大角为C，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查的是用余弦定理解三角形，较简单.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.写出数列：的一个通项公式 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在数列的前项中，分母为正整数数列，分子为，奇数项为正，偶数项为负，所以该数列的通项公式可写为.‎ 考点：数列的通项公式.‎ ‎14.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边长之比为8∶5,则这个三角形的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设另两边长分别为8x,5x,由余弦定理求出x的值，即得个三角形的面积.‎ ‎【详解】设另两边长分别为8x,5x,‎ 则由余弦定理得,‎ 解得或(舍去),‎ 则另两边长分别为16,10,‎ 所以三角形的面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.已知数列中，，，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件算出，然后即可求出.‎ ‎【详解】由可得数列是公差为3的等差数列 所以 令可得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是等差数列通项公式的基本运算，较简单.‎ ‎16.已知数列前项和，则的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的关系式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，数列前项和，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，适合上式，所以的通项公式为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ 三、解答题（本大题共70分）‎ ‎17.已知数列是等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）求的前n项和的最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）当时，最小，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列前项和的性质可得，，算出，，然后再算出即可；‎ ‎（2）求出，然后利用二次函数的知识可得答案.‎ ‎【详解】（1）因为数列是等差数列，所以，‎ 所以，，所以 所以 ‎（2）‎ 所以由二次函数的知识可得当时，最小，最小值为 ‎【点睛】本题考查的是等差数列通项公式和前项和的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.‎ ‎18.求和：.‎ ‎【答案】分情况讨论，答案见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分、、且三种情况讨论，每种情况下利用等差等比数列的前项和公式求出答案即可.‎ ‎【详解】当时，‎ 当时，‎ 当且时，‎ ‎【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.‎ ‎19.‎ 一海轮以20海里/小时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上．求：‎ ‎① 船在B点时与灯塔P的距离．‎ ‎② 已知以点P为圆心，55海里为半径的圆形水城内有暗礁，那么这船继续向正东航行，有无触礁的危险？‎ ‎【答案】（1） (2)有触礁危险.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】如图：‎ 在△ABP中，‎ 由正弦定理得：‎ ‎(2)过P作PDAB，D为垂足．‎ ‎＜55 ‎ 故继续航行有触礁危险.‎ ‎20.已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，成等差数列可得，然后结合公比为2求出即可；‎ ‎（2）直接根据公式求出答案即可.‎ ‎【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列 所以，所以，解得 所以 ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎21.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎22.已知数列为等差数列，且，．‎ ‎(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．‎ ‎（3）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析 ；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)∵数列等差数列,设公差为, …………………… 1分 由,得,,‎ ‎∴， …………………… 3分 ‎. …………………… 4分 ‎(2)∵, …………………… 5分 ‎∴， …………………… 6分 ‎∴数列是首项为9，公比为9等比数列 . …………………… 8分 ‎（3）∵，，‎ ‎∴………………… 10分 ‎∴………… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．‎ 点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，‎