成都市高三二轮复习文科数学（十五） 圆锥曲线的方程与性质

成都市高三二轮复习文科数学（十五） 圆锥曲线的方程与性质

第 14 页 共 14 页 成都市高三二轮复习文科数学（十五） 圆锥曲线的方程与性质 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年 份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 双曲线的渐近线与离心率的关系·T10‎ 抛物线和椭圆的焦点·T9‎ 双曲线的标准方程及几何性质·T10‎ 椭圆的定义及标准方程·T12‎ 圆、双曲线的标准方程和几何性质·T12‎ 椭圆的方程及性质·T15‎ ‎2018‎ 椭圆的几何性质·T4‎ 双曲线的几何性质·T6‎ 双曲线的几何性质及点到直线的距离·T10‎ 椭圆的定义及几何性质·T11‎ ‎2017‎ 双曲线的性质、三角形的面积公式·T5‎ 双曲线的几何性质·T5‎ 双曲线的标准方程、渐近线方程·T14‎ ‎(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～11题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等.‎ ‎(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大.‎ 圆锥曲线的定义及标准方程 ‎[例1]　(1)(2019·重庆市学业质量调研)已知抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，且该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，则该双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1　　　B.x2－＝‎1 C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝‎1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析]　(1)由题意知，抛物线y2＝－4x的准线l：x＝，因为抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1的一个焦点F，所以F(，0)，所以a2＋b2＝5，因为该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，所以－2＝－，所以b＝‎2a，可得a＝1，b＝2，所以该双曲线的方程为x2－＝1，故选B.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝‎4a.‎ ‎∵ |AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴ |AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴ |AF1|＋3|AF2|＝‎4a.‎ 又∵ |AF1|＋|AF2|＝‎2a，∴ |AF1|＝|AF2|＝a，∴ 点A是椭圆的短轴端点，如图.‎ 不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B.‎ 由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴ 椭圆C的方程为＋＝1.故选B.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)B ‎[解题方略]‎ ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝‎2a(‎2a＞|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝‎2a(‎2a＜|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).‎ ‎2.圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.‎ ‎(1)定型.就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.‎ ‎(2)计算.即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0).‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎1.(2019·陕西西安八校联考)如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点.点P为劣弧上不同于A，B的一个动点且不在x轴上，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)‎ A.(10，12) B.(12，14) C.(10，14) D.(9，11)‎ 解析：选A　法一：(常规法)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，圆C：(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5.抛物线W的准线l：x＝－1，焦点为C(1，0).‎ 由抛物线的定义可得|QC|＝x2＋1，则△PQC的周长为|QC|＋|PQ|＋|PC|＝x2＋1＋(x1－x2)＋5＝6＋x1.‎ 由得A(4，4)，则x1∈(4，6)，所以6＋x1∈(10，12)，于是△PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.‎ 法二：(临界点法)平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|＝5可知△PQC的周长趋于2×5＝10；‎ 第 14 页 共 14 页 当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1，0)及圆的半径为5，可知△PQC的周长趋于2×(1＋5)＝12.‎ 综上可知，△PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.‎ ‎2.(2019·江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.‎ 解析：化双曲线的方程为－＝1，则a＝b＝，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝‎2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.答案： ‎3.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________.‎ 解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得，|PF′|＝＝8，由椭圆的定义得，|PF|＋|PF′|＝‎2a＝14，解得a＝7，a2＝49，b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝1‎ 圆锥曲线的几何性质 ‎[例2]　(1)(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C.2 D. ‎(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　(1)由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝‎2a，所以b2＝‎4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝‎5a2，所以e＝＝.故选D.‎ ‎(2)∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，∴F1(－c，0)，F2(c，0)，c2＝a2－b2.‎ 设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.‎ 第 14 页 共 14 页 联立方程组整理得，x2＝(‎2c2－a2)·≥0，解得e≥.又0＜e＜1，∴≤e＜1.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)B ‎[解题方略]‎ ‎1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法:求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.‎ ‎2.双曲线的渐近线的求法及用法 ‎(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.(2)用法：①可得或的值.‎ ‎②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·兰州市诊断考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为(　　)‎ A.8 B‎.4‎ ‎ C.2 D. 解析：选B　由题意知‎2a＝4，所以a＝2.因为e＝＝，所以c＝2，所以b＝＝2，所以2b＝4，即该双曲线的虚轴长为4，故选B.‎ ‎2.(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为(　　)‎ A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 解析：选D　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.‎ ‎3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B‎.4 ‎‎ C.6 D.8‎ 解析：选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去).‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.‎ 直线与圆锥曲线 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎[例3]　(1)已知直线x＝1过椭圆＋＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A.k∈ B.k∈∪ C.k∈ D.k∈∪ ‎(2)若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为(　　)‎ A.± B.±‎2 C.±1 D.± ‎[解析]　(1)由题意可得4－b2＝1，即b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.‎ 由可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)≤0，解得－≤k≤.故选A.‎ ‎(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝‎2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(‎2m)2＝5，∴m＝±1. [答案]　(1)A　(2)C ‎[解题方略]‎ ‎1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定 通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.‎ ‎2.直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论 直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.‎ 题型二　直线与圆锥曲线的弦长 ‎[例4]　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左、右焦点F1，F2间的距离为4，过动点P的直线PF 第 14 页 共 14 页 ‎1和PF2与椭圆E的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，若|AB|＋|CD|＝6，求k1k2的值.‎ ‎[解]　(1)由题意得易知c＝2，所以a＝2，b＝c＝2.所以椭圆E的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为直线AB的斜率为k1，且直线AB过F1(－2，0)，所以直线AB的方程为y＝k1(x＋2).‎ 由消去y并整理，得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|AB|＝·＝·＝4·. 同理可得|CD|＝4·.‎ 因为|AB|＋|CD|＝6，所以4·＋4·＝6，即2＝3，‎ 去分母得2(k＋1)(2k＋1)＋2(k＋1)(2k＋1)＝3(2k＋1)(2k＋1)，化简得kk＝，即k1k2＝±.‎ ‎[解题方略]　直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝·＝·＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝ 求之.‎ ‎[跟踪训练]‎ 已知点M在椭圆G：＋＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.‎ 解：(1)∵‎2a＝4，∴a＝2.又点M在椭圆上，∴＋＝1，解得b2＝4，‎ ‎∴椭圆G的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋‎3m2‎－12＝0.　①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A.2　　　　　　　 B.3‎ C.4 D.8‎ ‎2.一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)‎ 第 14 页 共 14 页 A. B. C. D. ‎5.(2019·石家庄市模拟(一))已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C.2 D. 二、填空题 ‎7.(2019·北京通州区三模改编)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与双曲线x2－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________.‎ ‎8.设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为________.‎ ‎9.已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若·<0，则y0的取值范围是________.‎ 三、解答题 ‎10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎11.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.‎ ‎12.(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F‎1M∥F2N，直线F‎1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值.‎ B组——大题专攻强化练 ‎1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎2.在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.‎ ‎3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若x轴上的一点E满足|AE|＝|BE|，试求出点E的横坐标的取值范围.‎ ‎4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.‎ 第 14 页 共 14 页 ‎1解析：选D　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.‎ 由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.‎ ‎2解析：选B　设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.‎ ‎3解析：选D　设圆M的半径为r，则|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C‎1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(－4，0)为焦点的椭圆，且‎2a＝16，a＝8，c＝4，则b2＝a2－c2＝48，所以点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎4解析：选B　由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以 |OP|＝|OF|＝3.‎ 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，‎ 所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.故选B.‎ ‎5解析：选B　∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝‎ 第 14 页 共 14 页 c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B.‎ ‎6解析：选A　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.‎ ‎7解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，双曲线x2－＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此×2p×＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为＝.答案：2　 ‎8解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，∴交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|＝，由△PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P有2个.答案：2‎ ‎9解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，‎ 则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0).∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y<0，∴－0)，M′(x2，y2).‎ ‎∵F‎1M∥F2N，∴根据对称性，得N(－x2，－y2).‎ 联立得消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由题意知x1>x2，∴x1＝－，x2＝－，‎ k1＝＝＝，k2＝＝＝－，‎ ‎∴3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值为0.‎ ‎1解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，‎ 故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0).由 得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，‎ 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得2k＋1＝0，解得k＝－.‎ 所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.‎ ‎2解：(1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，‎ 所以得由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，‎ 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).‎ 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，‎ 第 14 页 共 14 页 则x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，‎ 即＋＝1，解得k2＝2.此时直线l的方程为y＝±x＋1.‎ ‎3解：(1)由已知得＝，‎2c＝2，所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝8.所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G(x0，y0).‎ 设点E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，则EG⊥AB.由得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，‎ x1＋x2＝－，所以x0＝，y0＝kx0＋2＝，‎ 因为EG⊥AB，所以kEG＝－，即＝－，所以m＝＝，‎ 当k>0时，9k＋≥2＝12，所以－≤m<0；当k<0时，9k＋≤－12，所以00⇔b>，x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为OP⊥OQ，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，‎ ‎5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，从而－＋4＝0，解得b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0，椭圆C的方程为＋y2＝1.‎