2020高中数学 章末综合测评2 随机变量及其分布 新人教A版选修2-3
章末综合测评(二) 随机变量及其分布
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法不正确的是( )
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
C [公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.]
2．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
【导学号：95032222】
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
B [依题意知，用电单位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.]
3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1,2,3，则m的值为( )
A. B.
C. D.
B [P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.]
4．已知ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
2
P
则ξ的均值为( )
A．0 B．－1
C． D．
D [E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.]
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5．一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )
【导学号：95032223】
A. B.
C. D．1
B [P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.]
6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C． D.
C [由正态分布密度曲线上的最高点知＝，即σ＝，
∴D(X)＝σ2＝.]
7．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于( )
【导学号：95032224】
A．30 B．16
C．36 D．10
C [因为ξ～B，所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，则n＝30，所以η～B.故E(η)＝30×＝10.
∴E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36]
8．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于( )
(注：P(μ－2σ
80)＝(1－0.954 5)≈0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．]
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关.
【导学号：95032228】
②④ [从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，则P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.]
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
[解] 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1,2,3)相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，则P( A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
法一 (直接法)因为C＝A1＋B1＋A1B1，且A1，B1，A1B1彼此互斥，
所以P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.
法二 (间接法)P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.
所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
18．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.
【导学号：95032229】
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
[解] 工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y
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)，可见乙的技术比较稳定．
19．(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
20.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
[解] (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
P＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
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故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
21．(本小题满分12分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【导学号：95032230】
[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一(公式法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：(直接法)因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
22．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为
，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
(1)求该海产品不能销售的概率；
(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ).
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【导学号：95032231】
[解] (1)设“该海产品不能销售”为事件A，
则P(A)＝1－×＝.
所以，该海产品不能销售的概率为.
(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.
P(ξ＝－320)＝＝，
P(ξ＝－200)＝C××＝，
P(ξ＝－80)＝C××＝，
P(ξ＝40)＝C××＝，
P(ξ＝160)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
－320
－200
－80
40
160
P
E(ξ)＝－320×－200×－80×＋40×＋160×＝40.
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