2014年辽宁省高考数学试卷（理科）

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）

‎2014年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣‎ ‎8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（　　）‎ A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0‎ ‎9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，]上单调递减 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：‎ ‎①f（0）=f（1）=0；‎ ‎②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．‎ ‎13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=　 　．‎ ‎14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是　 　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　 　．‎ ‎16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎20．（12分）圆x2+y2‎ ‎=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）‎ g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.‎ ‎22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎　‎ 不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎　‎ ‎2014年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．‎ ‎【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，‎ ‎∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．‎ ‎【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：‎ ‎，‎ ‎∴z=2+3i．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵0＜a=＜20=1，‎ b=log2＜log21=0，‎ c=log=log23＞log22=1，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；‎ B．运用线面垂直的性质，即可判断；‎ C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；‎ D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．‎ ‎【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；‎ B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；‎ D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•‎ ‎=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，‎ 若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，‎ 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．‎ ‎【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，‎ 其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣，‎ 柱体的高h=2，‎ 故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（　　）‎ A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0‎ ‎【分析】由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，‎ 又数列{2}为递减数列，‎ ‎∴=＜1，‎ ‎∴a1d＜0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，]上单调递减 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．‎ ‎【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．‎ 即y=3sin（2x﹣）．‎ 当函数递增时，由，得．‎ 取k=0，得．‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，‎ 即准线方程为：x=﹣2，‎ ‎∴p＞0，=﹣2即p=4，‎ ‎∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，‎ 设切点B（m，n），则n=2，‎ 又导数y′=2，则在切点处的斜率为，‎ ‎∴即m=2m，‎ 解得=2（舍去），‎ ‎∴切点B（8，8），又F（2，0），‎ ‎∴直线BF的斜率为，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．‎ ‎【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；‎ 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，‎ 令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），‎ 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，‎ f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；‎ 当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，‎ 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；‎ 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：‎ ‎①f（0）=f（1）=0；‎ ‎②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|‎ f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，‎ 依题意可设k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．‎ 当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；‎ 当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；‎ 当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；‎ 当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；‎ 综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，‎ ‎∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，‎ ‎∴m≥，即m的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．‎ ‎13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=　　．‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件|y﹣x|＜1，计算输出y的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4＞1；‎ 第二次循环x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；‎ 第三次循环x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，‎ 满足条件|y﹣x|＜1，跳出循环，输出y=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是　　．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　12　．‎ ‎【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．‎ ‎【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，‎ ‎∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，‎ ‎∴|AN|+|BN|=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为　﹣2　．‎ ‎【分析】首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，‎ ‎∴=‎ 由柯西不等式得，‎ ‎[][]=|2a+b|2‎ 故当|2a+b|最大时，有 ‎∴‎ ‎∴﹣+===，‎ 当b=时，取得最小值为﹣2．‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；‎ ‎（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，‎ ‎∴c•acosB=2，即ac=6①，‎ ‎∵b=3，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，‎ ‎∴a2+c2=13②，‎ 联立①②得：a=3，c=2；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，‎ 由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，‎ ‎∵a=b＞c，∴C为锐角，‎ ‎∴cosC===，‎ 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；‎ ‎（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”‎ B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，‎ 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，‎ P（A2）=0.003×50=0.15，‎ P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，‎ ‎（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为X～B（3，0.6），‎ 所以期望E（X）=3×0.6=1.8，‎ 方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．‎ ‎【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此•=0，所以EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量 ‎=（x，y，z），依题意，可求得一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），‎ 由得其中一个=（1，﹣，1），‎ 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos＜，＞|=||=，‎ 因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．‎ ‎【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣‎ ‎=1过点P且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则切线的斜率为，‎ 可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4．‎ 令x=0，可得；令y=0，可得．‎ ‎∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S==．‎ ‎∵4=，当且仅当时取等号．‎ ‎∴．此时P．‎ 由题意可得，，解得a2=1，b2=2．‎ 故双曲线C1的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点（±，0），即为椭圆C2的焦点．‎ 可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．‎ 把P代入可得，解得=3，‎ 因此椭圆C2的方程为．‎ 由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化为，‎ ‎∴，．‎ ‎∴x1+x2==，‎ x1x2==．‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴+，‎ ‎∴，解得m=或m=，‎ 因此直线l的方程为：或．‎ ‎【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）‎ g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据x∈（0，）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数，‎ 再根据f（0）＞0，f（）＜0，得出此结论；‎ ‎（Ⅱ）构造函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，‎ 令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t1∈（0，），‎ 即证g（x）存在唯一的零点x1∈（，π），满足x0+x1＜π．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，‎ ‎∴函数f（x）在（0，）上为减函数，‎ 又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π2﹣＜0；‎ ‎∴存在唯一的x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈[，π]，‎ 令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，‎ 记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），‎ 则u′（t）=﹣•‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=，‎ 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；‎ 在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，‎ ‎∴u（t）在（0，x0]上无零点；‎ 在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，‎ ‎∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；‎ ‎∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；‎ ‎∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；‎ ‎∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，‎ ‎∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，‎ ‎∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.‎ ‎22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；‎ ‎（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，‎ ‎∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，‎ ‎∵∠PGD=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，‎ ‎∴∠BDA=∠PFA，‎ ‎∵AF⊥EP，‎ ‎∴∠PFA=90°．‎ ‎∴∠BDA=90°，‎ ‎∴AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）连接BC，DC，则 ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BDA=∠ACB=90°，‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△ACB，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA，‎ ‎∵∠DCB=∠DAB，‎ ‎∴∠DCB=∠CBA，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∵AB⊥EP，‎ ‎∴DC⊥EP，‎ ‎∴∠DCE为直角，‎ ‎∴ED为圆的直径，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴AB=ED．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．‎ ‎（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），‎ 则线段P1P2的中点坐标为（，1），‎ 再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．‎ 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，‎ 即 ρ=．‎ ‎【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．‎ ‎　‎ 不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或 ②．‎ 解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．‎ 综上，原不等式的解集为[0，]．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，‎ ‎∴N=[﹣，]，‎ ‎∴M∩N=[0，]．‎ ‎∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，‎ ‎∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，‎ 故要证的不等式成立．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎