2013年湖南省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2013年湖南省高考数学试卷(理科)

‎2013年湖南省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)复数z=i•(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.(5分)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(  )‎ A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 ‎3.(5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则x+2y的最大值是(  )‎ A. B.0 C. D.‎ ‎5.(5分)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎6.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎8.(5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,第小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分)(二)必做题(12~16题)‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:,(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为  .‎ ‎10.(5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为  .‎ ‎11.(5分)如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为  .‎ ‎12.(5分)若x2dx=9,则常数T的值为  .‎ ‎13.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为  .‎ ‎14.(5分)设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为  .‎ ‎15.(5分)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(﹣1)nan﹣,n∈N*,则 ‎(1)a3=  ;‎ ‎(2)S1+S2+…+S100=  .‎ ‎16.(5分)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.‎ ‎(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为  .‎ ‎(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是  .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①∀x∈(﹣∞,1),f(x)>0;‎ ‎②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;‎ ‎③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知函数f(x)=sin(x﹣)+cos(x﹣),g(x)=2sin2.‎ ‎(Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;‎ ‎(Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.‎ ‎18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;‎ ‎(II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ ‎19.(12分)如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC⊥B1D;‎ ‎(Ⅱ)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.‎ ‎20.(13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(﹣10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ ‎21.(13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.‎ ‎(Ⅰ)若k1>0,k2>0,证明:;‎ ‎(Ⅱ)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.‎ ‎22.(13分)已知a>0,函数.‎ ‎(Ⅰ)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2013年湖南省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•湖南)复数z=i•(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【分析】化简复数z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案.‎ ‎【解答】解:z=i•(1+i)=﹣1+i,‎ 故复数z对应的点为(﹣1,1),‎ 在复平面的第二象限,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•湖南)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(  )‎ A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.‎ ‎【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为500:500=1:1,所抽取的比例也是1:1.‎ 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,2asinB=b,‎ ‎∴由正弦定理==2R得:2sinAsinB=sinB,‎ ‎∴sinA=,又△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴A=.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•湖南)若变量x,y满足约束条件,则x+2y的最大值是(  )‎ A. B.0 C. D.‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,可得当x=,y=时,x+2y取得最大值为.‎ ‎【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,‎ 得到如图的△ABC及其内部,其中A(﹣,﹣1),B(,),C(2,﹣1)‎ 设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,‎ 当l经过点B时,目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F(,)=‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•湖南)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象的交点个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案.‎ ‎【解答】解:在同一坐标系下,画出函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2﹣4x+5的图象如图:‎ 由图可知,两个函数图象共有2个交点 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•湖南)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】令,,,作出图象,根据图象可求出的最大值、最小值.‎ ‎【解答】解:令,,,‎ 如图所示:则,‎ 又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,‎ 易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,‎ 所以的取值范围为[﹣1,+1].‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出.‎ ‎【解答】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为1;当正视图为对角面时,其面积最大为.‎ 因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为.‎ 因此可知:A,B,D皆有可能,而<1,故C不可能.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•湖南)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎【分析】建立坐标系,设点P的坐标,可得P关于直线BC的对称点P1的坐标,和P关于y轴的对称点P2的坐标,由P1,Q,R,P2四点共线可得直线的方程,由于过△ABC的重心,代入可得关于a的方程,解之可得P的坐标,进而可得AP的值.‎ ‎【解答】解:建立如图所示的坐标系:‎ 可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,‎ ‎△ABC的重心为(,),设P(a,0),其中0<a<4,‎ 则点P关于直线BC的对称点P1(x,y),满足,‎ 解得,即P1(4,4﹣a),易得P关于y轴的对称点P2(﹣a,0),‎ 由光的反射原理可知P1,Q,R,P2四点共线,‎ 直线QR的斜率为k==,故直线QR的方程为y=(x+a),‎ 由于直线QR过△ABC的重心(,),代入化简可得3a2﹣4a=0,‎ 解得a=,或a=0(舍去),故P(,0),故AP=‎ 故选D ‎ ‎ 二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,第小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分)(二)必做题(12~16题)‎ ‎9.(2013•湖南)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:,(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为 3 .‎ ‎【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程,求出椭圆的右顶点,代入直线方程即可求得a的值.‎ ‎【解答】解:由直线l:,得y=x﹣a,‎ 再由椭圆C:,得,‎ ‎①2+②2得,.‎ 所以椭圆C:的右顶点为(3,0).‎ 因为直线l过椭圆的右顶点,所以0=3﹣a,所以a=3.‎ 故答案为3.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•湖南)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2‎ 的最小值为 12 .‎ ‎【分析】根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)(a2+4b2+9c2)=3(a2+4b2+9c2),化简得a2+4b2+9c2≥12,由此可得当且仅当a=2,b=1,c=时,a2+4b2+9c2的最小值为12.‎ ‎【解答】解:∵a+2b+3c=6,‎ ‎∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]‎ 化简得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2)‎ ‎∴a2+4b2+9c2≥12,‎ 当且仅当a:2b:3c=1:1:1时,即a=2,b=1,c=时等号成立 由此可得:当且仅当a=2,b=1,c=时,a2+4b2+9c2的最小值为12‎ 故答案为:12‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•湖南)如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为  .‎ ‎【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长,再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离,注意计算的正确率.‎ ‎【解答】解:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD,‎ ‎∴2×2=CP•1,‎ 解得:CP=4,又PD=1,‎ ‎∴CD=5,‎ 又⊙O的半径为,‎ 则圆心O到弦CD的距离为d===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•湖南)若x2dx=9,则常数T的值为 3 .‎ ‎【分析】利用微积分基本定理即可求得.‎ ‎【解答】解:==9,解得T=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为 9 .‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累加a值,并判断满足a>8时输出a的值.‎ ‎【解答】解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示:‎ 是否继续循环 a b 循环前/1 2‎ 第一圈 是 3 2‎ 第二圈 是 5 2‎ 第三圈 是 7 2‎ 第四圈 是 9 2‎ 第五圈 否 故最终输出的a值为9.‎ 故答案为:9.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•湖南)设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为  .‎ ‎【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为30°结合余弦定理,求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:因为F1、F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a,‎ 不妨设P是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a,‎ ‎∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°,由余弦定理,‎ ‎∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2,‎ 即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×,‎ ‎∴c2﹣2ca+3a2=0,‎ ‎∴c=a 所以e==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2013•湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(﹣1)nan﹣,n∈N*,则 ‎(1)a3= ﹣ ;‎ ‎(2)S1+S2+…+S100=  .‎ ‎【分析】(1)把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论,由此求出首项和n≥2时的关系式.对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式,则a3可求;‎ ‎(2)把(1)中求出的数列的通项公式代入,n∈N*‎ ‎,则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果.‎ ‎【解答】解:由,n∈N*,‎ 当n=1时,有,得.‎ 当n≥2时,.‎ 即.‎ 若n为偶数,则.‎ 所以(n为正奇数);‎ 若n为奇数,则=.‎ 所以(n为正偶数).‎ 所以(1).‎ 故答案为﹣;‎ ‎(2)因为(n为正奇数),所以﹣,‎ 又(n为正偶数),所以.‎ 则.‎ ‎,.‎ 则.‎ ‎…‎ ‎.‎ 所以,S1+S2+S3+S4+…+S99+S100‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2013•湖南)设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.‎ ‎(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为 {x|0<x≤1} .‎ ‎(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①∀x∈(﹣∞,1),f(x)>0;‎ ‎②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;‎ ‎③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.‎ ‎【分析】(1)由集合M中的元素满足的条件,得到c≥a+b=2a,求得的范围,解出函数f(x)=ax+bx﹣cx的零点,利用不等式可得零点x的取值集合;‎ ‎(2)对于①,把函数式f(x)=ax+bx﹣cx变形为,利用指数函数的单调性即可证得结论成立;‎ 对于②,利用取特值法说明命题是正确的;‎ 对于③,由△ABC为钝角三角形说明f(2)<0,又f(1)>0,由零点的存在性定理可得命题③正确.‎ ‎【解答】解:(1)因为c>a,由a,b,c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a,所以,则.‎ 令f(x)=ax+bx﹣cx=.‎ 得,所以.‎ 又∵>1,则ln>0,所以x=>0,‎ 所以0<x≤1.‎ 故答案为{x|0<x≤1};‎ ‎(2)①因为,‎ 又,‎ 所以对∀x∈(﹣∞,1),.‎ 所以命题①正确;‎ ‎②令x=﹣1,a=2,b=4,c=5.则ax=,bx=,cx=.不能构成一个三角形的三条边长.‎ 所以命题②正确;‎ ‎③若三角形为钝角三角形,则a2+b2﹣c2<0.‎ f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a2+b2﹣c2<0.‎ 所以∃x∈(1,2),使f(x)=0.‎ 所以命题③正确.‎ 故答案为①②③.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2013•湖南)已知函数f(x)=sin(x﹣)+cos(x﹣),g(x)=2sin2.‎ ‎(Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;‎ ‎(Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.‎ ‎【分析】(1)利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式,可得f(α)的解析式,再根据f(α)=,求得cosα的值,从而求得g(α)=2sin2=1﹣cosα的值.‎ ‎(2)由不等式可得 sin(x+)≥,解不等式 2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈z,求得x的取值集合.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx,‎ 所以f(α)=sinα=,所以sinα=.‎ 又α∈(0,),所以cosα=,‎ 所以g(α)=2sin2=1﹣cosα=.‎ ‎(2)由f(x)≥g(x)得sinx≥1﹣cosx,‎ 所以sinx+cosx=sin(x+)≥.‎ 解2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈z,求得2kπ≤x≤2kπ+,k∈z,‎ 所以x的取值范围为〔2kπ,2kπ+〕k∈z.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;‎ ‎(II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ ‎【分析】‎ ‎(I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近”的概率;‎ ‎(II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望.‎ ‎【解答】解:(I)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8,∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率为=;‎ ‎(II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ‎∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4)‎ ‎∴只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3‎ 由P(X=k)=得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==‎ ‎∴所求的分布列为 ‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎ 45‎ ‎ 42‎ ‎ P 数学期望为E(Y)=51×+48×+45×+42×=46‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•湖南)如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC⊥B1D;‎ ‎(Ⅱ)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.‎ ‎【分析】(I)根据直棱柱性质,得BB1⊥平面ABCD,从而AC⊥BB1,结合BB1∩BD=B,证出AC⊥平面BB1D,从而得到AC⊥B1D;‎ ‎(II)根据题意得AD∥B1C1,可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角.连接A1D,利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D,从而可得AD1⊥B1D.由AC⊥B1D,可得B1D⊥平面ACD1,从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余.在直角梯形ABCD中,根据Rt△ABC∽Rt△DAB,算出AB=,最后在Rt△AB1D中算出B1D=,可得cos∠ADB1=,由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.‎ ‎【解答】解:(I)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1,‎ 又∵AC⊥BD,BB1、BD是平面BB1D内的相交直线 ‎∴AC⊥平面BB1D,‎ ‎∵B1D⊂平面BB1D,∴AC⊥B1D;‎ ‎(II)∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1,‎ 由此可得:直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成 的角(记为θ),连接A1D,‎ ‎∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠B1A1D1=90°,‎ ‎∴B1A1⊥平面A1D1DA,结合AD1⊂平面A1D1DA,得B1A1⊥AD1‎ 又∵AD=AA1=3,∴四边形A1D1DA是正方形,可得AD1⊥A1D ‎∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线,∴AD1⊥平面A1B1D,可得AD1⊥B1D,‎ 由(I)知AC⊥B1D,结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1,从而得到∠ADB1=90°﹣θ,‎ ‎∵在直角梯形ABCD中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此,,可得AB==‎ 连接AB1,可得△AB1D是直角三角形,‎ ‎∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21,B1D=‎ 在Rt△AB1D中,cos∠ADB1===,‎ 即cos(90°﹣θ)=sinθ=,可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2013•湖南)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(﹣10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ ‎【分析】(I)根据“L路径”的定义,可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值;‎ ‎(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值,分类讨论,利用绝对值的几何意义,即可求得点P的坐标.‎ ‎【解答】解:设点P的坐标为(x,y),则 ‎(I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|,y∈[0,+∞);‎ ‎(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值 ‎①当y≥1时,d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|‎ ‎∵d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24‎ ‎∴当且仅当x=3时,d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24‎ ‎∵d2(y)=2|y|+|y﹣20|≥21‎ ‎∴当且仅当y=1时,d2(y)=2|y|+|y﹣20|的最小值为21‎ ‎∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45;‎ ‎②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|‎ 此时d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|,d2(y)=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21‎ 由①知d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2013•湖南)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.‎ ‎(Ⅰ)若k1>0,k2>0,证明:;‎ ‎(Ⅱ)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,写出两条直线的方程,由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标,求出向量和的坐标,求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式,利用基本不等式放缩后可证得结论;‎ ‎(Ⅱ)利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径,结合(Ⅰ)中求出的圆M和圆N的圆心的坐标,写出两圆的方程,作差后得到两圆的公共弦所在直线方程,由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离,利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式,配方后求出最小值,由最小值等于求出p的值,则抛物线E的方程可求.‎ ‎【解答】解:(I) 由题意,抛物线E的焦点为,直线l1的方程为.‎ 由,得.‎ 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.‎ 从而x1+x2=2pk1,.‎ 所以点M的坐标为,.‎ 同理可得点N的坐标为,.‎ 于是.‎ 由题设k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<.‎ 故.‎ ‎(Ⅱ)由抛物线的定义得,,‎ 所以,从而圆M的半径.‎ 故圆M的方程为,‎ 化简得.‎ 同理可得圆N的方程为 于是圆M,圆N的公共弦所在的直线l的方程为.‎ 又k2﹣k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.‎ 因为p>0,所以点M到直线l的距离为 ‎=.‎ 故当时,d取最小值.由题设,解得p=8.‎ 故所求抛物线E的方程为x2=16y.‎ ‎ ‎ ‎22.(13分)(2013•湖南)已知a>0,函数.‎ ‎(Ⅰ)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(I)利用绝对值的几何意义,分类讨论,结合导数确定函数的单调性,从而可得g(a)的表达式;‎ ‎(II)利用曲线y=f(x)在两点处的切线互相垂直,建立方程,从而可转化为集合的运算,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:(I)当0≤x≤a时,;当x>a时,‎ ‎∴当0≤x≤a时,,f(x)在(0,a)上单调递减;‎ 当x>a时,,f(x)在(a,+∞)上单调递增.‎ ‎①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=‎ ‎②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增 ‎∴g(a)=max{f(0),f(4)}‎ ‎∵f(0)﹣f(4)==‎ ‎∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=,‎ 综上所述,g(a)=;‎ ‎(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;‎ 当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在 两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=﹣1‎ ‎∴•=﹣1‎ ‎∴①‎ ‎∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),‎ ‎∴x1+2a∈(2a,3a),∈(,1)‎ ‎∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(,1)的交集非空 ‎∵,∴当且仅当0<2a<1,即时,A∩B≠∅‎ 综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,).‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wyz123;minqi5;wfy814;ywg2058;沂蒙松;lincy;sxs123;caoqz;刘长柏(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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