数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．抛物线y=4x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（1，0） B． C．（0，1） D．‎ ‎2．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B． C． D．‎ ‎3．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎4．若函数f（x）=ax3+3x2﹣x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（﹣3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（0，+∞）‎ ‎5．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题 ‎6．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）‎ A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]‎ ‎7．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎8．若函数f（x）在（0，+∞）上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则一定有（　　）‎ A．函数F（x）=在（0，+∞）上为增函数 B．函数F（x）=在（0，+∞）上为减函数 C．函数G（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数 D．函数G（x）=xf（x）在（0，+∞）上为减函数 ‎9．若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上最小值为，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．非上述答案 ‎10．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆=1（a1＞b1＞0）的离心率为，双曲线=1（a2＞0，b2＞0）与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2=60°，则双曲线的渐进线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若等比数列{an}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于　　．‎ ‎14．直线l过双曲线=1的右焦点且与双曲线的右支交与A、B两点，‎ ‎|AB|=4，则A、B与双曲线的左焦点所得三角形的周长为　　．‎ ‎15．求曲线y=x3﹣x+1过点（1，1）的切线方程为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+1．‎ ‎（1）f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx区间[﹣2，2]上存在递减区间，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的 中点．‎ ‎（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试 确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．‎ ‎22．（12分）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．抛物线y=4x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（1，0） B． C．（0，1） D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先将抛物线的方程化为标准方程形式x2=y，确定开口方向及p的值，即可得到焦点的坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，‎ ‎∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），‎ 故选B．‎ ‎【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标，一定要先化为标准形式，求出的值，确定开口方向，否则，极易出现错误．‎ ‎　‎ ‎2．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，‎ 又a2+b2=c2，所以b=a，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标，分析正视图的形状，可得答案．‎ ‎【解答】解：（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），‎ 在yOz平面上投影的坐标分别为：（0，0，0），（0，2，0），（0，2，2），（0，0，1），‎ 如下图所示：‎ 即四面体的正视图为上下底长度分别为1，2，高为2的梯形，‎ 其面积S==3，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中画出几何体的正视图是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎4．若函数f（x）=ax3+3x2﹣x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（﹣3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（0，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出f′（x）=3ax2+6x﹣1，由题意得到f′（x）=0有两个不同的实数根，列出等价条件△＞0且a≠0，再进行求解．‎ ‎【解答】解：由题意知，f′（x）=3ax2+6x﹣1，‎ ‎∵函数f（x）=ax3+3x2﹣x恰有3个单调区间，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+6x﹣1=0有两个不同的实数根，‎ ‎∴△=36﹣4×3a×（﹣1）＞0，且a≠0，即a＞﹣3且a≠0，‎ 故实数a的取值范围为：（﹣3，0）∪（0，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数的单调性的关系，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．‎ ‎　‎ ‎5．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（　　）‎ A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题 ‎【考点】全称命题；复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．‎ ‎【解答】解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，‎ 令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，‎ 依据复合命题真假性的判断法则，‎ 得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，‎ 进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．‎ 故答案为C．‎ ‎【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设P为曲线C：y=x2+2x+‎ ‎3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）‎ A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．‎ ‎【解答】解：设点P的横坐标为x0，‎ ‎∵y=x2+2x+3，‎ ‎∴y′=2x0+2，‎ 利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），‎ 又∵，∴0≤2x0+2≤1，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．‎ ‎　‎ ‎7．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）在（0，+∞）上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则一定有（　　）‎ A．函数F（x）=在（0，+∞）上为增函数 B．函数F（x）=在（0，+∞）上为减函数 C．函数G（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数 D．函数G（x）=xf（x）在（0，+∞）上为减函数 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数构造函数y=，其导数为y'=＜0，根据导数可知函数y=在（0，+∞）上是减函数，问题得以解决 ‎【解答】解：因为f（x）＞xf′（x），构造函数y=，其导数为y'=＜0，‎ 又此知函数y=在（0，+∞）上是减函数，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性．本题的难点在于构造出合适的函数．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上最小值为，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．非上述答案 ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】由于f′（x）=﹣=，x∈[1，e]，对a分a≤1与1＜a≤e、a＞‎ e三类讨论，分别求得f（x）min，利用f（x）min=即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=lnx+，‎ ‎∴f′（x）=﹣=，‎ ‎∵x∈[1，e]，‎ ‎∴当a≤1时，f′（x）≥0，f（x）=lnx+在区间[1，e]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=a=与a≤0矛盾，故a≤1不成立，‎ ‎∴a＞1．‎ ‎①若1＜a≤e，f′（x）=，在区间[1，a）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，在区间（a，e]上，f'（x）≥0，函数f（x）单调递增，‎ ‎∴当x=a时，f（x）=lnx+在区间[1，e]上取得极小值f（a），也是最小值，‎ ‎∴f（x）min=f（a）=1na+1=，解得：a=∈[1，e]，满足题意；‎ ‎②若a＞e，f′（x）=＜0，f（x）=lnx+在区间[1，e]上单调递减，‎ ‎∴f（x）min=f（e）=1+=，解得：a=＜e与a＞e矛盾，故a≠，‎ 综上所述，实数a的值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数求函数的极值与最值的应用，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎10．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+‎ y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）‎ ‎∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查定积分知识的运用，确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=1可知图象经过（0，1），以及根据当x＜0，x＞2时原函数值的符号情况，从而可以进行判定．‎ ‎【解答】解：因为f（0）==1，说明函数的图象过（0，1），排除D；‎ 因为当x＞2时，2﹣x＜0，2e﹣x＞0，‎ 所以f（x）=＜0恒成立，‎ 即当x＞2时，函数图象在x轴下方，排除A．‎ 因为当x＜0时，2﹣x＞0，2e﹣x＞0，‎ 所以f（x）=＞0恒成立，‎ 即当x＜0时，函数图象在x轴上方，排除C．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了通过特殊点研究函数的图象，以及函数的图象等基础知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆=1（a1＞b1＞0）的离心率为，双曲线=1（a2＞0，b2＞0）与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2=60°，则双曲线的渐进线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令M在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义，以及余弦定理，离心率公式，得到a1，a2与c的关系，即可得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，‎ 令M在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义|MF1|﹣|MF2|=2a2，①‎ 由椭圆定义|MF1|+|MF2|=2a1，②‎ 又∵∠F1MF2=60°，‎ ‎∴|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|cos60°=4c2，③‎ 由①②得，|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1﹣a2，‎ 代入③，得2（a12+a22）﹣（a12﹣a22）=4c2，‎ 即a12+3a22=4c2，‎ 由，则2c2=a12，a22=c2，‎ 即有b22=c2﹣a22=c2，‎ 则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，考查离心率公式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若等比数列{an}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于　3　．‎ ‎【考点】等比数列；定积分．‎ ‎【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程，求出即可．‎ ‎【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．‎ 又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式an=a1qn﹣1，‎ 令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．‎ ‎　‎ ‎14．直线l过双曲线=1的右焦点且与双曲线的右支交与A、B两点，|AB|=4，则A、B与双曲线的左焦点所得三角形的周长为　24　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程求出a=4，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差的绝对值为定值2a“解决．求出周长即可．‎ ‎【解答】解：双曲线=1的a=4，‎ 设左焦点为F1，右焦点为F2，‎ 由双曲线的定义可得，‎ ‎|AF1|﹣|AF2|=2a=8 ①‎ ‎|BF1|﹣|BF2|=2a=8 ②‎ 而|AB|=4，即|AF2|+|BF2|=4‎ ‎①+②，得：|AF1|+|BF1|=20，‎ 则三角形的周长为24．‎ 故答案为：24．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．求曲线y=x3﹣x+1过点（1，1）的切线方程为　2x﹣y﹣1=0或x+4y﹣5=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分点（1，1）是切点和原点不是切点两类求，先求出函数y=x3﹣x+1的导函数，然后求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．‎ ‎【解答】解：∵y=x3﹣x+1，∴y′=3x2﹣1，‎ 设切线的斜率为k，切点是（x0，y0），‎ 则有y0=x03﹣x0+1，①‎ k=f′（x0）=3x02﹣1，‎ 又k==3x02﹣1，②‎ 由①②得x0=1，或x0=，‎ k=2，或k=﹣．‎ ‎∴所求曲线的切线方程为：2x﹣y﹣1=0或x+4y﹣5=0，‎ 故答案为2x﹣y﹣1=0或x+4y﹣5=0．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围为　（，4）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的不等式组，问题转化为线性规划问题，求出z=（a+3）2+b2的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+a x2+2bx+c ‎∴f′（x）=x2+ax+2b ‎∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值 ‎∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0‎ 即，‎ ‎（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（﹣3，0）的距离的平方，‎ 如图示：‎ 由图知（﹣3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，‎ ‎（﹣3，0）与（﹣1，0）的距离2，平方为4为最大值，‎ 故z=（a+3）2+b2的取值范围为（，4），‎ 故答案为：（，4）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查简单的线性规划问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•宝清县校级月考）已知函数f（x）=x3﹣2x2+1．‎ ‎（1）f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx区间[﹣2，2]上存在递减区间，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数的单调性及单调区间．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）导数和在[﹣1，1]上单调区间，可得极大值且为最大值；‎ ‎（2）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）＜0在x∈[﹣2，2]上有解，运用参数分离和二次函数最值，即可得到m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣2x2+1的导数为f′（x）=3x2﹣4x=3x（x﹣），‎ 令f′（x）=0，解得x1=0，x2=‎ ‎∵＞1，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数，‎ x ‎[﹣1，0]‎ ‎0‎ ‎（0，1]‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 递增 极大值 递减 ‎∴f（x）max=f（0）=1‎ ‎（2）g（x）=x3﹣2x2﹣mx+1，g′（x）=3x2﹣4x﹣m，‎ ‎∵g（x）在[﹣2，2]上存在递减区间，∴g′（x）＜0在x∈[﹣2，2]上有解，（9分）‎ ‎∴m＞3x2﹣4x在x∈[﹣2，2]上有解．‎ ‎∴m＞（3x2﹣4x）min，‎ ‎3x2﹣4x=3（x﹣）2﹣‎ 当x=∈[﹣2，2]，取得最小值﹣，‎ 所以，实数m的取值范围为（﹣，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查存在性问题解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•重庆模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由 ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．‎ ‎（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．‎ 由 ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 得四边形ACC1A1为矩形，‎ O为A1C的中点，又D为BC中点，‎ 所以OD为△A1BC中位线，‎ 所以 A1B∥OD，‎ 因为 OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以 A1B∥平面ADC1．…‎ ‎（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 且∠ABC=90°，‎ 故BA，BC，BB1两两垂直．‎ 以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，‎ ‎∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，‎ ‎∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），‎ ‎∴=（﹣2，2，1），，‎ 设平面ADC1的法向量为，‎ 则，，‎ ‎∴，∴ =（1，2，﹣2），‎ ‎∵平面ADC的法向量，‎ 所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014秋•城厢区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用x=1时的导数为0列方程，解出a的值；‎ ‎（2）由已知f′（x）≥0在（2，+∞‎ ‎）上恒成立，只需分离a，然后构造函数，求其最小（大）值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得f′（x）=2x2﹣2ax﹣2a．‎ 因为x=1是函数f（x）的极值点，‎ 所以f′（1）=2﹣2a﹣2a=0，解得．‎ 经检验x=1为函数f（x）的极值点，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f'（x）=2x2﹣2ax﹣2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≤对区间x∈（2，+∞）恒成立，‎ 令g（x）=，则g'（x）==‎ ‎∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=＞g（2）=，‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值、单调性的问题．后者一般转化为函数的最值问题，能分离参数的尽量分离．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•濮阳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的 中点．‎ ‎（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试 确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．‎ ‎（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，‎ 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，‎ 又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，‎ 又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．‎ ‎（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD．‎ 以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系如图．‎ 则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），‎ 设（0＜λ＜1），则，‎ 平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），‎ 设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则，‎ 取=，（9分）‎ ‎∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，‎ ‎∴=，‎ 解得，此时．（12分）‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•福州一模）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可得到f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）根据直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，转化为h（x）=ax﹣f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）利用函数的单调性和函数零点之间的关系，构造函数利用函数的单调性即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（I）f（x）的定义域为．‎ 其导数，‎ ‎①当a＜0时，f'（x）＞0，函数在上是增函数；‎ ‎②当a＞0时，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在上是增函数，在（0，+∞）是减函数．‎ ‎（II）当a＜0时，取，‎ 则，不合题意．‎ 当a＞0时令h（x）=ax﹣f（x），则，‎ 问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．‎ 由于，‎ ‎∴在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．‎ ‎∴h（x）的最小值为，所以只需 即，‎ ‎∴，∴，‎ ‎（Ⅲ）由于当a＜0时，函数在上是增函数，不满足题意，所以a＞0‎ 构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x），（）‎ ‎∴，‎ 则g′（x）=﹣+2a=+2a，‎ ‎∵，∴0＜x2，0＜a2x2＜1，‎ ‎﹣1＜a2x2﹣1＜0，＜﹣2a，‎ 则+2a＜﹣2a+2a=0，‎ 即g′（x）＜0，‎ ‎∴函数g（x）在区间上为减函数．‎ ‎∵，‎ ‎∴g（x1）＞g（0）=0，‎ 于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，‎ 又f（x1）=0，f（﹣x1）＞0=f（x2），‎ 由f（x）在（0，+∞）上为减函数可知x2＞﹣x1，‎ 即x1+x2＞0．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2012•湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）抛物线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．求出B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设N（t，t2‎ ‎﹣1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值 ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．‎ 令y=0得x2﹣1=0即x=±1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），故c=1．‎ 所以a2=b2+c2=5．于是椭圆C1的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设N（t，t2﹣1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t2﹣1）=2t（x﹣t）．即y=2tx﹣t2﹣1．‎ 代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2﹣20t（t2+1）x+5（t2+1）2﹣20=0，△=400t2（t2+1）2﹣80（1+5t2）[（t2+1）2﹣4]=80（﹣t4+18t2+3），，，‎ 故=．（7分）‎ 设点M到直线PQ的距离为d，则．（9分）‎ 所以，△MPQ的面积S====（11分）‎ 当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．‎ 综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值，以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的面积利用函数的知识求出最值，本题综合性强，运算量大，要避免运算出错，变形出错．‎ ‎　‎