2015年5月南平市高中毕业班适应性考试理科数学含答案

2015年5月南平市高中毕业班适应性考试理科数学含答案

‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 理　科　数　学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题　共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知R，i为虚数单位，且 i，则i的值为 A．2 B．-2i C．-4 D．2i ‎ ‎2．已知直线与圆 相交两点，则 A． B． C． D．‎ ‎3．等比数列的各项均为正数，且，则++…+=‎ A．10 B． ‎8 ‎ C． 6 D． 4‎ 第6题图 ‎4．当为锐角时，“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知向量，‎ ‎. 若，‎ 则实数的值为 ‎ A． B． ‎ C．3 D． ‎ ‎6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值 输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y 值相等，则这样的x值的个数是 A．4 B．2 ‎ ‎1‎ ‎2‎ 正视图 ‎1‎ ‎2‎ 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ 第7题图 C．1 D．3‎ ‎7．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ‎ A． 　　 B． 　　 ‎ C． D．‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎8．已知为坐标原点，点的坐标是，点在不等式组所确定的平面区域内（包括边界）运动，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知P是抛物线上的一个动点，则P到直线：和：的距离之和的最小值是 A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎10．已知，函数有两个极值点，‎ ‎，则方程的实根个数 A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．0 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共100分）‎ A B C D 第11题图 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是________．‎ ‎12．已知是第三象限角，则=________．‎ ‎13．展开式中的系数是________．‎ ‎14．已知，则的最小值为________．‎ ‎15．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为点，‎ 已知点，则线段长度的最大值与最小值的和为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本题满分13分）‎ 已知函数，．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ) 在中，角所对边的长分别是，若，，‎ ‎，求的面积．‎ ‎17．（本题满分13分）‎ 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．‎ ‎(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率；‎ ‎(Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎(Ⅲ) 设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ 第18题图 ‎18．（本题满分13分）‎ 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥面ACB，BC⊥AC，‎ M是PA的中点，E是BM的中点，AC=2，PA=4，‎ F是线段PC上的点，且EF∥面ACB．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 求；‎ ‎(Ⅲ) 若异面直线EF与CA所成角为45°，‎ 求EF与面PAB所成角的正弦值.‎ ‎19．（本题满分13分）‎ 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，点在 椭圆Γ上.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程；‎ ‎(Ⅱ) 过Γ的右焦点作两条垂直的弦，设的中点分别为，‎ 证明：直线必过定点，并求此定点.‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 已知函数（是自然对数的底数，=2.71828…）的图像在处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 若，‎ 求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅲ) 若正项数列满足，证明：数列是递减数列.‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵，若向量在矩阵M的变换下得到向量.‎ ‎(Ⅰ) 求矩阵M；‎ ‎(Ⅱ) 设矩阵，求直线在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，‎ 曲线：，曲线：，（为参数）.‎ ‎(Ⅰ) 求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎(Ⅱ) 求曲线上的点到曲线上的点的最小距离.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 解不等式≥1；‎ ‎(Ⅱ) 若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．B； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．C； 9．C ； 10．B．‎ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．‎ ‎11．； 12．7； 13．135； 14．； 15．10.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本题满分13分．‎ 解：(Ⅰ)∵，)‎ ‎ ………………… 1分 ‎∴. ………………… 3分 由，‎ 解得. …………………… 5分 ‎ ∴函数的单调递增区间是.……………………6分 ‎(Ⅱ)∵在中，，‎ ‎∴解得.……………………8分 ‎ 又，∴. …………………… 9分 依据正弦定理，有.……………………10分 ‎∴. ……………………11分 ‎ ‎∴. ……………………13分 ‎17．本题满分13分．‎ 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立， ‎ ‎, . …………………… 2分 取出的4个球均为黑球的概率为 ……………………3分 ‎（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且,……………………5分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 ‎. …………………… 6分 ‎（Ⅲ）设可能的取值为0,1,2,3.‎ 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,.‎ ‎,……………10分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ …………………11分 ‎∴ 的数学期望 ………………… 13分 ‎18．本题满分13分．‎ 解：（Ⅰ），，‎ ‎……………………1分 又，‎ ‎……………………2分 而 ‎……………………3分 ‎（Ⅱ）解法一：如图以C为原点，CA、CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则、、、……………4分 设，,可得，, 则……………………5分 因为是的一个法向量，‎ ‎……………………6分 ‎ 即……………………7分 ‎ (Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知，‎ ‎ ………………8分 解得……………………9分 ‎ 由此，,又、‎ ‎,‎ 设面PAB的一个法向量为 由 可得……………………11分 ‎ 即，可取……………………12分 EF与面PAB所成角的正弦值：…………13分 ‎（Ⅱ）解法二：如图以A为原点，过A且与CB平行的直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则、、‎ ‎……………………4分 设,,可得：‎ ‎, ‎ 则 ………………5分 因为是的一个法向量，‎ ‎……………………6分 ‎ 即……………………7分 ‎(Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知，‎ ‎ ……………………8分 解得 ……………………9分 ‎ 由此，‎ 又、、,‎ 设面PAB的一个法向量为 由 可得，……………………11分 ‎ 即， 可取……………………12分 EF与面PAB所成角的正弦值……………13分 ‎（Ⅱ）解法三：取MA中点G，连结EG，FG，‎ ‎∵E是MB中点，∴EG是△MAB的中位线．‎ ‎∴……………………4分 而 ‎∴EG∥面ABC……………………5分 又EF∥面ABC,‎ ‎∴面EFG∥面ABC, 而 ‎∴FG∥面ABC……………………6分 ‎∵‎ ‎∴FG∥AC, ……………………7分 ‎19．本题满分13分．‎ 解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为.‎ 则……………………3分 解得 即椭圆Γ的方程为.……………………5分 ‎(Ⅱ)由题意得.‎ ‎（1）当弦的斜率均存在时，‎ 设的斜率为，则的斜率为.……………………6分 令，线段中点.‎ 将直线方程代入椭圆方程,‎ 并化简得……………………7分 则,,于是,.因为，所以，将点坐标中的换为，‎ 即得点…………………9分 ‎① 当时，直线的方程为 令得，则直线过定点……………………10分 ‎② 当时，易得直线的方程,也过点……………………11分 ‎（2）当弦的斜率不存在时，易知，直线为轴，也过点 综上，直线必过定点……………………13分 ‎20．本题满分14分．‎ 解：（Ⅰ）由题意得，则，……………………2分 解得.……………………3分 ‎（Ⅱ）由题意得,.‎ ‎……………………5分 ‎（1）当时, 令，并注意到函数的定义域 得或，则的增区间是；‎ 同理可求的减区间是………………6分 ‎（2）当时, ,则是定义域内的增函数……………………7分 ‎（3）当时, 令,并注意到函数的定义域得或，‎ 则的增区间是; 同理可求的减区间是…………………8分 ‎（Ⅲ）证明: 因为正项数列满足 所以,即……………………10分 要证数列是递减数列 ‎……………………12分 设,.，‎ 是上的增函数，则，即，故，‎ 则数列是递减数列……………………14分 ‎21．本题满分14分．‎ ‎(1) 解：（Ⅰ）由……………………1分 得 解得……………………2分 ‎……………………3分 ‎（Ⅱ）……………………4分 ‎ 设点是直线上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的 ‎ 点，则 可得……………………5分 ‎ ，代入得……………………6分 曲线C的方程……………………7分 ‎(2) 解：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程，‎ 得……………………1分 ‎ 即： ………………………2分 曲线的直角坐标方程为,即……………………3分 ‎ 由曲线的参数方程得的普通方程为：……………………4分 ‎（Ⅱ） 表示圆心为，半径的圆，‎ 因为圆心到直线的距离………6分 所以圆上的点到直线的距离的最小值为……………………7分 ‎(3) 解：（Ⅰ）可化为：……………………1分 即或或……………3分 解得，所以不等式的解集为……………………4分 ‎（Ⅱ）恒成立 ‎（当时取等号）……………………5分 ‎ 由，解得或……………………6分 即的取值范围是……………………7分