2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十) 直接证明和间接证明
课时跟踪检测(四十) 直接证明和间接证明
一、选择题
1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程 x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
3．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
5．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
二、填空题
7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________________________．
8．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
9．已知点An(n，an)为函数y＝图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
三、解答题
11．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，
求证：＋＜＋.
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－20
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
故选C.
3．选B 由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．
4．选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6．选D 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
7．解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．
答案：a，b中没有一个能被5整除
8．解析：法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m⇐a0，显然成立．
答案：m0，
由00，
知f>0与f＝0矛盾，
∴≥c，又∵≠c，
∴>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图像的对称轴方程为
x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，
∴b>－2，
∴－2
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