高考理数　集合的概念及运算

高考理数　集合的概念及运算

§1.1 　集合的概念及运算 高考 理 数 ( 课标专用) 考点一　集合及其关系 1. (2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合 A ={( x , y )| x 2 + y 2 ≤ 3, x ∈Z, y ∈Z},则 A 中元素的个数为   (　　) A.9　    B.8　    C.5　    D.4 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      A 　本题主要考查集合的含义与表示. 由题意可知 A ={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合 A 中共有9个元素, 故选A. 2. (2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合 A ={( x , y )| x 2 + y 2 =1}, B ={( x , y )| y = x },则 A ∩ B 中元素的个数为   (    　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 答案      B 　本题考查集合的概念及运算,直线与圆的位置关系. 集合 A 表示单位圆上的所有的点,集合 B 表示直线 y = x 上的所有的点. A ∩ B 表示直线与圆的公共 点,显然,直线 y = x 经过圆 x 2 + y 2 =1的圆心(0,0),故共有两个公共点,即 A ∩ B 中元素的个数为2. 考点二　集合的运算 1. (2018课标Ⅰ,2,5分)已知集合 A ={ x | x 2 - x -2>0},则 ∁ R A =   (　　) A.{ x |-1< x <2}　    B.{ x |-1 ≤ x ≤ 2} C.{ x | x <-1} ∪ { x | x >2}　    D.{ x | x ≤ -1} ∪ { x | x ≥ 2} 答案      B 　本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法. 化简 A ={ x | x <-1或 x >2},∴ ∁ R A ={ x |-1 ≤ x ≤ 2}.故选B. 2. (2018课标Ⅲ,1,5分)已知集合 A ={ x | x -1 ≥ 0}, B ={0,1,2},则 A ∩ B =   (　　) A.{0}　    B.{1}　    C.{1,2}　    D.{0,1,2} 答案    C 　本题考查集合的运算. ∵ A ={ x | x ≥ 1}, B ={0,1,2},∴ A ∩ B ={1,2},故选C. 3. (2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合 A ={ x | x <1}, B ={ x |3 x <1},则   (　　) A. A ∩ B ={ x | x <0}　    B. A ∪ B =R C. A ∪ B ={ x | x >1}　    D. A ∩ B = ⌀ 答案      A 　本题主要考查集合的表示方法和集合交集、并集的概念和运算,还考查了指数函 数的性质. ∵3 x <1=3 0 ,∴ x <0,∴ B ={ x | x <0},∴ A ∩ B ={ x | x <0}, A ∪ B ={ x | x <1}.故选A. 4. (2016课标Ⅰ,1,5分)设集合 A ={ x | x 2 -4 x +3<0}, B ={ x |2 x -3>0},则 A ∩ B =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　因为 A ={ x | x 2 -4 x +3<0}={ x |1< x <3}, B =   ,所以 A ∩ B ={ x |1< x <3} ∩   =   .故选D. 思路分析 　通过不等式的求解分别得出集合 A 和集合 B ,然后根据交集的定义求得 A ∩ B 的结 果,从而得出正确选项. 方法总结 　集合的运算问题通常是先化简后运算,可借助数轴或韦恩图解决. 5. (2017课标Ⅱ,2,5分)设集合 A ={1,2,4}, B ={ x | x 2 -4 x + m =0}.若 A ∩ B ={1},则 B =   (　　) A.{1,-3}　    B.{1,0}　    C.{1,3}　    D.{1,5} 答案      C 　本题主要考查集合的运算. ∵ A ∩ B ={1},∴1∈ B ,∴1-4+ m =0,∴ m =3. 由 x 2 -4 x +3=0,解得 x =1或 x =3. ∴ B ={1,3}.经检验符合题意.故选C. 6. (2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合 A ={1,2,3}, B ={ x |( x +1)( x -2)<0, x ∈Z},则 A ∪ B =   (　　) A.{1}　    B.{1,2} C.{0,1,2,3}　    D.{-1,0,1,2,3} 答案      C 　由( x +1)( x -2)<0 ⇒ -1< x <2,又 x ∈Z,∴ B ={0,1},∴ A ∪ B ={0,1,2,3}.故选C. 思路分析 　求解一元二次不等式得集合 B ,然后根据并集的定义求得 A ∪ B 的结果. 易错警示 　对于集合 B ,容易忽略 x ∈Z的条件而导致错误,注意养成严谨、细心的审题习惯. 7. (2016课标Ⅲ,1,5分)设集合 S ={ x |( x -2)( x -3) ≥ 0}, T ={ x | x >0},则 S ∩ T =   (　　) A.[2,3]　    B.(- ∞ ,2] ∪ [3,+ ∞ ) C.[3,+ ∞ )　    D.(0,2] ∪ [3,+ ∞ ) 答案      D      S ={ x |( x -2)( x -3) ≥ 0}={ x | x ≤ 2或 x ≥ 3},在数轴上表示出集合 S , T ,如图所示:   由图可知 S ∩ T =(0,2] ∪ [3,+ ∞ ),故选D. 思路分析 　通过不等式的求解得集合 S ,然后在数轴上表示出集合 S 和集合 T ,利用数形结合的 方法得出 S ∩ T 的结果. 方法总结 　利用数形结合法求解集合运算问题的基本步骤:①定集合:通过解不等式,根据元素 的属性确定每个集合;②定图形:利用数轴或Venn图表示相关集合;③定运算:根据图形确定相 关运算的结果. 8. (2015课标Ⅱ,1,5分,0.92)已知集合 A ={-2,-1,0,1,2}, B ={ x |( x -1)( x +2)<0},则 A ∩ B =   (　　) A.{-1,0}　    B.{0,1} C.{-1,0,1}　    D.{0,1,2} 答案      A 　解法一:因为 B ={ x |( x -1)( x +2)<0}={ x |-2< x <1}, A ={-2,-1,0,1,2},故 A ∩ B ={-1,0}.选A. 解法二:将集合 A ={-2,-1,0,1,2}中的5个元素逐一代入( x -1)( x +2)<0中检验,看是否符合,因为只有 x =-1,0满足( x -1)( x +2)<0,所以 A ∩ B ={-1,0},故选A. 思路分析 　解法一:求解一元二次不等式得集合 B ,由交集的定义得 A ∩ B 的结果; 解法二:将集合 A 中的5个元素逐个代入集合 B 的不等式中检验,从而得正确答案. 9. (2014课标Ⅰ,1,5分,0.842)已知集合 A ={ x | x 2 -2 x -3 ≥ 0}, B ={ x |-2 ≤ x <2},则 A ∩ B =   (　　) A.[-2,-1]　    B.[-1,2)　    C.[-1,1]　    D.[1,2) 答案      A 　由不等式 x 2 -2 x -3 ≥ 0解得 x ≥ 3或 x ≤ -1,因此集合 A ={ x | x ≤ -1或 x ≥ 3},又集合 B ={ x |-2 ≤ x <2},所以 A ∩ B ={ x |-2 ≤ x ≤ -1},故选A. 思路分析 　先解一元二次不等式 x 2 -2 x -3 ≥ 0得集合 A ,再与集合 B 求交集. 10. (2014课标Ⅱ,1,5分,0.945)设集合 M ={0,1,2}, N ={ x | x 2 -3 x +2 ≤ 0},则 M ∩ N =   (　　) A.{1}　    B.{2}　    C.{0,1}　    D.{1,2} 答案      D 　由已知易得 N ={ x |1 ≤ x ≤ 2},∵ M ={0,1,2}, ∴ M ∩ N ={1,2},故选D. 思路分析 　先解一元二次不等式 x 2 -3 x +2 ≤ 0得集合 N ,再与集合 M 求交集. 一题多解 　将集合 M ={0,1,2}中的三个元素逐一代入 x 2 -3 x +2 ≤ 0中检验,看是否符合,因为只有 x =1,2符合 x 2 -3 x +2 ≤ 0,所以 M ∩ N ={1,2},故选D. 考点一　集合及其关系 (2016四川,1,5分)设集合 A ={ x |-2 ≤ x ≤ 2},Z为整数集,则集合 A ∩ Z中元素的个数是   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      C      A 中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以 A ∩ Z中的元素个数为5. 考点二　集合的运算 1. (2018北京,1,5分)已知集合 A ={ x || x |<2}, B ={-2,0,1,2},则 A ∩ B =   (　　) A.{0,1}　    B.{-1,0,1} C.{-2,0,1,2}　    D.{-1,0,1,2} 答案      A 　本题主要考查集合的运算. 化简 A ={ x |-2< x <2},∴ A ∩ B ={0,1},故选A. 2. (2018天津,1,5分)设全集为R,集合 A ={ x |0< x <2}, B ={ x | x ≥ 1},则 A ∩ ( ∁ R B )=   (　　) A.{ x |0< x ≤ 1}　    B.{ x |0< x <1} C.{ x |1 ≤ x <2}　    D.{ x |0< x <2} 答案      B 　本题主要考查集合的基本运算. 由 B ={ x | x ≥ 1},得 ∁ R B ={ x | x <1}, 借助于数轴,可得 A ∩ ( ∁ R B )={ x |0< x <1},故选B.   3. (2018浙江,1,4分)已知全集 U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3},则 ∁ U A =   (　　) A. ⌀ 　    B.{1,3}　    C.{2,4,5}　    D.{1,2,3,4,5} 答案      C 　本小题考查集合的运算. ∵ U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3},∴ ∁ U A ={2,4,5}. 4. (2017北京,1,5分)若集合 A ={ x |-2< x <1}, B ={ x | x <-1或 x >3},则 A ∩ B =   (　　) A.{ x |-2< x <-1}　    B.{ x |-2< x <3} C.{ x |-1< x <1}　    D.{ x |1< x <3} 答案      A 　本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力. 由集合的交集运算可得 A ∩ B ={ x |-2< x <-1},故选A. 5. (2017天津,1,5分)设集合 A ={1,2,6}, B ={2,4}, C ={ x ∈R|-1 ≤ x ≤ 5},则 ( A ∪ B ) ∩ C =(　　) A.{2}　    B.{1,2,4} C.{1,2,4,6}　    D.{ x ∈R|-1 ≤ x ≤ 5} 答案      B 　本题主要考查集合的表示和集合的运算. 因为 A ={1,2,6}, B ={2,4},所以 A ∪ B ={1,2,4,6},又 C ={ x ∈R|-1 ≤ x ≤ 5},所以(A ∪ B) ∩ C={1,2,4}.故 选B. 6. (2017浙江,1,5分)已知集合 P ={ x |-1< x <1}, Q ={ x |0< x <2},则 P ∪ Q =   (　　) A.(-1,2)　    B.(0,1)　    C.(-1,0)　    D.(1,2) 答案      A 　本题考查集合的概念和集合的运算. P ∪ Q ={ x |-1< x <2}.故选A. 易错警示 　把求并集看成求交集而错选B,因为平时做得最多的集合运算是求两集合的交集, 从而形成思维定式. 7.(2017山东,1,5分)设函数 y =   的定义域为 A ,函数 y =ln(1- x )的定义域为 B ,则 A ∩ B =   (　　) A.(1,2)　    B.(1,2]　    C.(-2,1)　    D.[-2,1) 答案      D 　本题主要考查集合的运算. 由4- x 2 ≥ 0,解得-2 ≤ x ≤ 2,由1- x >0,解得 x <1,∴ A ∩ B ={ x |-2 ≤ x <1}.故选D. 8. (2016天津,1,5分)已知集合 A ={1,2,3,4}, B ={ y | y =3 x -2, x ∈ A },则 A ∩ B =   (　　) A.{1}　    B.{4}　    C.{1,3}　    D.{1,4} 答案      D 　由题易知 B ={1,4,7,10},所以 A ∩ B ={1,4},故选D. 9. (2016浙江,1,5分)已知集合 P ={ x ∈R|1 ≤ x ≤ 3}, Q ={ x ∈R| x 2 ≥ 4},则P ∪ ( ∁ R Q )=   (　　) A.[2,3]　    B.(-2,3] C.[1,2)　    D.(- ∞ ,-2] ∪ [1,+ ∞ ) 答案      B 　∵ Q =(- ∞ ,-2] ∪ [2,+ ∞ ),∴ ∁ R Q =(-2,2),∴ P ∪ ( ∁ R Q )=(-2,3],故选B. 10. (2016山东,2,5分)设集合 A ={ y | y =2 x , x ∈R}, B ={ x | x 2 -1<0},则 A ∪ B =   (　　) A.(-1,1)　    B.(0,1)　    C.(-1,+ ∞ )　    D.(0,+ ∞ ) 答案      C 　∵ A =(0,+ ∞ ), B =(-1,1),∴ A ∪ B =(-1,+ ∞ ).故选C. 11. (2015福建,1,5分)若集合 A ={i,i 2 ,i 3 ,i 4 }(i是虚数单位), B ={1,-1},则 A ∩ B 等于   (　　) A.{-1}　    B.{1}　    C.{1,-1}　    D. ⌀ 答案      C      A ={i,-1,-i,1}, B ={1,-1},所以 A ∩ B ={1,-1},故选C. 12. (2018江苏,1,5分)已知集合 A ={0,1,2,8}, B ={-1,1,6,8},那么 A ∩ B = 　　　     . 答案 　{1,8} 解析 　本题考查集合的运算. ∵ A ={0,1,2,8}, B ={-1,1,6,8}, ∴ A ∩ B ={1,8}. 13. (2017江苏,1,5分)已知集合 A ={1,2}, B ={ a , a 2 +3}.若 A ∩ B ={1},则实数 a 的值为 　　　     . 答案 　1 解析 　本题考查元素与集合的关系及集合的交集. ∵ B ={ a , a 2 +3}, A ∩ B ={1},∴ a =1或 a 2 +3=1, ∵ a ∈R,∴ a =1.经检验,满足题意. 14. (2014重庆,11,5分)设全集 U ={ n ∈N|1 ≤ n ≤ 10}, A ={1,2,3,5,8}, B ={1,3,5,7,9},则( ∁ U A ) ∩ B = 　　      . 答案 　{7,9} 解析 　∵ U ={ n ∈N|1 ≤ n ≤ 10}, A ={1,2,3,5,8},∴ ∁ U A ={4,6,7,9,10},又∵ B ={1,3,5,7,9},∴( ∁ U A ) ∩ B ={7,9}. 考点一　集合及其关系 (2012课标,1,5分)已知集合 A ={1,2,3,4,5}, B ={( x , y )| x ∈ A , y ∈ A , x - y ∈ A },则 B 中所含元素的个数为   (　　) A.3　    B.6　    C.8　    D.10 C组    教师专用题组 答案      D 　解法一:由 x - y ∈ A 及 A ={1,2,3,4,5}得 x > y ,当 y =1时, x 可取2,3,4,5,有4个;当 y =2时, x 可取 3,4,5,有3个;当 y =3时, x 可取4,5,有2个;当 y =4时, x 可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D. 解法二:因为 A 中元素均为正整数,所以从 A 中任取两个元素作为 x , y ,满足 x > y 的( x , y )即为集合 B 中的元素,故共有   =10个,选D. 评析     考查了分类讨论的思想,由 x - y ∈ A 得 x > y 是解题关键. 考点二　集合的运算 1. (2013课标Ⅰ,1,5分)已知集合 A ={ x | x 2 -2 x >0}, B ={ x |-   < x <   },则   (　　) A. A ∩ B = ⌀ 　    B. A ∪ B =R C. B ⊆ A 　    D. A ⊆ B 答案      B 　化简 A ={ x | x >2或 x <0},而 B ={ x |-   < x <   },所以 A ∩ B ={ x |-   < x <0或2< x <   },A项错 误; A ∪ B =R,B项正确; A 与 B 没有包含关系,C项与D项均错误.故选B. 2. (2013课标Ⅱ,1,5分)已知集合 M ={ x |( x -1) 2 <4, x ∈R}, N ={-1,0,1,2,3},则 M ∩ N =   (　　) A.{0,1,2}　    B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3}　    D.{0,1,2,3} 答案      A 　化简得 M ={ x |-1< x <3},所以 M ∩ N ={0,1,2},故选A. 3. (2016北京,1,5分)已知集合 A ={ x || x |<2}, B ={-1,0,1,2,3},则 A ∩ B =   (　　) A.{0,1}　    B.{0,1,2}　    C.{-1,0,1}　    D.{-1,0,1,2} 答案      C 　由题意得 A =(-2,2), A ∩ B ={-1,0,1},选C. 4. (2015四川,1,5分)设集合 A ={ x |( x +1)( x -2)<0},集合 B ={ x |1< x <3},则 A ∪ B =   (　　) A.{ x |-1< x <3}　    B.{ x |-1< x <1}　    C.{ x |1< x <2}　    D.{ x |2< x <3} 答案      A      A ={ x |-1< x <2}, B ={ x |1< x <3},利用数轴可知 A ∪ B ={ x |-1< x <3}.故选A. 5. (2015浙江,1,5分)已知集合 P ={ x | x 2 -2 x ≥ 0}, Q ={ x |1< x ≤ 2},则( ∁ R P ) ∩ Q =   (　　) A.[0,1)　    B.(0,2]　    C.(1,2)　    D.[1,2] 答案      C 　∵ P ={ x | x ≥ 2或 x ≤ 0},∴ ∁ R P ={ x |0< x <2}, ∴( ∁ R P ) ∩ Q =(1,2). 6. (2015广东,1,5分)若集合 M ={ x |( x +4)( x +1)=0}, N ={ x |( x -4)( x -1)=0},则 M ∩ N =   (　　) A.{1,4}　    B.{-1,-4}　    C.{0}　    D. ⌀ 答案      D 　化简集合得 M ={-4,-1}, N ={1,4}, 显然 M ∩ N = ⌀ ,故选D. 7. (2014四川,1,5分)已知集合 A ={ x | x 2 - x -2 ≤ 0},集合 B 为整数集,则 A ∩ B =   (　　) A.{-1,0,1,2}　    B.{-2,-1,0,1} C.{0,1}　    D.{-1,0} 答案      A      x 2 - x -2 ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 2,故集合 A 中的整数为-1,0,1,2.所以 A ∩ B ={-1,0,1,2}. 8. (2014浙江,1,5分)设全集 U ={ x ∈N| x ≥ 2},集合 A ={ x ∈N| x 2 ≥ 5},则 ∁ U A =(　　) A. ⌀ 　    B.{2}　    C.{5}　    D.{2,5} 答案      B 　∵ A ={ x ∈N| x ≥   }={ x ∈N| x ≥ 3}, ∴ ∁ U A ={ x ∈N|2 ≤ x <3}={2},故选B. 9. (2015湖北,9,5分)已知集合 A ={( x , y )| x 2 + y 2 ≤ 1, x , y ∈Z}, B ={( x , y )|| x | ≤ 2,| y | ≤ 2, x , y ∈Z},定义集合 A ⊕ B ={( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )|( x 1 , y 1 )∈ A ,( x 2 , y 2 )∈ B },则 A ⊕ B 中元素的个数为   (　　) A.77　    B.49　    C.45　    D.30 答案      C 　当 x 1 =0时, y 1 ∈{-1,0,1},而 x 2 , y 2 ∈{-2,-1,0,1,2},此时 x 1 + x 2 ∈{-2,-1,0,1,2}, y 1 + y 2 ∈{-3,-2,- 1,0,1,2,3},则 A ⊕ B 中元素的个数为5 × 7=35. 当 x 1 = ± 1时, y 1 =0,而 x 2 , y 2 ∈{-2,-1,0,1,2},此时 x 1 + x 2 ∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}, y 1 + y 2 ∈{-2,-1,0,1,2}. 由于 x 1 + x 2 ∈{-2,-1,0,1,2}, y 1 + y 2 ∈{-2,-1,0,1,2}时, A ⊕ B 中的元素与前面重复,故此时与前面不重 复的元素个数为2 × 5=10,则 A ⊕ B 中元素的个数为35+10=45. 考点一　集合及其关系 1. (2018湖北四地七校2月联考,1)若集合 M ={ x || x | ≤ 1}, N ={ y | y = x 2 ,| x | ≤ 1},则   (　　) A. M = N 　    B. M ⊆ N 　    C. M ∩ N = ⌀ 　    D. N ⊆ M 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      D 　因为 M ={ x || x | ≤ 1},所以 M ={ x |-1 ≤ x ≤ 1},因为 N ={ y | y = x 2 ,| x | ≤ 1},所以 N ={ y |0 ≤ y ≤ 1}, 所以 N ⊆ M ,故选D. 2. (2018湖北天门等三地3月联考,1)设集合 A ={1,2,3}, B ={4,5}, M ={ x | x = a + b , a ∈ A , b ∈ B },则 M 中 元素的个数为   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 答案    B      a ∈{1,2,3}, b ∈{4,5},则 M ={5,6,7,8},即 M 中元素的个数为4,故选B. 3. (2018湖南长沙长郡中学3月月考,1)已知集合 A ={0}, B ={-1,0,1},若 A ⊆ C ⊆ B ,则符合条件的集 合 C 的个数为   (　　) A.1　    B.2　    C.4　    D.8 答案      C 　由题意得,含有元素0且是集合 B 的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条 件的集合 C 共有4个.故选C. 4. (2018山东德州二模,2)设集合 A ={ x | x (4- x )>3}, B ={ x | x ≥ a },若 A ∩ B = A ,则 a 的取值范围是   (    　) A. a ≤ 1　    B. a <1　    C. a ≤ 3　    D. a <3 答案      A 　由 x (4- x )>3解得1< x <3,即集合 A ={ x |1< x <3}.因 A ∩ B = A ,则 A ⊆ B ,而 B ={ x | x ≥ a },所以 a ≤ 1,故选A. 5. (2017河南3月适应性测试,2)R表示实数集,集合 M ={ x |0 ≤ x ≤ 2}, N ={ x | x 2 -2 x -3>0},则下列结论 正确的是   (　　) A. M ⊆ ( ∁ R N )　    B.( ∁ R M ) ⊆ N C. M ⊆ N 　    D.( ∁ R M ) ⊆ ( ∁ R N ) 答案      A     由题意得 N ={ x | x <-1或 x >3},所以 ∁ R N ={ x |-1 ≤ x ≤ 3}.又知 M ={ x |0 ≤ x ≤ 2},所以 M 是 ∁ R N 的子集,故选A. 6. (2016湖南衡阳八中一模,1)已知集合 A ={0,1}, B ={ z | z = x + y , x ∈ A , y ∈ A },则集合 B 的子集个数为   (　　) A.3　    B.4　    C.7　    D.8 答案      D 　∵ x ∈ A , y ∈ A , A ={0,1}, ∴ x =0或 x =1, y =0或 y =1, ∴ z = x + y =0或1或2, ∴ B ={0,1,2}, ∴集合 B 的子集个数为2 3 =8.故选D. 考点二　集合的运算 1. (2018河北、河南重点中学第三次联考,2)已知集合 M =   , N ={ x | y =log 3 (-6 x 2 +11 x -4)}, 则 M ∩ N =   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案    C 　易得集合 M =   ={ x |1< x ≤ 3}, 集合 N ={ x | y =log 3 (-6 x 2 +11 x -4)}={ x |-6 x 2 +11 x -4>0}=   , 所以 M ∩ N =   .故选C. 2. (2018山东日照3月联考,2)已知集合 M =   , N =   ,则 M ∩ N =   (　　) A. ⌀ 　    B.{(4,0),(3,0)} C.[-3,3]　    D.[-4,4] 答案      D 　由题意可得 M ={ x |-4 ≤ x ≤ 4}, N ={ y | y ∈R},所以 M ∩ N =[-4,4].故选D. 3. (2018湖南湘东五校联考,1)已知全集 U =R, A ={ x | x ≤ 0}, B ={ x | x ≥ 1},则集合 ∁ U ( A ∪ B )=   (　　) A.{ x | x ≥ 0}　    B.{ x | x ≤ 1} C.{ x |0 ≤ x ≤ 1}　    D.{ x |0< x <1} 答案      D      A ∪ B ={ x | x ≥ 1或 x ≤ 0},因此 ∁ U ( A ∪ B )={ x |0< x <1}.故选D. 4. (2018豫北名校3月联考,1)已知集合 M ={ x | y =   }, N ={ x | y =log 2 (2- x )},则 ∁ R ( M ∩ N )=   (　　) A.[1,2)　    B.(- ∞ ,1) ∪ [2,+ ∞ ) C.[0,1]　    D.(- ∞ ,0) ∪ [2,+ ∞ ) 答案      B 　由题意可得 M ={ x | x ≥ 1}, N ={ x | x <2},∴ M ∩ N ={ x |1 ≤ x <2}.∴ ∁ R ( M ∩ N )={ x | x <1或 x ≥ 2},即 ∁ R ( M ∩ N )=(- ∞ ,1) ∪ [2,+ ∞ ).故选B. 5. (2018湖北名校学术联盟4月联考,1)已知 A ={1,2,3,4}, B ={ a +1,2 a }.若 A ∩ B ={4},则 a =   (　　) A.3　    B.2　    C.2或3　    D.3或1 答案      A 　∵ A ∩ B ={4},∴ a +1=4或2 a =4,若 a +1=4,则 a =3,此时 B ={4,6},符合题意;若2 a =4,则 a = 2,此时 B ={3,4},不符合题意,综上, a =3,故选A. 6. (2016安徽江南十校联考,1)已知集合 A ={ x |2 x 2 -5 x -3 ≤ 0}, B ={ x ∈Z| x ≤ 2},则 A ∩ B 中的元素个数 为   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案      B      A =   ,∴ A ∩ B ={0,1,2}, A ∩ B 中有3个元素,故选B. 7. (2017河北衡水中学三调,2)已知集合 A ={ x |log 3 (2 x -1) ≤ 0}, B ={ x | y =   },全集 U =R,则 A ∩ ( ∁ U B )等于   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      D 　因为 A =   x     < x ≤ 1   , B =   ,所以 ∁ U B =   ,所以 A ∩ ( ∁ U B )=   ,故选D. 8. (2017安徽合肥二模,2)已知 A =[1,+ ∞ ), B =   x ∈R     a ≤ x ≤ 2 a -1   ,若 A ∩ B ≠ ⌀ ,则实数 a 的取 值范围是   (　　) A.[1,+ ∞ )　    B.   　    C.   　    D.(1,+ ∞ ) 答案      A 　因为 A ∩ B ≠ ⌀ ,所以   解得 a ≥ 1,故选A. 思路分析 　依据 A ∩ B ≠ ⌀ 得出关于 a 的不等式组,进而得出实数 a 的取值范围. B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间:30分钟　分值: 65 分) 一、选择题(每题5分,共60分) 1. (2018河北石家庄3月质检,1)设集合 A ={ x |-1< x ≤ 2}, B ={ x | x <0},则下列结论正确的是   (　　) A.( ∁ R A ) ∩ B ={ x | x <-1}　    B. A ∩ B ={ x |-1< x <0} C. A ∪ ( ∁ R B )={ x | x ≥ 0}　    D. A ∪ B ={ x | x <0} 答案      B 　∵ A ={ x |-1< x ≤ 2}, B ={ x | x <0},∴ ∁ R A ={ x | x ≤ -1或 x >2}, ∁ R B ={ x | x ≥ 0}.对于选项A, ( ∁ R A ) ∩ B ={ x | x ≤ -1},故A错误;对于选项B, A ∩ B ={ x |-1< x <0},故B正确;对于选项C, A ∪ ( ∁ R B )= { x | x >-1},故C错误;对于选项D, A ∪ B ={ x | x ≤ 2},故D错误.故选B. 名师点拨 　对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误. 2. (2018河南洛阳二模,1)设全集 U =R,集合 A ={ x |log 2 x ≤ 1}, B ={ x | x 2 + x -2 ≥ 0},则 A ∩ ∁ U B =   (　　) A.(0,1]　    B.(-2,2]　    C.(0,1)　    D.[-2,2] 答案    C 　不等式log 2 x ≤ 1即log 2 x ≤ log 2 2,由 y =log 2 x 在(0,+ ∞ )上单调递增,得不等式的解集为(0, 2],即 A =(0,2].由 x 2 + x -2 ≥ 0,得( x +2)( x -1) ≥ 0,得 B ={ x | x ≤ -2或 x ≥ 1},所以 ∁ U B =(-2,1),从而 A ∩ ∁ U B =(0,1).故选C. 解题思路　 利用对数函数 y =log 2 x 的单调性及定义域求出集合 A ,用因式分解法解不等式 x 2 + x -2 ≥ 0得到集合 B ,从而得出 ∁ U B ,进而求解. 3. (2018河北衡水中学、河南郑州一中3月联考,1)已知全集 U ={1,2,3,4,5,6,7,8}, A ={3,4,5}, B ={1, 3,6},则集合{2,7,8}是   (　　) A. A ∪ B 　    B. A ∩ B 　    C. ∁ U ( A ∩ B )　    D. ∁ U ( A ∪ B ) 答案    D 　解法一:由题意可知 ∁ U A ={1,2,6,7,8}, ∁ U B ={2,4,5,7,8},∴( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B )={2,7,8}.由 集合的运算性质可知( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B )= ∁ U ( A ∪ B ),即 ∁ U ( A ∪ B )={2,7,8},故选D. 解法二:画出韦恩图(如图所示),由图可知 ∁ U ( A ∪ B )={2,7,8}.故选D.   4. (2018湖北七州市3月联考,1)已知N是自然数集,设集合 A =   ,B={0,1,2,3,4},则A ∩ B =   (　　) A.{0,2}　    B.{0,1,2}　    C.{2,3}　    D.{0,2,4} 答案      B 　∵   ∈N,∴ x +1应为6的正约数,∴ x +1=1或 x +1=2或 x +1=3或 x +1=6,解得 x =0或 x =1 或 x =2或 x =5,∴集合 A ={0,1,2,5},又 B ={0,1,2,3,4},∴ A ∩ B ={0,1,2}.故选B. 解题关键 　准确理解   ∈N的含义是解决本题的关键. 5. (2018安徽安庆二模,1)已知集合 A ={1,3, a }, B ={1, a 2 - a +1},若 B ⊆ A ,则实数 a =   (　　) A.-1　    B.2 C.-1或2　    D.1或-1或2 答案      C 　因为 B ⊆ A ,所以必有 a 2 - a +1=3或 a 2 - a +1= a . ①若 a 2 - a +1=3,则 a 2 - a -2=0,解得 a =-1或 a =2. 当 a =-1时, A ={1,3,-1}, B ={1,3},满足条件; 当 a =2时, A ={1,3,2}, B ={1,3},满足条件. ②若 a 2 - a +1= a ,则 a 2 -2 a +1=0,解得 a =1, 此时集合 A ={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,所以 a =1应舍去. 综上, a =-1或2.故选C. 易错警示 　(1)研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在 求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (2)对于集合相等,首先要分析集合中的已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,其次,当不 能确定时,要分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 6. (2018安徽皖南八校3月联考,2)已知集合 A ={( x , y )| x 2 =4 y }, B ={( x , y )| y = x },则 A ∩ B 的真子集个数 为   (　　) A.1　    B.3　    C.5　    D.7 答案      B 　由   得   或   即 A ∩ B ={(0,0),(4,4)},∴ A ∩ B 的真子集个数为2 2 -1=3. 故选B. 思路分析 　根据集合表示,列方程组求出 A ∩ B ,再根据含有 n 个元素的集合的真子集的个数是 2 n -1进行求解. 7. (2018江西南昌二中4月月考,1)已知集合 A ={ x | y =   }, B ={ x | a ≤ x ≤ a +1},若 A ∪ B = A ,则实 数 a 的取值范围为   (　　) A.(- ∞ ,-3] ∪ [2,+ ∞ )　    B.[-1,2] C.[-2,1]　    D.[2,+ ∞ ) 答案      C 　集合 A ={ x | y =   }={ x |-2 ≤ x ≤ 2},因 A ∪ B = A ,则 B ⊆ A ,所以有   所以-2 ≤ a ≤ 1,故选C. 易错警示 　将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件,应注意子集与真子集的区 别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点代入进行验 证,否则易产生增解或漏解的情况. 8. (2017湖北武昌一模,1)设 A , B 是两个非空集合,定义集合 A - B ={ x | x ∈ A ,且 x ∉ B }.若 A ={ x ∈N|0 ≤ x ≤ 5}, B ={ x | x 2 -7 x +10<0},则 A - B =   (　　) A.{0,1}　    B.{1,2} C.{0,1,2}　    D.{0,1,2,5} 答案    D 　∵ A ={ x ∈N|0 ≤ x ≤ 5}={0,1,2,3,4,5}, B ={ x | x 2 -7 x +10<0}={ x |2< x <5}, A - B ={ x | x ∈ A 且 x ∉ B },∴ A - B ={0,1,2,5}.故选D. 解题关键 　正确理解集合 A - B 的定义是求解本题的关键. 9. (2017广东惠州三调,1)已知全集 U =R,集合 A ={1,2,3,4,5}, B ={ x ∈R| x ≥ 2},则图中阴影部分所 表示的集合为   (　　)   A.{0,1,2}　    B.{0,1}　    C.{1,2}　    D.{1} 答案      D 　图中阴影部分表示的集合为 A ∩ ∁ U B ,又 A ={1,2,3,4,5}, B ={ x ∈R| x ≥ 2},则图中阴影 部分表示的集合为{1},故选D. 思路分析 　先观察Venn图,得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知求解. 一题多解 　因为 A ∩ B ={2,3,4,5},而图中阴影部分表示的集合为 ∁ A ( A ∩ B ),所以阴影部分所表 示的集合为{1},故选D. 10. (2017湖南长沙二模,2)已知集合 A ={1,2,3}, B ={ x | x 2 -3 x + a =0, a ∈ A },若 A ∩ B ≠ ⌀ ,则 a 的值为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.1或2 答案      B 　当 a =1时, B 中元素均为无理数, A ∩ B = ⌀ ; 当 a =2时, B ={1,2}, A ∩ B ={1,2} ≠ ⌀ ; 当 a =3时, B = ⌀ ,则 A ∩ B = ⌀ ,所以 a 的值为2,故选B. 思路分析 　分别令 a =1,2,3,求出 B 中方程的解,进而得出 A ∩ B ,从而得出满足题意的 a 值. 11. (2017豫北名校12月联考,2)设 P , Q 为两个非空实数集合,定义集合 P ⊗ Q ={ z | z = a ÷ b , a ∈ P , b ∈ Q },若 P ={-1,0,1}, Q ={-2,2},则集合 P ⊗ Q 中元素的个数是   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案      B 　当 a =0时,无论 b 取何值, z = a ÷ b =0; 当 a =-1, b =-2时, z =   ; 当 a =-1, b =2时, z =-   ; 当 a =1, b =-2时, z =-   ; 当 a =1, b =2时, z =   . 故 P ⊗ Q =   ,该集合中共有3个元素,所以选B. 易错警示 　由于忽视集合中元素的互异性而导致错选D,掌握集合概念的关键是把握集合中 元素的特性. 12. (2017豫北名校4月联考,5)设集合 A ={ x | x 2 +2 x -3>0},集合 B ={ x | x 2 -2 ax -1 ≤ 0, a >0},若 A ∩ B 中恰 含有一个整数,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.(1,+ ∞ ) 答案    B      A ={ x | x 2 +2 x -3>0}={ x | x >1或 x <-3},设函数 f ( x )= x 2 -2 ax -1,因为函数 f ( x )= x 2 -2 ax -1图象的 对称轴为直线 x = a ( a >0), f (0)=-1<0,根据对称性可知若 A ∩ B 中恰有一个整数,则这个整数为2,所 以有   即   所以   即   ≤ a <   ,故选B. 思路分析 　先求出集合 A ,再观察 f ( x )= x 2 -2 ax -1的图象,利用数形结合确定 A ∩ B 中所含的唯一整 数为2,进而得 f (2) ≤ 0且 f (3)>0,从而可得出 a 的范围. 解题关键 　根据二次函数图象的对称性得出若 A ∩ B 中恰有一个整数,则这个整数是2,从而得 出关于 a 的不等式组是求解本题的关键. 二、填空题(每题5分,共5分) 13. (2016河南郑州一中期中,13)已知集合 A ={ a +2,( a +1) 2 , a 2 +3 a +3},若1∈ A ,则实数 a 的取值集合 为 　　　     . 答案 　{0} 解析 　(1)若 a +2=1,则 a =-1,( a +1) 2 =0, a 2 +3 a +3=1-3+3=1,不满足集合中元素的互异性. (2)若( a +1) 2 =1,则 a =-2或0. 当 a =-2时, a +2=0, a 2 +3 a +3=4-6+3=1,不满足集合中元素的互异性; 当 a =0时, a +2=2, a 2 +3 a +3=3,满足题意. (3)若 a 2 +3 a +3=1,解得 a =-1或-2. 由(1)(2)可知均不符合题意. 综上,实数 a 的取值集合为{0}.