难点09 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版）

难点09 立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版）

www.ks5u.com 难点九 难点突破强化训练 ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2017届河南新乡一中高三周考11.6】在等腰梯形中，,,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知三棱锥为正四面体,且边长.故外接球半径为,外接球的体积为.故选C.‎ ‎2．【2017届湖南郴州市高三第二次质监】将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.‎ ‎3．【2017届浙江省高三上学期高考模拟】如图，已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线平面所成的角是，直线与所成的角是，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】如下图所示，设在平面的投影为，过作，垂足为，连，，∴，，∵，∴，∴，而与的大小关系是不确定的，故选A.‎ ‎4．【2017届河北磁县一中高三11月月考】已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得，连接，则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（ ）‎ A.68% B.70% C.72% D.75%‎ ‎【答案】D ‎5．【2017届河北衡水中学高三上学期四调】在棱长为6的正方体中，是 的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）‎ A．36 B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为平面，由，同理平面，则，所以，下面研究点在面内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得，该圆与的交点的纵坐标最大，交点坐标，三棱锥的底面的面积为，要使三棱锥的体积最大，只需高最大，当在上时，棱锥的高最大，，故选A.‎ ‎6．【2017届河北武邑中学高三上期中】已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎7．【2017届山东寿光现代中学高三实验班10月月考】如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．【2017届广西陆川县中学高三9月月考】如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）‎ ‎①；②平面；③三棱锥的体积有最大值．‎ A．① B．①② C．①②③ D．②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】①中由已知可得面，∴．②，根据线面平行的判定定理可得平面．③当面面时，三棱锥的体积达到最大．故选C．‎ ‎ 9．【2017届黑龙江双鸭山宝清县高级中学高三段测】若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从题设中提供的三视图来看,底面面积是,侧面三角形的高是,故最大的侧面面积为,故应选A．‎ ‎10. 【2017届河北武邑中学高三上学期调研五】一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎ 11．【2017届河南百校联盟高三11月质监】已知边长为的菱形中，,现沿对角线BD折起，使得，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，设则由勾股定理可得四面体的外接球的表面积为故选C.‎ ‎ ‎ ‎12．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，，，∴，同理：．∴为直线与平面所成的角， 为直线与平面所成的角，∴，又，∴，∴．在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，（）∴，整理得．∴点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆．∵平面平面，，，∴为二面角的平面角．∴当与圆相切时，最大，取得最小值．此时，，，∴．．故选：C．‎ ‎（二）填空题（4*5=20分）‎ ‎13. 【2017届河南南阳一中高三上学期月考四】如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为.‎ ‎14．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考五】在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球心为，设底边和体高，如图，则，（为斜高），的底边的高为，的边长为，∴，∵，又，∴，∴，令，得，由该体积函数的几何意义得：当时，正四棱锥的体积最小．∴当正四棱锥的体积取最小值时，其高等于．故答案为：．‎ ‎15．【2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考】已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16．【2017届山西右玉一中高三上期中】某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，把已知几何体长为的棱看作某个长方体的对角线（如图所示），设,则它的正视图的投影长为侧视图的投影长为，俯视图的投影长为则，即.因为，所以 ，即当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.‎ ‎ (三)解答题（4*10=40分）‎ ‎17．【四川省2017年普通高考适应性测试】如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：连接交于，连接.‎ 在正方形中，点是中点，点是中点，所以，所以，所以在等腰中，是的中点，且，因此在等腰 中，，从而，又，所以平面，即平面. ‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，由于点是中点，点是中点，所以，于是，从而，所以，于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，在正方形中，解得，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，二面角的余弦值为. ‎ ‎18. 【2017届山东肥城市高三上学期升级统测】在正三角形中, 分别是边上的点，满足（如图），将折起到的位置上，连接（如图）.‎ ‎（1）求证:面;‎ ‎（2）求证:.‎ ‎【解析】（1）,又平面平面面.‎ ‎（2）不妨设正三角形的边长为,则,又,,‎ 在中,,即.则在图中,有面面,面,又面,.‎ ‎19. 【2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试】如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）证明：在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系，令，则，∴.设为平面的一个法向量，由，得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∴.‎ ‎20. 【2017届河北衡水中学高三摸底联考】如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且 ‎,且.‎ ‎ （1）设点为棱中点,在面内是否存在点,使得平面？若存在,请证明,若不存在,说明理由；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（2）以为原点所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，平面,平面PEA的法向量,另外，，,，, ‎ ‎ ‎