数学文卷·2018届湖南师大附中高三上学期月考试卷（三）（11月）（2017

数学文卷·2018届湖南师大附中高三上学期月考试卷（三）（11月）（2017

湖南师大附中2018届高三月考试卷(三)‎ 数　学(文科) ‎ 命题人、审题人：彭萍　苏萍　曾克平 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(1)设i是虚数单位，则－1＋i－i2＋i3－i4＋…i100＝(C)‎ ‎(A)1 (B) 0 (C)－1 (D)i ‎【解析】根据等比数列求和公式，可知原式＝＝－1，故答案选C.‎ ‎(2)给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相垂直的充要条件是a＝－；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.下列结论中正确的是(D)‎ ‎(A)“p∧q”为真命题 (B)“p∨q”为假命题 ‎(C)“p∨綈q”为假命题 (D)“p∧綈q”为真命题 ‎【解析】命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相垂直的充要条件是2a＋3(a＋1)＝0，得a＝－，所以为真命题；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β相交也可以，所以为假命题，即p为真命题，q为假命题，所以“p∧綈q”为真命题，故答案选D.‎ ‎(3)如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间上为减函数，则a的取值范围是(C)‎ ‎(A) (0，1] (B)[0，1) (C)[0，1] (D) (0，1)‎ ‎(4)计算机执行如图所示的程序，则输出的S值为(C)‎ i＝6‎ S＝1‎ DO S＝Si i＝i－1‎ LOOP UNTIL i＜3‎ PRINT　S END ‎(A)30 (B)120 (C)360 (D)720‎ ‎【解析】执行循环体依次得S＝6，i＝5；S＝30，i＝4；‎ S＝120，i＝3；S＝360，i＝2，此时满足条件i＜3，所以输出的S＝360，故答案选C.‎ ‎(5)在等差数列{an}中，a1＝2016，其前n项和为Sn，若2017S2016－2016S2017＝2016×2017，则S2016的值等于(C)‎ ‎(A)2018 (B)2017 (C)2016 (D)2015‎ ‎【解析】利用等差数列性质：为等差数列．‎ ‎(6)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(D)‎ ‎(A)等腰三角形 (B)直角三角形 ‎(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 ‎【解析】由已知＝＝＝，所以＝或＝0.即C＝90°或＝.‎ 由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.‎ 因为B、C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案选D.‎ ‎(7)已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(C)‎ ‎(A)2 (B)4 (C) (D) ‎【解析】由已知的三视图可得：该几何体是一个底面为直角边为2的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故该几何体的体积为V＝，故答案为C.‎ ‎(8)已知半径为4的圆O是△ABC的外接圆，且满足＋＋＝0，则在上的投影为(A)‎ ‎(A)2 (B)－2 (C)4 (D)－4 ‎【解析】∵＋＋＝0，∴＋(－)＋(－)＝0，∴＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，又O为△ABC的外心，所以△ABC为正三角形．‎ 设△ABC的边长为a，则×a＝4，∴a＝4.‎ 所以在上的投影为4cos＝2，故答案选A.‎ ‎(9)在区间[0，4]上随机地选择一个数p，则方程x2－px＋3p－8＝0有两个正根的概率为(A)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【解析】方程x2－px＋3p－8＝0有两个正根，则有 即解得p≥8或＜p≤4，又p∈[0，4]，则所求概率为p＝，故答案选A.‎ ‎(10)在直角坐标系中，若不等式表示一个三角形区域，则实数a的取值范围是(D)‎ ‎(A)a>0 (B)a≥0 (C)a≤－2 (D)a>－2‎ ‎(11)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围是(B)‎ ‎(A) (B) ‎(C) (D) ‎【解析】由三角形PF1F2三边关系可知，∴，因此e1e2＋1的取值范围是，故答案选B.‎ ‎(12)已知函数f(x)(x∈R)满足f＝1，且f的导数f′(x)>，则不等式f<＋的解集为(D)‎ ‎(A)(－∞，－1) (B)(1，＋∞)‎ ‎(C)(－∞，－1]∪[1，＋∞) (D)(－1，1)‎ ‎【解析】设F＝f－x，F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)>.∴F′(x)＝f′(x)－>0，‎ 即函数F(x)在R上单调递增．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－0)的焦点F与椭圆Γ：＋y2＝1的一个焦点重合，点M(x0，2‎ ‎)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程以及|MF|的值；‎ ‎(Ⅱ)记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数λ∈R，使得＝λ且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)依题意，椭圆Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，则2p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x，将M代入y2＝4x，解得x0＝1，‎ 故＝1＋＝2.4分 ‎(Ⅱ)(法一)依题意，F，设l：x＝ty＋1，设A，B，‎ 联立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴　　① ‎ 且，又＝λ 则＝λ，即y1＝－λy2，代入　①‎ 得，6分 消去y2得4t2＝λ＋－2，且H，8分 则|HA|2＋|HB|2＝＋y＋＋y＝x＋x＋2＋2＋y＋y＝＋＋2＋2＋y＋y＝＋4t＋8＝＋4t·4t＋8＝16t4＋40t2＋16.由16t4＋40t2＋16＝，10分 解得t2＝或t2＝－(舍)，故λ＝2或.12分 ‎(法二)若设直线斜率为k，讨论k存在与不存在，酌情给分 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．‎ ‎(Ⅰ)当b＝1时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)当a＝－1，b＝0时，证明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e为自然对数的底数)‎ ‎【解析】(Ⅰ)当b＝1时，f(x)＝ax2－(1＋a2)x＋aln x，‎ f′(x)＝ax－(1＋a2)＋＝.1分 讨论：1°当a≤0时，x－a>0，>0，ax－1<0⇒f′(x)<0，‎ 此时函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.2分 ‎2°当a>0时，令f′(x)＝0⇒x＝或a，‎ ‎①当＝a(a>0)，即a＝1时， 此时f′(x)＝≥0(x>0)，‎ 此时函数f(x)单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；3分 ‎②当0<1时，此时在和(a，＋∞)上函数f′(x)>0，‎ 在上函数f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增区间为和(a，＋∞)；‎ 单调递减区间为；4分 ‎③当0－x2－x＋1，‎ 只需证明：ex－ln x－1>0，设g(x)＝ex－ln x－1(x>0)，‎ 问题转化为证明∀x>0，g(x)>0.‎ 令g′(x)＝ex－， g″(x)＝ex＋>0，‎ ‎∴g′(x)＝ex－为(0，＋∞)上的增函数，且g′＝－2<0，g′(1)＝e－1>0，8分 ‎∴存在惟一的x0∈，使得g′(x0)＝0，ex0＝，‎ ‎∴g(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增.10分 ‎∴g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－1＝＋x0－1≥2－1＝1，‎ ‎∴g(x)min>0∴不等式得证.12分 ‎(法二)先证：x－1≥ln x(x>0)‎ 令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，∴h′(x)＝1－＝＝0⇒x＝1，‎ ‎∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增 ‎∴h(x)min＝h(1)＝0，∴h(x)≥h(1)⇒x－1≥ln x．8分 ‎∴1＋ln x≤1＋x－1＝x⇒ln(1＋x)≤x，‎ ‎∴eln(1＋x)≤ex，10分 ‎∴ex≥x＋1>x≥1＋ln x，∴ex>1＋ln x，‎ 故ex－ln x－1>0，证毕.12分 请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρsin＝1.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．‎ ‎【解析】(Ⅰ)曲线，‎ 可得： 曲线C的普通方程：x2＋y2＝4.3分 直线l：ρsin＝1＝ρsin θ＋ρcos θ，‎ 直线l的直角坐标方程：x＋y－2＝0.5分 ‎(Ⅱ)∵圆C的圆心(0，0)半径为2，，圆心C到直线的距离为1，‎ ‎∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1.‎ l1：x＋y＝0，l2：x＋y－4＝0.‎ ，可得 两个交点(－，1)、(，－1)；‎ 解得(1，)，8分 这三个点的极坐标分别为：、、.10分 ‎(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝，g(x)＝af(x)－|x－1|.‎ ‎(Ⅰ)当a＝0时，若g(x)≤|x－2|＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当a＝1时，求g(x)的最大值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)当a＝0时，g(x)＝－ ‎∴－≤＋b⇒－b≤＋ ‎∵＋≥＝1‎ ‎∴－b≤1，∴b≥－15分 ‎(Ⅱ)当a＝1时，g(x)＝6分 可知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减8分 ‎∴g(x)max＝g(1)＝1.10分