湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（二）数学（文）试题 Word版含解析

湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（二）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（二）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，若，则实数的值不可能为( )‎ A. -1 B. 1 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由不等式的性质和交集性质得到 或 ，．‎ 详解：：集合 ，A∩B={2}， ∴ 或 ， ∴实数 的值不可能为1． 故选B．‎ 点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎2.设复数满足，则( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ 详解：由，得 ‎ ‎ ‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ - 23 -‎ ‎3.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于( )‎ A. -8 B. -6 C. 0 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由成等比数列，可得 ‎ 再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．‎ 详解：∵4成等比数列，∴， 化为 解得 则 ‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4.设向量，若,则( )‎ A. B. C. -1 D. -3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用，即可求出 ，再利用两角和的正切公式即可得出．‎ 详解：∵， ，即 ． 故选：B．‎ 点睛：利用，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键．‎ ‎5.下列各组命题中，满足“‘’为真、‘’为假、‘’为真”的是( )‎ - 23 -‎ A. 在定义域内是减函数： 偶函数；‎ B. ，均有是成立的充分不必要条件；‎ C. 的最小值是6；：直线被圆截得的弦长为3；‎ D. 抛物线的焦点坐标是过椭圆的左焦点的最短的弦长是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：分别判断命题 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ 详解：A．在 和 上分别是减函数， 则命题是假命题，是真命题，则是假命题，不满足条件． B．判别式 ，则，均有成立， 即是真命题，是成立的必要不充分条件， 即是假命题，则“‘’为真、‘’为假、‘’为真”，故B正确， C．当 时，的最小值不是6，则是假命题， 圆心道直线的距离d 则弦长l ，则是假命题，则 q为假命题，不满足条件． D．抛物线的焦点坐标是，则是真命题， 椭圆的左焦点为 ，当 时， ，则 ，则最短的弦长为 ，即是真命题， 则￢q是假命题，不满足条件． 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．综合性较强涉及的知识点较多．‎ - 23 -‎ ‎6.，中，,在线段上任取一点，则的面积小于的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据条件可求出 ，进而得出 ，从而可求出的面积，即可得出要求的概率值．‎ 详解：由得： ； 的面积小于的概率为． 故选C．‎ 点睛：本题考查向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及几何概率的计算方法，属于中档题．‎ ‎7.设函数的图象在点 处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A - 23 -‎ ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可．‎ 详解：由可得： 即 ， 函数是奇函数，排除选项B，D； 当 时， ，排除选项C． 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查．‎ ‎8.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 360，则判断框中可以填( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 详解：模拟程序的运行，可得 S=0，i=1‎ - 23 -‎ ‎ 执行循环体，S=290，i=2 不满足判断框内的条件，执行循环体， ‎ 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 的值为360． 可得判断框中的条件为． 故选：C．‎ 点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 ‎9.已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意可得函数的周期为 求得．再根据当时， 恒成立， ，由此求得的取值范围．‎ 详解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为 - 23 -‎ ‎， 故函数的周期为 若对恒成立，即当时， 恒成立，， 故有，求得 ‎ 结合所给的选项， 故选D．‎ 点睛：本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题．‎ ‎10.已知某空间几何体的三视图如图所示，左视图是正方形，则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由三视图还原原几何体，，再由体积公式求解．‎ 详解：个几何体是由一个正方体截去一个三棱锥后和一个圆柱组成的组合体，其体积为 ‎ ‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查由三视图求组合体的体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 ‎11.已知双曲线的右焦点为F，其中一条渐近线与圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，则双曲线C - 23 -‎ 的离心率的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离，结合已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线的右焦点为F（c，0），一条渐近线方程为：bx﹣ay＝0，‎ 圆（x﹣c）2+y2＝a2（c2＝a2+b2，c＞0）的圆心（c，0），半径为a，‎ 交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，‎ 可得：a，可得a2＞b2a2，‎ 又c2＝a2+b2，b2a2，可得c2，可得：e，得a2＞b2，‎ 可得e．‎ 所以双曲线C的离心率的取值范围是：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．‎ ‎12.已知，若恰有两个根,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，所以，从而，求导可得，当时，，当时，，所以函数在，所以选D.‎ 点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据分段函数的表达式代入进行求解即可．‎ 详解： ‎ 即答案为.‎ 点睛：本题主要考查函数值的计算，比较基础．‎ ‎14.设变量满足约束条件，则目标函数最大值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 作出可行域如图：‎ - 23 -‎ 由 解得，由得，平移直线，结合图象知，直线过点A时，，故填5.‎ ‎15.已知点在同一个球的球面上，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：确定 外接圆的直径为 圆心 为的中点，求出球心到平面 的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ 详解：∵， 外接圆的直径为，圆心 为的中点 ∵球心恰好在棱上，，则为球的直径，则 由球的性质，平面，则平面，即为三棱锥的高，由四面体的体积为，可得 - 23 -‎ ‎ ， ∴球的半径为 ‎ ‎∴球的表面积为 ． 即答案为．‎ 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，正确求出球的半径是关键．‎ ‎16.已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得 数列满足利用累加求和方法即可得出 ．可得，利用不等式的性质即可得出．‎ 详解：由题 时， 化为 时， ，解得 ∴数列a1=1，a2=2的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2， ． 进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1． 数列满足 时， ‎ 时也成立． ‎ - 23 -‎ ‎ ‎ 则数列中第4项最小．‎ 即答案为4.‎ 点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知中，角所对的边分别是,且. ‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，‎ 由此可求角的大小；‎ ‎（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.‎ 详解：‎ ‎（1）由题意，‎ - 23 -‎ 所以 ‎ ‎（2）因为 所以当时， 取最大值，此时， ‎ 由正弦定理得，‎ 点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．‎ ‎18.在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：‎ 其中，赞成限购的户数如下表：‎ 人平均月收入 赞成户数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1)求人平均月收入在 - 23 -‎ 的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；‎ ‎(2)求所抽取的 50户的人平均月收入的平均数；‎ ‎(3)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ 非高收入户 高收入户 总计 赞成 不赞成 总计 附：临界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】(1)；(2)6.4千元；(3)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据均值公式计算即可；（2）住户共有8户，赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，随机变量的取值可能为0,1,2，分别计算其概率即可；（3）根据卡方公式计算即可得出结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）千元 ‎(1)由直方图知：月收入在 - 23 -‎ 的住户共有8户，赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，设为赞成楼市限购令的用户数.‎ 则　 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎（3）依题意，列联表如下 非高收入户 高收入户 总计 赞成 ‎25‎ ‎10‎ ‎35‎ 赞成 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且平面.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)当直线与平面所成角为30°时，求四棱锥的表面积.‎ - 23 -‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题，又平面平面,所以,‎ 因，所以.由此可证平面，进而证明平面平面；‎ ‎(2)可证则为直线，即， ‎ 由余弦定理可得,，于是可求，则棱锥的表面积可求.‎ 详解：‎ ‎（1）证明：因，所以，‎ 因为平面平面,所以,‎ 因为，所以.‎ 因为，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面. ‎ ‎（2）如图，取的中点，连接，‎ 因为，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ 由（1）得：‎ 则为直线 即， ‎ 又，所以， ‎ - 23 -‎ 而，所以，所以，‎ ‎,‎ 所以：四棱锥的表面积为： ‎ 点睛：本题考查面面垂直的证明方法，考查几何体表面积的求法，其中证明为直线是解题的关键.‎ ‎20.已知椭圆过点，两个焦点为，椭圆的离心率为为坐标原点.‎ ‎(1) 求椭圆 的方程；‎ ‎(2)过左焦点作直线交椭圆于 两点（异于左右顶点），求的内切圆半径的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）根据，可得将点代入椭圆方程 - 23 -‎ ‎，由此求得椭圆方程； （Ⅱ）根据三角形的面积公式，可得当最大时，最大，设的方程，代入椭圆方程，利用三角形的面积公式及基本不等式性质，即可求得的最大值．‎ 详解：‎ ‎（1），，，‎ 又因为椭圆过点，‎ 所以 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设内切圆半径为，则 ‎∴当最大时，最大。‎ 设 代入得：‎ 令则 ‎ 当且仅当时取得最大值。‎ - 23 -‎ 当且仅当时取得最大值。‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎21.已知函数且，函数在点处的切线过点 .‎ ‎(1) 求满足的关系式，并讨论函数的单调区间；‎ ‎(2)已知，若函数在 上有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)或或.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)根据函数在点处的切线过点 .可得到，求出的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎(2) 令 ，问题等价函数在]与轴只有唯一的交点，求出函数的导数，通过讨论的范围，结合函数的单调性确定的范围即可．‎ 详解：‎ ‎（1），‎ ‎∴，，‎ ‎∴切线方程为：， ‎ ‎∵切线过点， ∴， ‎ - 23 -‎ ‎∴， ‎ ‎①当时，单调递增，单调递减，‎ ‎②当时，单调递减，单调递增． ‎ ‎（2）等价方程 在只有一个根，‎ 即只有一个根，‎ 令，等价函数在与轴只有唯一的交点， ‎ ‎∴‎ ‎①当时，在递减，的递增，‎ 当时，，要函数在与轴只有唯一的交点，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ ‎②当时，在递增，的递减，递增，‎ ‎∵，当时，，‎ ‎∴在与轴只有唯一的交点，‎ ‎③当，在的递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴在与轴只有唯一的交点，‎ 故的取值范围是或 或．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，其中合理运用等价转化思想是解题的关键，是一道综合题．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ - 23 -‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；‎ ‎(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设曲线上任意一点经过坐标变化后得到，依题意：‎ 所以：故曲线的标准方程为，极坐标方程为： ‎ ‎(2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：‎ 解之得：、，‎ ‎（法二）直线与曲线C1交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：‎ 联立方程可得:、,所以边上的高为，‎ - 23 -‎ ‎23.已知函数 ‎(1)当时，求该函数的最小值；‎ ‎(2) 解不等式：.‎ ‎【答案】(1)3；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质即可求出函数最小值；（2）分区间讨论，去掉绝对值号，即可解出不等式；‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ‎ ‎，即：‎ ‎（1）当时， ‎ ‎（2）当时，‎ ‎①当，不等式可化为：，则 ‎②当，不等式可化为：，无解 ‎③当，不等式可化为：，则 ‎ ‎ 综上可知，不等式的解集为：当时，；当时，.‎ ‎ ‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎