江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学试题

江西省宜春市宜丰中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学试题

www.ks5u.com 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和交集运算,即可求解.‎ ‎【详解】全集,集合 根据补集定义可得 则 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合补集、交集的简单运算,属于基础题。‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的真数大于0，被开方数大于等于0，列出关于的不等式组，再解不等式得到函数的定义域.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数的定义域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求法，即使函数解析式有意义的自变量的取值的集合，考查基本运算求解能力.‎ ‎3.在空间中,已知为不同的直线,为不同的平面,则下列判断错误的是（ ）‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合点、直线、平面的位置关系,对四个选项逐个分析即可选出答案.‎ ‎【详解】对于A选项,根据线面平行的判定定理,即可得出,A正确；‎ 对于B选项,根据面面平行的性质定理即可得出,B正确；‎ 对于C选项,若,不满足线面垂直的判定定理,不能得出,C错误；‎ 对于D选项,根据面面垂直的判定定理,即可得出,D正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了点线面的位置关系,考查了学生的空间想象能力与推理能力,属于基础题.‎ ‎4.函数的定义域是，对于任意的正实数，都有，且，则的值是（ ）.‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助条件，先求f（3），进而可得的值.‎ ‎【详解】解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），‎ 且，‎ 得f（3）＝f（）＝f（）+f（）＝2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考点是抽象函数及其应用，函数值的求法，是基本知识的考查．‎ ‎5.如图所示的直观图的平面图形中，，，则原四边形的面积( )‎ A. B. C. 12 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题首先可以根据直观图绘出原图，并根据直观图的各边长得出原图的各边长，最后根据梯形的面积公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图，根据直观图的相关性质可绘出原图，其中，，，‎ 故原四边形的面积为，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查通过直观图绘出原图，直观图图中与轴平行的直线在原图中长度不变，直观图图中与轴平行的直线为原图中长度的一半，考查绘图能力，是简单题。‎ ‎6.设，，，则a、b、c的大小关系是（ ）.‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数的性质，可得，，得到，再由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由对数函数的性质，可得，，‎ 又由，所以，‎ ‎，，‎ 根据指数函数的性质，可得，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数和对数函数的单调性，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可确定截面为平面，可知截掉部分为三棱锥 ‎，由三棱锥体积公式求得，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为，作比得到结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体沿平面截掉三棱锥后得到的图形 设正方体棱长为 ，‎ 截去部分体积与剩余部分体积之比为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.‎ ‎8.已知函数(且）的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则(　　)‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出幂函数，从而求出的值．‎ ‎【详解】解：函数中，令，解得， 此时，所以定点； 设幂函数， 则，解得 ‎； 所以， 所以， ． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．‎ ‎9.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设交于点，连接，证明出，得出，可得出，由平面结合直线与平面平行的性质定理得出，再利用平行线分线段成比例定理可得出的值.‎ ‎【详解】如下图所示，设交于点，连接，‎ 为的中点，则.‎ 由于四边形是平行四边形，，，，‎ ‎，因为平面，平面，平面平面，所以，，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与平面平行的性质定理求线段长度的比例，解题时要充分利用直线与平面平行的性质定理转化为直线与直线平行，然后利用平行线分线段成比例定理进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复合函数单调性的判断,根据的单调性即可得二次函数的单调性;由对数函数的定义域为正数,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】函数在上减函数 由复合函数单调性判断可知,对数部分为单调递减 所以在上单调递增,且 则 解得 即 故选:C ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的要求, 属于基础题.‎ ‎11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是(　　)‎ A. D1O∥平面A1BC1‎ B. MO⊥平面A1BC1‎ C. 二面角M－AC－B等于90°‎ D. 异面直线BC1与AC所成的角等于60°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体内由线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及线面角、线线角的知识来判断 ‎【详解】对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形 故 平面平面平面，故正确 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，‎ ‎,易证平面，则平面，故正确；‎ 对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误 对于D，为异面直线与所成的角，‎ 为等边三角形，，故正确 故选C ‎【点睛】本题考查了在正方体内的线面平行、线面垂直，求二面角的平面角的大小以及异面直线的大小，需要熟练运用判定方法等相关知识，较为综合 ‎12.已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点，可以转化为方程有两根，即直线与函数的图象有两个交点，即可求出a的取值范围。‎ ‎【详解】因为函数有两个零点，所以直线与函数的图象有两个交点，作出的图象，‎ 所以，当时，即，直线与函数图象有两个交点，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与两函数图象的交点之间的关系应用，意在考查学生转化与化归思想的应用能力。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故答案为：.‎ ‎14.正方体中，异面直线与所成角的大小为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出空间几何体,根据线面关系即可求得异面直线与所成角的大小.‎ ‎【详解】根据题意,画出空间几何体如下图所示:‎ 连接 ‎ 则由为正方体可知 ‎ 所以平面 又因为 所以,即异面直线与所成角的大小为 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,先观察位置关系,再通过证明垂直等也是求得角度的一种方法,属于基础题.‎ ‎15.已知一个直四棱柱底面是边长为2cm的菱形，高是3cm，则此直四棱柱的侧面积为________.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直四棱柱的性质直接求侧面积即可．‎ ‎【详解】直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，且四个侧面全等 ‎∴该直四棱柱的侧面积为S＝4×2×324．‎ 故答案为：24．‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的性质与面积的计算问题，是基础题．‎ ‎16.对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点，已知在恒有两个不同的不动点，则实数的取值范围______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不动点定义可将问题转化为在上恒有两个不同解；根据二次函数的图象特征可得到不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】由在恒有两个不同的不动点知：在上恒有两个不同解 即在上恒有两个不同解 令 ‎，解得：‎ 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了根据一元二次方程在区间内解的个数求解参数范围问题，关键是能够准确理解不动点的定义，将问题转化为一元二次方程根的个数问题；求解此类问题需用到二次函数的图象特征，在分析二次函数图像时通常通过以下几点来构造不等式：‎ ‎（1）判别式；（2）对称轴位置；（3）区间端点处的符号.‎ 三、解答题(70分）‎ ‎17.已知集合， ，全集为.‎ ‎(1).‎ ‎(2)已知集合，若，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)化简集合,根据交集和补集运算概念可得;‎ ‎(2)转化为后,列式可得.‎ ‎【详解】(1)由得,所以,‎ 则,‎ ‎.‎ ‎(2) ,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集,补集运算,集合的子集关系,属于基础题.‎ ‎18.如图,在四面体ABCD中,,点分别是的中点．求证：‎ ‎（1）直线面ACD；‎ ‎（2）平面EFC．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知中E，F分别为AB，BD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）由AD⊥BD结合（1）的结论可得EF⊥BD，再由CB＝CD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．‎ ‎【详解】证明：（1）∵E,F分别是AB,BD的中点．‎ ‎∴EF是的中位线, ‎ 面ACD,面ACD,‎ ‎∴直线面ACD；‎ ‎（2）‎ ‎,F是的中点, ‎ 又,平面CEF,平面CEF,‎ 得平面 面EFC．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间线面平行及线面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．‎ ‎19.已知函数（、为常数且，）的图象经过点，.‎ ‎（1）试求、的值；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将、两点的坐标代入函数的解析式，可得出关于、的方程组，由此解出、的值；‎ ‎（2）由题意得出，利用指数函数的单调性求出函数在区间 上的最小值，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，解得，；‎ ‎（2）由于不等式在时恒成立，则，‎ 由于指数函数在上是减函数，则，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了指数函数不等式恒成立问题，在含单参数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法来求解，简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若的零点为2，求；‎ ‎（2）若对于任意的都有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,可求得的值;‎ ‎（2）根据复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增,由都有，从而可得到,求解即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 因为的零点为2，即，所以，‎ 即，则，即，‎ 又,则.‎ ‎（2），令,可得,‎ 即函数的定义域为且,‎ 二次函数在上单调递增,在上单调递减,‎ 又函数是定义域上的增函数,‎ 根据复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增,‎ 要使得对于任意的都有，可得，即，解得.‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求法,考查了函数单调性的应用,利用复合函数的单调性是解决本题的关键,属于中档题.‎ ‎21. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；‎ ‎（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）∵平面平面，且，由面面垂直的性质定理知平面，该题还可以利用线面垂直的判定定理证明，先证平面，得，又，进而证明平面；（Ⅱ）要证明面面平行，需寻求两个线面平行关系，由，得平面；设，连接，则 ‎，从而平面，进而证明平面平面；（Ⅲ）对于不规则几何体的体积问题，可以采取割补的办法，将之转化为规则的几何体来求，所求几何体的体积等于.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以.‎ 又因为平面平面，平面平面，且平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.设，连接，在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面.‎ 又因为，平面，所以平面平面.‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得平面，，四边形的面积，‎ 所以四棱锥的体积.同理，四棱锥的体积.‎ 所以多面体的体积 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面平行的判定；3、几何体的体积.‎ ‎22.设函数．‎ ‎（1）若是偶函数，求的值；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由偶函数的定义，作差变形后可求出实数的值；‎ ‎（2）由已知代入可得，不等式两边同时除以可得出，换元，可得出，利用二次函数的单调性求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；‎ ‎（3）求出，换元，由此可得出函数在上有零点，利用参变量分离法得出，利用单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若是偶函数，则，即 即，则，即；‎ ‎（2），即，即，‎ 则，设，，.‎ 设，则，‎ 则函数在区间上为增函数，‎ 当时，函数取得最大值，.‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3），则，‎ 则，‎ 设，当时，函数为增函数，则，‎ 若在有零点，即在上有解，即，即，‎ 函数在上单调递增，则，即.，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用偶函数的定义求参数的值、函数不等式恒成立和零点问题，在求解含单参数的不等式恒成立问题和函数零点问题，可以利用参变量分离进行转化，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎