2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）

2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x＜2}‎ ‎2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎3．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（　　）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎4．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（　　）‎ A．134 B．866 C．300 D．500‎ ‎5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）‎ ‎6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（　　）‎ A．10 B．30 C．45 D．210‎ ‎7．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．450 B．460 C．495 D．550‎ ‎9．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（　　）‎ A．m=2，n=﹣1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=1 D．m=1，n=﹣1‎ ‎10．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎11．（5分）已知抛物线和圆 ‎，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．k2‎ ‎12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（　　）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则=　 　．‎ ‎14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为　 　．‎ ‎16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为　 　．‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎　a1j ‎…‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎…‎ ‎　a2j ‎…‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎…‎ ‎　a3j ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ai1‎ ai2‎ ‎　ai3‎ ‎…‎ ‎　aij ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．‎ ‎（1）求cos∠BCD的值；‎ ‎（2）求边AC的长．‎ ‎18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．‎ ‎（1）求证：ED⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长．‎ ‎19．（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．‎ 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：‎ A服务机构分数的频数分布表 分数区间 频数 ‎[0，10）‎ ‎20‎ ‎[10，20）‎ ‎30‎ ‎[20，30）‎ ‎50‎ ‎[30，40）‎ ‎150‎ ‎[40，50）‎ ‎400‎ ‎[50，60]‎ ‎350‎ 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：‎ 分数 ‎[0，30）‎ ‎[30，50）‎ ‎[50，60]‎ 满意度指数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；‎ ‎（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；‎ ‎（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．‎ ‎20．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）证明：△MEF为等腰三角形．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 ‎（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲.]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|+a，‎ ‎（1）若a=﹣1，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x＜2}‎ ‎【解答】解：∵B={x|2x＞1}={x|x＞0}，‎ ‎∴A∩B={x|0＜x＜2}，‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．（5分）已知，其中i为虚数单位，a∈R，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：由，‎ 得2=（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i，‎ ‎∴，即a=1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（　　）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎【解答】解：设公比为q，因为{an}是递增的等比数列，所以q＞0．an＞an﹣1‎ 因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a1＞0，a3＞0，又a1a3=a22=4，‎ 所以得a1=1，a2=2，a3=4，q=2，‎ 则S6=（1﹣q6）=q6﹣1=64﹣1=63．‎ 故选 C•‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（　　）‎ A．134 B．866 C．300 D．500‎ ‎【解答】解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为﹣x，‎ 向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），‎ 设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，‎ 则，‎ 解得a=1000（）≈134．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞0的解集用区间表示为（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）‎ ‎【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，‎ 若f（x）＞0，则有x2﹣x＞0，解可得x＞1，即在（1，+∞）上，f（x）＞0，反之在（0，1）上，f（x）＜0，‎ 又由函数为奇函数，则在（0，﹣1，）上，f（x）＞0，在（﹣∞‎ ‎，﹣1）上，f（x）＜0，‎ 则不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（　　）‎ A．10 B．30 C．45 D．210‎ ‎【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10 的展开式的通项公式为Tr+1=（x﹣x2）r．‎ 对于（x﹣x2）r，通项公式为Tm+1=•xr﹣m．（﹣x2）m，‎ 令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．‎ ‎∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．12π D．16π ‎【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，‎ 其中△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，AB⊥AC，‎ AA1⊥平面ABC，AA1=2，如图，‎ ‎∴该三棱柱外接球的半径R===，‎ ‎∴该三棱柱外接球的表面积：‎ S=4πr2=4=12π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．450 B．460 C．495 D．550‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=[]+[]+[]+…+[]+[]的值，‎ S=[]+[]+[]+…+[]+[]=10×0+10×1+10×2+…+10×9+10=10+20+30+…+90+10=460．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（　　）‎ A．m=2，n=﹣1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=1 D．m=1，n=﹣1‎ ‎【解答】解：根据图象可得f（1）=∈（1，2），当n=﹣1时，不满足，故排除A，D；‎ ‎ 当m=n=1时，f（x）=，恒成立，‎ 故函数f（x）无极值点，故不符合题意，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．（5分）已知f（x）=cosωx，（ω＞0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【解答】解：f（x）的图象关于（，0）对称，‎ ‎∴cosω=0，∴ω=+kπ，k∈Z，‎ 解得ω=+，k∈Z；‎ 令kπ≤ωx≤π+kπ，解得≤x≤+，k∈Z；‎ ‎∴f（x）在[0，]上是单调减函数，‎ ‎∵f（x）在（0，）上单调，‎ ‎∴≤，解得ω≤；‎ 又∵ω＞0，‎ ‎∴ω=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．k2‎ ‎【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=﹣1．‎ 由定义得：|AF|=xA+1，‎ 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA，‎ 同理：|CD|=xD，‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，‎ 则直线l的方程为：y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴xAxD=1，则|AB|•|CD|=1．‎ 综上所述，|AB|•|CD|=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（　　）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【解答】解：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，‎ 则有MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=（h﹣m）2+4‎ 由MB2=，=BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2=0．‎ ‎△=h2﹣8≥0⇒h2≥8‎ 该直角三角形斜边MB=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则=　3　．‎ ‎【解答】解：∵E为等边三角形ABCBC的中点，∴∠BAE=30°，AE=，‎ ‎∴=||||cos30°=2××cos30°=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为　4　．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得C（2，0）‎ 将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，‎ 得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，‎ 其A在第一象限，‎ 双曲线的两个焦点为F1、F2，‎ 连接AF1，‎ 若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c，‎ ‎|AF2|=c，‎ 则有|AF1|=c，‎ 则2a=|AF1|﹣|AF2|=（﹣1）c，‎ 则双曲线的离心率e==；‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为　7　．‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎　a1j ‎…‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎…‎ ‎　a2j ‎…‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎…‎ ‎　a3j ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ai1‎ ai2‎ ‎　ai3‎ ‎…‎ ‎　aij ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，‎ 该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j﹣1），‎ 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j﹣1）‎ 第i行是首项为4+3（i﹣1），公差为2i+1的等差数列，‎ 因此aij=4+3（i﹣1）+（2i+1）（j﹣1）=2ij+i+j，‎ 要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，‎ 所以j=，‎ 当i=1时，j=37，‎ 当i=2时，j=22，‎ 当i=4时，j=12，‎ 当i=7时，j=7，‎ 当i=12时，j=4，‎ 当i=22时，j=2，‎ 当i=37时，j=1．‎ ‎∴112在这“等差数阵”中出现的次数为7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．‎ ‎（1）求cos∠BCD的值；‎ ‎（2）求边AC的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ 则：，‎ ‎∴．‎ ‎∴；‎ ‎（2）在△BCD中，，‎ 由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=16，‎ 即DB=4，‎ ‎∵DB2+CD2=BC2，‎ ‎∴∠BCD=90°，‎ 即△ACD为直角三角形，‎ ‎∵A=30°，‎ ‎∴AC=2CD=4．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB⊥BE．‎ ‎（1）求证：ED⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若AB⊥AD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长．‎ ‎【解答】证明：（1）因为平面CBE与平面BDE垂直，‎ 且CB⊥BE，平面CBE与平面BDE的交线为BE，‎ 所以CB⊥面BDE，‎ 又ED⊂面BDE，所以，CB⊥ED，‎ 在矩形ADEF中，ED⊥AD，‎ 又四边形ABCD为梯形，AB∥CD，所以AD与CB相交，‎ 故ED⊥平面ABCD．‎ 解：（2）由（1）知，ED垂直DA，ED垂直DC，又AD垂直AB，AB平行CD，所以DC垂直DA，‎ 如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系 又CB⊥BD，∠CDB=45°，所以DC=2，‎ 设DE=a，则B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，a），‎ ‎=（﹣1，﹣1，a），=（﹣1，1，0）‎ 设平面BEC的法向量为，‎ 则，令x=1，则，所以平面BEC的法向量为，‎ 平面ADEF的法向量为，‎ 因为平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，‎ 则，‎ 即，解得a=1，即AF=DE=1．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分．‎ 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：‎ A服务机构分数的频数分布表 分数区间 频数 ‎[0，10）‎ ‎20‎ ‎[10，20）‎ ‎30‎ ‎[20，30）‎ ‎50‎ ‎[30，40）‎ ‎150‎ ‎[40，50）‎ ‎400‎ ‎[50，60]‎ ‎350‎ 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：‎ 分数 ‎[0，30）‎ ‎[30，50）‎ ‎[50，60]‎ 满意度指数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；‎ ‎（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；‎ ‎（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由对B服务机构的频率分布直方图，得：‎ 对B服务机构“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，‎ 所以，对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为1000×0.2=200人．‎ ‎（2）设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C．‎ 记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；‎ ‎“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1．‎ 所以P（B1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（B2）=0.4，‎ 由用频率估计概率得：P（A0）=0.1，P（A1）=0.55，‎ 因为事件Ai与Bj相互独立，其中i=1，2，j=0，1．‎ 所以P（C）=P（B1A0+B2A0+B2A1）=0.3，‎ 所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3．‎ ‎（3）如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B服务机构“满意度指数”X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.4‎ A服务机构“满意度指数”Y的分布列为：‎ ‎ Y ‎0 ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ P ‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.55‎ ‎ 0.35‎ 因为E（X）=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；E（Y）=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，‎ 所以E（X）＜E（Y），会选择A服务机构．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）证明：△MEF为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：（1）由直线l：bx﹣ay=0都经过点，则a=2b，‎ 将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立：，整理得x2+2tx+2t2﹣8=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣8，‎ 设直线MA，MB的斜率为kMA，kMB，要证△MEF为等腰三角形，‎ 只需kMA+kMB=0，由，‎ kMA+kMB=，=0，‎ 所以△MEF为等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为，且，‎ y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．‎ ‎（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，‎ 由（1）可知a＞2，且．‎ 于是：①②‎ 由①②得，设，‎ 则，因此g（x）在上单调递减，‎ 又，‎ 根据零点存在定理，故．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分（10分），第（1）问（5分），第（2）问5分）‎ 解：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ．‎ ‎∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆的方程，得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|===，‎ ‎4cos2α=1，解得cos，‎ ‎∴或．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲.]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|+a，‎ ‎（1）若a=﹣1，求不等式f（x）≥0的解集；‎ ‎（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≥0可化为：|2x+1|﹣|x|﹣1≥‎ ‎0，‎ ‎∴或或，…（3分）‎ 解得：x≤﹣2或x≥0，…（4分）‎ ‎∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）． …（5分）‎ ‎（2）由f（x）=2x得：a=2x+|x|﹣|2x+1|，‎ 令g（x）=2x+|x|﹣|2x+1|，则：，…（7分）‎ 作出函数y=g（x）的图象如图示，‎ 易知，‎ 结合图象知：当时，函数y=a与y=g（x）的图象有三个不同交点，‎ 即方程f（x）=2x有三个不同的解，…（9分）‎ ‎∴a的取值范围为． …（10分）‎ ‎　‎