2020学年高二数学下学期第二次月考试题（承智班）（新版）人教新目标版

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高二第二学期承智班第2次考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎2．定义在上的函数满足（其中为的导函数），若，则下列各式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆 绕 - 8 -‎ ‎ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，交轴于点，若，，则实数的取值是（ ）‎ A. B. C. D. 与有关 ‎7．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．己知函数，关于的方程恰好有三个不同的实数解，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 8 -‎ ‎11．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____．‎ ‎14．已知是双曲线（，）的右焦点，是双曲线上位于第一象限内的一点，，直线的方程为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎15．已知数列的前项和为，，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为__________．‎ ‎16．已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是，公差为1，把 - 8 -‎ 中的各项按如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中个项，则__________．（用数字作答）‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值点； ‎ ‎（2）若，函数有两个极值点，，且，‎ 求证： .‎ ‎18．已知抛物线，且，，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求证：、、三点共线；‎ ‎（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值．‎ ‎19．已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明:. ‎ - 8 -‎ 参考答案 CDDDC BBABA ‎ ‎11．C ‎12．C ‎13．或 ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎17．（1）见解析；（2）见解析 ‎（1）的定义域为，， ‎ ‎①若，则，‎ 所以当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以无极值点．‎ ‎②若，则，‎ 由得，.‎ 当的值变化时，，的值的变化情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 - 8 -‎ 所以有极大值点，极小值点 ‎ ‎（2）由（1）及条件可知 ‎ ， ‎ 且,,即,，‎ 所以 ,‎ 记,，‎ 因为当时， ，‎ 所以在上单调递减， ‎ 因为，所以，即.‎ ‎18．（1）见解析；（2）8.‎ ‎（1）由条件，可知，在抛物线上，是抛物线的焦点．‎ 所以 解得 ‎ 所以，，，‎ 所以，，所以，‎ 所以、、三点共线． ‎ - 8 -‎ ‎（2）由条件可知，可设，‎ 代入，得， ‎ ‎，解得．‎ 设，，则，‎ 所以 ， ‎ 当且仅当，即或时，‎ ‎19．（1）（2）见解析 ‎（1）解：由已知得，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）证明：由（1）知，‎ 所以.‎ 设，，要证，即要证在恒成立.‎ 因为，所以在上为增函数，在上为减函数，‎ 所以.①‎ 又，所以在上为减函数，在上为增函数，‎ 所以.②‎ - 8 -‎ 由于不等式①，②不能同时取等号，故，‎ 所以，成立. ‎ - 8 -‎