高中数学选修2-2课件1_阶段复习课
阶段复习课
第 一 章
【
核心解读
】
1.
导数几何意义
2.
导数计算公式
(1)
若
f(x)=c(c
为常数
)
，则
f′(x)=0.
(2)
若
f(x)=x
α
(α∈Q
*
)
，则
f′(x)=α·x
α-1
.
(3)
若
f(x)=sin x
，则
f′(x)=cos x.
(4)
若
f(x)=cos x
，则
f′(x)=-sin x.
(5)
若
f(x)=a
x
，则
f′(x)=a
x
ln a.
(6)
若
f(x)=e
x
，则
f′(x)=e
x
.
(7)
若
f(x)=log
a
x
，则
f′(x)=
(8)
若
f(x)=ln x
，则
f′(x)=
3.
导数运算法则
条件：
f(x)
，
g(x)
是可导的
.
结论：
(1)
［
f(x)±g(x)
］
′
=f′(x)±g′(x).
(2)
［
f(x)·g(x)
］
′
=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(3)
4.
函数的单调性与导函数值的关系
若函数
f(x)
在
(a
，
b)
内可导，则
f′(x)
在
(a
，
b)
任意子区间内部不恒等于
0.
f′(x)
＞
0⇒
函数
f(x)
在
(a
，
b)
上单调递增；
f′(x)
＜
0⇒
函数
f(x)
在
(a
，
b)
上单调递减
.
反之，函数
f(x)
在
(a
，
b)
上单调递增⇒
f′(x)≥0
；函数
f(x)
在
(a
，
b)
上单调递减⇒
f′(x)≤0.
即
f′(x)
＞
0(f′(x)
＜
0)
是
f(x)
为增
(
减
)
函数的充分不必要条件
.
5.
定积分的性质
(1) kf(x)dx=k f(x)dx(k
为常数
).
(2)
［
f
1
(x)±f
2
(x)
］
dx
= f
1
(x)dx± f
2
(x)dx.
(3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(
其中
a
＜
c
＜
b).
6.
微积分基本定理
如果
f(x)
是区间［
a
，
b
］上的连续函数，并且
F′(x)=f(x)
，那么
f(x)dx=F(b)-F(a).
7.
定积分与平面图形面积的关系
已知函数
f(x)
在［
a
，
b
］上是连续函数，由直线
y=0
，
x=a
，
x=b
与曲线
y=f(x)
围成的曲边梯形的面积为
S
，
f(x)≥0
，
S= f(x)dx
；
f(x)
＜
0
，
S=- f(x)dx.
主题一
导数的概念与几何意义
【
典例
1】
(1)(2013
·
广东高考
)
若曲线
y=kx+lnx
在点
(1
，
k)
处的切线平行于
x
轴，则
k=__________.
(2)
已知函数
y=x
3
-x
，求函数图象
①在点
(1
，
0)
处的切线方程
.
②
过点
(1
，
0)
的切线方程
.
【
自主解答
】
(1)
对
y=kx+ln x
求导得
y′=k+
，而
x
轴的斜率为
0
，所以在点
(1
，
k)
处切线的斜率为
y′|
x=1
=k+1=0
，解得
k=-1.
答案：
-1
(2)①
函数
y=x
3
-x
的图象在点
(1
，
0)
处的切线斜率为
k=y′|
x=1
=(3x
2
-1)|
x=1
=2
，
所以函数的图象在点
(1
，
0)
处的切线方程为
y=2x-2.
②
设函数
y=x
3
-x
图象上切点的坐标为
P(x
0
，
x
0
3
-x
0
)
，
则切线斜率为
切线方程为
y-(x
0
3
-x
0
)=(3x
0
2
-1)(x-x
0
)
，
由于切线经过点
(1
，
0)
，
所以
0-(x
0
3
-x
0
)=(3x
0
2
-1)(1-x
0
)
，
整理，得
2x
0
3
-3x
0
2
+1=0
，即
2(x
0
3
-1)-3(x
0
2
-1)=0
，
所以
2(x
0
-1)(x
0
2
+x
0
+1)-3(x
0
+1)(x
0
-1)=0
，
所以
(x
0
-1)
2
(2x
0
+1)=0
，
解得
x
0
=1
或
x
0
=
所以
P(1
，
0)
或
P( )
，
所以切线方程为
y=2x-2
或
【
延伸探究
】
在题
(2)
中，与直线
y=-x+1
平行的切线是否存在？若存在，求出切线方程
.
【
解析
】
假设存在，则切线斜率为
k=-1
，设切点为
(x
0
，
y
0
)
，
由
y′=3x
0
2
-1=-1
，解得
x
0
=0
，
故切点为
(0
，
0)
，所以切线方程为
y=-x
，所以切线存在
.
【
方法技巧
】
求曲线的切线的方法
求曲线的切线分两种情况
(1)
求某点处的切线，该点在曲线上，且此点是切点，切线斜率
(2)
求过某点
P
的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点
(x
0
，
y
0
)
，求出切线斜率 利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程
.
【
补偿训练
】
(2013·
北京高考
)
设
l
为曲线
C
： 在点
(1
，
0)
处的切线
.
(1)
求
l
的方程
.
(2)
证明：除切点
(1
，
0)
之外，曲线
C
在直线
l
的下方
.
【
解题指南
】
(1)
先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程
.
(2)
转化为直线
l
上点的纵坐标大于曲线
C
上点的纵坐标，再转化为函数，用极小值解决
.
【
解析
】
(1)y′=
，于是
y′|
x=1
=1
，因此
l
的方程为
y=x-1.
(2)
只需要证明
∀
x>0
且
x≠1
时，
x-1>
设
f(x)=x(x-1)-ln x
，
x>0
，则
f′(x)=2x-1- =
当
x∈(0
，
1)
时，
f′(x)<0
；当
x∈(1
，
+∞)
时，
f′(x)>0.
所以
f(x)
在
(0
，
1)
上单调递减，在
(1
，
+∞)
上单调递增
.
所以
f(x)
在
x=1
处取得极小值，也是最小值
.
所以
f(x)>f(1)=0(x≠1).
因此，除切点
(1
，
0)
之外，曲线
C
在直线
l
的下方
.
主题二
求函数单调区间
【
典例
2】
(2013·
山东高考改编
)
已知函数
f(x)=ax
2
+bx-ln x
(a
，
b∈R).
设
a≥0
，求
f(x)
的单调区间
.
【
自主解答
】
由
f(x)=ax
2
+bx-ln x
，
x∈(0
，
+∞)
，
得
f′(x)=
(1)
当
a=0
时，
f′(x)=
①
若
b≤0
，当
x>0
时，
f′(x)<0
恒成立，
所以函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
+∞).
②
若
b>0
，当
0
时，
f′(x)>0
，函数
f(x)
单调递增，
所以函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
)
，单调递增区间是
(
，
+∞).
(2)
当
a>0
时，
f′(x)=0
，
得
2ax
2
+bx-1=0
，
由
Δ=b
2
+8a>0
，
得
显然，
x
1
<0
，
x
2
>0.
当
0x
2
时，
f′(x)>0
，函数
f(x)
单调递增，
所以函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
)
，单调递增区间是
(
，
+∞).
综上所述，当
a=0
，
b≤0
时，函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
+∞)
；
当
a=0
，
b>0
时，函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
)
，单调递增区间是
(
，
+∞)
；
当
a>0
时，函数
f(x)
的单调递减区间是
(0
，
)
，单调递增区间是
(
，
+∞).
【
方法技巧
】
求函数的单调区间的方法步骤
(1)
确定函数
f(x)
的定义域
.
(2)
计算函数
f(x)
的导数
f ′(x).
(3)
解不等式
f′(x)
＞
0
，得到函数
f(x)
的递增区间；解不等式
f ′(x)
＜
0
，得到函数
f(x)
的递减区间
.
提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误
.
【
拓展延伸
】
确定导函数符号的方法
确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确定可以借助以下方法完成：
(1)
解关于导函数的不等式
.
(2)
利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导数判定导函数的单调性
.
(3)
数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间
.
(4)
含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后，确定导函数值的符号
.
【
补偿训练
】
若
a≥-1
，求函数
f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
的单调
区间
.
【
解析
】
由已知得函数
f(x)
的定义域为
(-1
，
+∞)
，且
f′(x)=
(a≥-1)
，
(1)
当
-1≤a≤0
时，
f′(x)<0
，函数
f(x)
在
(-1
，
+∞)
上单调递
减
.
(2)
当
a>0
时，由
f′(x)=0
，解得
f′(x)
，
f(x)
随
x
的变化情况如表
从上表可知，当
x∈(-1
，
)
时，
f′(x)<0
，函数
f(x)
在
(-1
，
)
上单调递减；
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
当
x∈(
，
+∞)
时，
f′(x)>0
，函数
f(x)
在
(
，
+∞)
上单调递增
.
综上所述，当
-1≤a≤0
时，函数
f(x)
在
(-1
，
+∞)
上单调递减
.
当
a>0
时，函数
f(x)
在
(-1
，
)
上单调递减，函数
f(x)
在
(
，
+∞)
上单调递增
.
主题三
利用导数求函数极值
【
典例
3】
(2013·
新课标全国卷
Ⅱ)
已知函数
f(x)=x
2
e
-x
.
(1)
求
f(x)
的极小值和极大值
.
(2)
当曲线
y=f(x)
的切线
l
的斜率为负数时，求
l
在
x
轴上截距的取值范围
.
【
解题指南
】
(1)
求导函数
f′(x)
，令
f′(x)=0
求极值点，列表求极值
.
(2)
设切线，表示出切线
l
的方程，令
y=0
得
l
在
x
轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围
.
【
自主解答
】
(1)f′(x)=e
-x
(-x
2
+2x)
，令
f′(x)=0
，得
x=0
或
2.
列表如下
函数
f(x)
的极小值为
f(0)=0
，极大值为
f(2)=
x
(-∞
，
0)
0
(0
，
2)
2
(2
，
+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
(2)
设切点为
(x
0
，
)
，则切线
l
的斜率为
k= (-x
0
2
+
2x
0
)
，
此时切线
l
的方程为
y- = (-x
0
2
+2x
0
)(x-x
0
)
，
令
y=0
，得
x=
，由已知和
(1)
得
x
0
∈(-∞
，
0)∪(2
，
+∞).
令
t=x
0
-2
，则
t∈(-∞
，
-2)∪(0
，
+∞)
，令
h(t)=t+
，则当
t∈(0
，
+∞)
时，
h(t)
的取值范围为［ ，
+∞)
；当
t∈
(-∞
，
-2)
时，
h(t)
的取值范围是
(-∞
，
-3)
，所以当
x
0
∈
(-∞
，
0)∪(2
，
+∞)
时，
x
的取值范围是
(-∞
，
0)∪
［ ，
+∞)
，综上，
l
在
x
轴上的截距的取值范围是
(-∞
，
0)∪
［ ，
+∞).
【
方法技巧
】
求函数的极值的方法步骤
(1)
确定函数的定义区间，求导数
f′(x).
(2)
求方程
f′(x)=0
的根
.
(3)
用函数的导数为
0
的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格
.
检查
f′(x)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f(x)
在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则
f(x)
在这个根处无极值
.
【
补偿训练
】
求
f(x)=
的极值
.
【
解析
】
f(x)=
所以
f′(x)=
令
f′(x)=0
，得
x
1
=-1
，
x
2
=1
，
当
x
变化时，
f′(x)
，
f(x)
的变化情况为
所以当
x=-1
时，
f(x)
极小值
=-3
；
当
x=1
时，
f(x)
极大值
=-1.
x
(-∞
，
-1)
-1
(-1
，
1)
1
(1
，
+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小
↗
极大
↘
主题四
利用导数求函数最值
【
典例
4】
已知函数
f(x)=(ax
2
+bx+c)e
x
在
[0
，
1]
上单调递减且满足
f(0)=1
，
f(1)=0.
(1)
求
a
的取值范围
.
(2)
设
g(x)= f(x)-f′(x)
，求
g(x)
在
[0
，
1]
上的最大值和最小值
.
【
解题指南
】
(1)
利用
f(0)=1
，
f(1)=0
，将
f(x)
用
a
表示出来，然后利用
f(x)=(ax
2
+bx+c)e
x
在
[0
，
1]
上单调递减
⇔
f′(x)≤0
在
x∈[0
，
1]
上恒成立且
f′(x)=0
不恒成立，然后通过分类讨论求得
a
的取值范围
.
(2)
化简
g(x)= f(x)- f′(x)
，通过对
g(x)
求导，然后分类讨论求最值
.
【
自主解答
】
(1)
由
f(0)=1
，
f(1)=0
，得
c=1
，
a+b=-1
，则
f(x)=[ax
2
-(a+1)x+1]e
x
，
f′(x)=[ax
2
+(a-1)x-a]e
x
，依题意对于任意
x∈[0
，
1]
，
f′(x)≤0
恒成立，且
f′(x)=0
不恒成立
.
当
a>0
时，因为二次函数
y=ax
2
+(a-1)x-a
的图象开口向上，而
f′(0)=-a<0
，所以需
f′(1)=(a-1)e<0
，即
00
，
f(x)
不符合条件
.
故
a
的取值范围为
0≤a≤1.
(2)
因
g(x)=(-2ax+1+a)e
x
，
g′(x)=(-2ax+1-a)e
x
，
(i)
当
a=0
时，
g′(x)=e
x
>0
，
g(x)
在
x=0
处取得最小值
g(0)=1
，在
x=1
处取得最大值
g(1)=e.
(ii)
当
a=1
时，对于任意
x∈[0
，
1]
，有
g′(x)=-2xe
x
≤0
，
g(x)
在
x=0
处取得最大值
g(0)=2
，在
x=1
处取得最小值
g(1)=0.
(iii)
当
0
＜
a
＜
1
时，由
g′(x)=0
得
①若 ≥
1
，即
0
＜
a≤
时，
g(x)
在［
0
，
1
］上单调递增，
g(x)
在
x=0
处取得最小值
g(0)=1+a
，在
x=1
处取得最大值
g(1)=(1-a)e.
②
若 ＜
1
，即 ＜
a
＜
1
时，
g(x)
在
x=
处取得最大值
g( )=
，在
x=0
或
x=1
处取得最小值，而
g(0)=1+a
，
g(1)=(1-a)e
，
由
g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0
，
得
则当 时，
g(x)
在
x=0
处取得最小值
g(0)=1+a
；
当 ＜
a
＜
1
时，
g(x)
在
x=1
取得最小值
g(1)=(1-a)e.
【
方法技巧
】
求函数的最值的方法步骤
(1)
求
f(x)
在
(a
，
b)
内的极值
.
(2)
将
f(x)
的各极值与
f(a)
，
f(b)
比较得出函数
f(x)
在［
a
，
b
］上的最值
.
提醒：易忽视函数的端点、不连续点、不可导点
.
【
补偿训练
】
求函数
f(x)=-x
3
+3x
，
x∈
［ ］的最值
.
【
解析
】
f′(x)=-3x
2
+3=-3(x-1)(x+1)
．
令
f′(x)=0
，得
x=1
或
x=-1
．
当
x
变化时，
f′(x)
，
f(x)
的变化情况如表：
x
( -1)
-1
(-1
，
1)
1
(1
，
)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
0
↘
-2
↗
2
↘
0
由上表可知：
当
x=1
时，
f(x)
取得最大值，
f(x)
max
=f(1)=2.
当
x=-1
时，
f(x)
取得最小值，
f(x)
min
=f(-1)=-2.
主题五
导数在优化问题中的应用
【
典例
5】
(2013
·
重庆高考
)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池
(
不计厚度
).
设该蓄水池的底面半径为
r
米，高为
h
米，体积为
V
立方米
.
假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为
100
元
/
平方米，底面的建造成本为
160
元
/
平方米，该蓄水池的总建造成本为
12000π
元
(π
为圆周率
).
(1)
将
V
表示成
r
的函数
V(r)
，并求该函数的定义域
.
(2)
讨论函数
V(r)
的单调性，并确定
r
和
h
为何值时该蓄水池的体积最大
.
【
解题指南
】
直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域，通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值
.
【
自主解答
】
(1)
因为蓄水池侧面的总成本为
100×2πrh=
200πrh
元，底面的总成本为
160πr
2
元，所以蓄水池的总成本
为
(200πrh+160πr
2
)
元
.
又据题意
200πrh+160πr
2
=12000π
，所以
h= (300-4r
2
)
，从而
V(r)=πr
2
h= (300r-4r
3
).
因
r>0
，又由
h>0
可得
r<
，故函数
V(r)
的定义域为
(0
，
).
(2)
因
V(r)= (300r-4r
3
).
故
V′(r)= (300-12r
2
).
令
V′(r)=0
，解得
r
1
=5
，
r
2
=-5(
因
r
2
=-5
不在定义域内，舍去
).
当
r∈(0
，
5)
时，
V′(r)>0
，故
V(r)
在
(0
，
5)
上为增函数；当
r∈(5
，
)
时，
V′(r)<0
，故
V(r)
在
(5
，
)
上为减函数
.
由此可知，
V(r)
在
r=5
处取得最大值，此时
h=8
，即当
r=5
，
h=8
时，该蓄水池的体积最大
.
【
方法技巧
】
解决优化问题的步骤
(1)
要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域
.
(2)
要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具
.
(3)
验证数学问题的解是否满足实际意义
.
【
补偿训练
】
某企业拟建造如图所示的容器
(
不计厚度，长度单位：米
)
，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且
l
≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关
.
已知圆柱形部分每平方米建造费用为
3
千元，半球形部分每平方米建造费用为
c(c>3)
千元
.
设该容器的建造费用为
y
千元
.
(1)
写出
y
关于
r
的函数表达式，并求该函数的定义域
.
(2)
求该容器的建造费用最小时的
r.
【
解析
】
(1)
因为容器的体积为 立方米，所以
+πr
2
l
=
，
解得
l
=
由于
l
≥2r
，因此
0
＜
r≤2.
所以圆柱的侧面积为
2πr
l
=
两端两个半球的表面积之和为
4πr
2
，
所以建造费用
y= -8πr
2
+4πcr
2
，
r∈(0
，
2
］
.
(2)
因为
y′=
=
由于
c>3
，所以
c-2>0
，
所以令
y′
＞
0
得：
r
＞
令
y′
＜
0
得：
0
＜
r
＜
①当 时，即当
3
＜
c≤
时，函数
y
在
(0
，
2)
上是单调递减的，故建造费最小时
r=2.
②
当
0
＜
<2
时，即
c
＞ 时，函数
y
在
(0
，
2)
上是先减后增的，故建造费用最小时
主题六
定积分的应用
【
典例
6】
设
y=f(x)
是二次函数，方程
f(x)=0
有两个相等的实根，且
f′(x)=2x+2.
(1)
求
y=f(x)
的表达式
.
(2)
若直线
x=-t(0
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