2019年高考数学高分突破复习练习专题五 第2讲
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
解析 法一 由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二 由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 A
2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析 过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.
答案 D
3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝c，即点P(2c，c).∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝.
答案 D
4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
(1)解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，可得点A的坐标为或.
又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以，x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.
所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝.
(2)过抛物线焦点的弦长
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2018·烟台二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.
解析 (1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b
＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1.
设点M(x0，y0)，且x0>0，y0>0.
由＝，知点M是线段FN的中点，N是FT中点，利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝2|NN′|＝2.又2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知y0＝.∴|MF|＝＋1＝，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3.
答案 (1)C (2)3
探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2018·衡水中学调研)P为椭圆C：＋y2＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，记动点Q的轨迹为Ω，设点B为椭圆C短轴上一顶点，直线BF2与Ω交于M，N两点，则|MN|＝________.
解析 (1)由题设知＝，①
又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，
易知a2＋b2＝c2＝9，②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.
(2)∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，且|PQ|＝|PF2|，
∴|F1Q|＝|F1P|＋|PF2|＝2.
∴Ω为以F1(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
∵|BF1|＝|BF2|＝，|F1F2|＝2，∴BF1⊥BF2，
故|MN|＝2＝2＝2.
答案 (1)B (2)2
热点二 圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.2
(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.
解析 (1)法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.
(2)设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，
由题意可知A，
由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2(舍)，e2＝4－2.由0
b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(00)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解 (1)如图，由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.
探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA
延长至点P，使得|PA|＝2，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆O相切，且与曲线C交于D，E两点，直线l1平行于l且与曲线C相切于点Q(O，Q位于l两侧)，＝，求k的值.
解 (1)设P(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，则M(x0，y0)且x＋y＝1，
由题意知OAMB为矩形，∴|AB|＝|OM|＝1，
∴＝2，即(x－x0，y)＝2(x0，－y0)，
∴x0＝，y0＝，则＋＝1，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)设l1：y＝kx＋n，∵l与圆O相切，
∴圆心O到l的距离d1＝＝1，得m2＝k2＋1，①
∵l1与l距离d2＝，②
∵＝＝＝＝，
∴m＝－2n或m＝n，
又O，Q位于l两侧，∴m＝n，③
联立消去y整理得
(9k2＋4)x2＋18knx＋9n2－36＝0，
由Δ＝0，得n2＝9k2＋4，④
由①③④得k＝±.
考法2 有关弦的中点、弦长问题
【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B
两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0).
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差.
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
由于点M(1，m)(m>0)在椭圆＋＝1内，
∴＋<1，解得00，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值.
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，
可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).
由已知有y1>y2>0，
故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.
又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，
故|AQ|＝y2.
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组消去x，可得y1＝.
易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组消去x，可得y2＝.
代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，
将等式两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，
解得k＝或k＝.
所以，k的值为或.
1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.
2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.
3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e＝；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.
4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.
5.求中点弦的直线方程的常用方法
(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，
三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.
一、选择题
1.(2018·合肥调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
解析 依题意，2·＝－1，∴b＝2a.则e2＝1＋＝5，∴e＝.
答案 D
2.(2018·南昌质检)已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若·＝0，则直线OA与OB的斜率之积为( )
A.－ B.－3 C.－ D.－4
解析 设A，B，由x2＝4y，得y′＝.所以kAP＝，kBP＝，由·＝0，得PA⊥PB.∴·＝－1，则xA·xB＝－4，又kOA·kOB＝·＝＝－.
答案 A
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，
故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
答案 D
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，∠F1AF2＝，连接AF2交y轴于M点，若3|OM|＝|OF2|，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 设|AF1|＝m，|AF2|＝n.
如图所示，由题意可得
∵Rt△F1AF2∽Rt△MOF2.
∴＝＝，则n＝3m.又|AF1|＋|AF2|＝m＋n＝2a，
∴m＝，n＝a.
在Rt△F1AF2中，m2＋n2＝4c2，即a2＝4c2，
∴e2＝＝，故e＝.
答案 D
5.(2018·石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
解析 如图，不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2⊥x轴，
在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
则|PF2|＝，|PF1|＝，
又因为|PF1|－|PF2|＝＝2a，即c＝a.
又2b＝2，知b＝，
且c2－a2＝2，从而得a2＝1，c2＝3.
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 D
二、填空题
6.(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
解析 由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).
答案 (1，0)
7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________.
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，
所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案 2
8.设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2；已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________.
解析 由x2＝4y，知p＝2，∴焦点F(0，1)，准线y＝－1.
依题意，设A(x0，y0)(x0>0)，
由定义，得|AF|＝y0＋，则y0＝2－1＝1，∴AF⊥y轴.
易知当P(1，－1)时，|PA|＋|PF|最小，∴|PF|＝＝.
由正弦定理，2R＝＝＝，
因此△PAF的外接圆半径R＝.
答案
三、解答题
9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m).
直线BN的方程为y＝(x－2).
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
11.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1在y轴上的截距为，且|MF2|＝|MF1|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于E、F两点，且直线l与圆7x2＋7y2＝12相切，求·的值(O为坐标原点).
解 (1)设直线MF1与y轴的交点为N，则|ON|＝.
∵MF2⊥x轴，∴在△F1F2M中，ON綉MF2，
则|MF2|＝.
又|MF2|＋|MF1|＝2a，|MF2|＝|MF1|，
∴|MF2|＝a＝，∴a＝2.
又|MF2|＝，∴b2＝3.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
联立消y得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(8kt)2－4(3＋4k2)(4t2－12)>0，得t2<3＋4k2，(*)
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)
＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
＝－＋
＝.
又直线l与圆7x2＋7y2＝12相切，
∴＝，则1＋k2＝t2满足(*)式，
故·＝＝0.
